Планирование эксперимента в химической технологии

по принципу случайного разбрасывания факторов, находящихся на уровнях «+1»

и«—1». Использование планов полных

идробных факторных экспериментов в качестве отсеивающих затруднительно. Например, для 17 факторов план ПФЭ 217 будет слишком громоздким, план

мого пространства, соответствующих координатам вершин симплекса. Обычно принято рассматривать два способа задания координат вер­ шин правильного симплекса. Если одну из вершин симплекса помес­ тить в начало координат, а остальные п вершин расположить так, чтобы ребра, выходящие из первой вершины, образовали одинаковые углы с соответствующими координатными осями (рис. 21), то коор­ динаты вершин симплекса могут быть представлены строками матрицы:

(п — число факторов). Например, при реализации симплекс-плани­ рования для 3 факторов координаты вершин первоначального по­ ложения симплекса по вышеприведенному условию отображены

в табл. 77.

Второй способ ориентации симплекса заключается в следую­ щем. Если центр симплекса поместить в начало координат, а вер­ шину Vn+ 1 — на ось хпг то остальные вершины располагаются сим­ метрично относительно координатных осей, плоскостей или, в об­

Таблица 78. Симплексный план по II способу ориентации

т. е. удовлетворяет требованиям ортогональности. Коэффициенты линейной модели рассчитывают по формулам

Несложно подсчитать дисперсии коэффициентов уравнения:

4 , = iq r r s°> 4 = 2s° (< = 1. 2, ... , я), (*72)

где n — число факторов.

Из формулы (172) ясно, что ошибки в определении коэффициен­ тов Ъь значительны (кроме Ь0). Таким образом, симплексные планы, организованные по второму способу, нецелесообразно использовать для получения математических моделей объектов исследования, однако они-весьма эффективны при организации отсеивающих экспе­ риментов. Отсеивание можно проводить по известному критерию Стьюдента.

Симплексные планы широко используются при оптимизации объектов исследования.

§ 2. Планирование эксперимента в условиях дрейфа

Исследователю в любом эксперименте приходится иметь дело не только с основными факторами, но и побочными — «шумами», «дрейфами» и т. д. Все это мешает статическому экспери­ менту. Источники неоднородностей могут быть достаточно сильны­ ми и тогда выводы из расчетов эксперимента будут ошибочными.

Различают источники неоднородностей дискретного и непрерыв­ ного типов. К первым относятся различия в сырье, аппаратах, ма­ шинах, способах организации процессов и т. д. Чаще всего дискрет­ ные неоднородности оцениваются качественно («лучшие», «хуже» и т. п.). Указанные неоднородности, как правило, увеличивают ошиб­ ку опыта, и поэтому основная задача экспериментатора — свести влияние неоднородности к минимуму.

К непрерывным неоднородностям можно отнести изменение свойств во времени или по другой координате. В технологии тако­ выми являются изменение активности катализатора, старение ап* паратуры, изменение состава сырья и т. п. Иногда дрейф называют

шены на 2|3Х, т. е. на величину межблоковой разности. Тогда оцен­ ка для свободного члена изменится:

&о = I f IУ1 + Уъ + Уз + У4— (Уъ— 2рх) +

(^6 2рх) + (у7— 2рх) -f- (у8— 2рх)] = -g- 2 Уи— Рт = Ь0— рх,

т. е. вместо Ь0 р0 будем иметь Ь0-> р0 — рт. Все остальные оцен­ ки останутся теми же. Например, для Ь2:

^2 = [— f/i — У2 + Уз + Ух1— (#5 — 2рх) — (ув— 2рх) +

+(У7— 2рх) + (у8— 2рх)] =

=-g- (— У\ — У2 + Уз + Ух — Уъ— Уо + Уп + Ув)-

Таким образом, разбивая эксперимент на блоки, получают коэф­ фициенты уравнения ортогональными к дрейфу, если от Ь0 вычесть Рх, найденное из предварительных опытов.

Планирование эксперимента в условиях линейного дрейфа [43]. Наиболее широко на практике используется линейное представле­ ние дрейфа. Это связано с тем, что, как правило, характер дрейфа заранее неизвестен и поэтому можно начинать исследования с ап­ риорного мнения о его линейности. Такое решение позволяет ис­ пользовать для организации эксперимента, ортогонального к ли­ нейному дрейфу, обычные планы полного факторного эксперимента типа 2п.

Алгоритм построения многофакторного эксперимента в условиях непрерывного линейного дрейфа следующий.

Представим исследуемый процесс обычной блок-схемой (см. рис. 2). Под дрейфом будем понимать изменение выходной перемен­ ной при постоянных значениях входов yt = <р [у/х1У х2, хп].

Пример 1 [39, с. 117]. Исследовалась реакция получения тре­ тичного додецилмеркаптана (трет-ДДМ) из тетрамера пропилена

исероводорода в присутствии алюмосиликатного катализатора. Была поставлена задача получения максимума целевого продук­

та, а также проверки устойчивости свойств катализатора во вре­ мени. Выбраны следующие факторы: Х4 — температура реакции, °С;

трет-ЩЩ в катализаторе, вес. %. Приняты ограничения: Х г > 100, Х3 > 0,5, 50 < Х 2 < 65.

Априорные сведения и принятие решения. Предварительный эксперимент показал, что активность катализатора во времени па­ дает. На один опыт уходит At = 4 -f- 5 ч.

Факторов — четыре, поэтому для определения линейной моде­

ли необходимо иметь 8—16 опытов (ПФЭ 24 или ДФЭ 24""1). С дру­ гой стороны, время, в течение которого активность катализатора падала равномерно, было около t = 40 -ь 50 ч. Заранее известно, что влияние эффектов взаимодействия на у незначительно. Для уси­ ления влияния этой информации предлагается в планировании ин­ тервалы варьирования факторов выбирать небольшими.

В этих условиях можно учесть дрейф катализатора в линейной

выбрана точка предварительного исследования с выходом у = 70,5%. Результаты опытов приведены в последнем столбце (табл. 80).

а , = 3,25; а3=1,65.

Значения коэффициентов линейного уравнения регрессии вычис­ лены по формуле (69):

ах = 6,45 да 2ос2 = 6,50 да 4сх3 = 6,60.

Таким образом, полное уравнение с членами, учитывающими дрейф, может быть записано как

у = 58,85 + 6,45^ + 3,25/2 + 1,65/3 — 3,65^ — 2,30*2 —

ь—3,40^з— 1,95*4,

а уравнение, свободное от влияния дрейфа:

у = 58,85 — 3,65*! — 2,30*2 — З,40*3— 1,95*4.

Можно провести анализ временного дрейфа, выяснив, насколько изменилось значение переменной состояния в центре плана за вре­ мя эксперимента. Для этого найдем у10 и у20 для X = (0, 0, 0, 0):

Ую = 58,85 6,45 -f- 3,25 -f- 1,65 = 70,20%;

у20 = 58,85 — 6,45 — 3,25 — 1,65 = 47,50 %,

т. е. снижение активности катализатора во время эксперимента уменьшило выход целевого продукта на Ау = 22,7%. Скорость дрейфа примерно равна 22,7% 7,5 = 3% за опыт. Имея эти све­ дения, можно решить две задачи:

1)как часто необходимо менять катализатор;

2)где находится оптимальное значение переменной состояния. Важно отметить, что теперь в любой фазе проведения процесса

можно пользоваться уравнением регрессии (после загрузки новым катализатором или в конце его действия).

§ 3. Планирование эксперимента при построении диаграмм «состав — свойство»

Построение диаграммы «состав — свойство» является важной частью физико-химических исследований смесей. Эта фор­ ма описания систем сформировалась давно и в настоящее время при­ нята повсеместно. Например, для трехкомпонентных смесей по тер­ минологии Дж. В. Гиббса и Н. С. Курнакова диаграммы «состав — свойство» по интересующей исследователя переменной (свойство) представляют собой сеть изолиний на треугольнике концентраций. Для построения таких диаграмм требуется выполнить очень большой объем экспериментальных исследований. Например, для шага 5%

Рис. 23. Расположение экспериментальных точек в симплекс-решетчатых планах на плоскости для полиномов:

а — второго порядка; б —третьего порядка; в —. четвертого порядка.

при изучении трехкомпонентной смеси требуется провести 210 опы­ тов. Естественно, что исследователей и математиков давно интере­ суют подобные диаграммы с точки зрения оптимального планирова­ ния и резкого уменьшения числа опытов при их построении.

Были сделаны попытки применить известные планы ПФЭ с обыч­ ной формулировкой экстремальной задачи [1, 24]. В этих задачах преследовалась цель описания локальной области поверхности от­ клика, при этом одна компонента (основа смеси) не вошла в план. Другими словами, здесь игнорировался тот факт, что диаграммы «состав — свойство» должны подчиняться закону

i = 1

где х( — концентрация /-го компонента. Учет этого закона в ПФЭ приводит к нарушению регрессионного анализа о независимости изме­ нения всех рассматриваемых переменных и поэтому планы ПФЭ непригодны для полного описания диаграмм «состав — свойство».

Шеффе предложил использовать полиномы вида

которые получаются по планам, представляющим собой симплекс­

ные решетки (рис. 23).

Симплекс-решетчатый план эксперимента (рис. 23, а) представ­ лен в табл. 81, а уравнение регрессии к нему имеет вид:

Легко показать, что (при решении шести уравнений с шестью неизвестными)

планы являются насыщенными. Поэтому для проверки адекватнос­ ти уравнения необходимо выбрать несколько проверочных точек, провести в них эксперимент и изучить разность между эксперимен­ тальным значением и значением, полученным по уравнению. Эти точки выбирают либо в интересующей исследователя области, либо в точках, которые можно использовать для построения полинома более высокого порядка. В [44, с. 177] предлагается следующая про­ цедура проверки адекватности.

Коэффициенты bt и bif являются линейными комбинациями зна­ чений yt и ijij, полученных в точках решетки. Поэтому уравнение