Планирование эксперимента в химической технологии
..pdfОпыты |
|
|
|
План |
|
|
Переменная |
|
|
|
хг |
|
|
|
|||
|
*0' |
|
*1*2 |
|
4 |
состояния у |
||
|
|
|
|
|
||||
1 |
+ i |
+ i |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
у , |
|
2 |
4 * i |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 |
уп |
|
3 |
||||||||
4 * i |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 |
уп |
||
4 |
— 1 |
|||||||
+ i |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
У. |
|||
5 |
+ i |
+ а |
0 |
0 |
а 2 |
0 |
и |
|
6 |
- н |
— а |
0 |
и |
а 2 |
0 |
уь |
|
и |
||||||||
7 |
+ i |
0 |
+ а |
0 |
0 |
а 2 |
и |
|
8 |
- и |
0 |
— а |
0 |
0 |
а 2 |
и |
|
9 |
+ i |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
? |
лика предыдущего плана в новом плане дополняется до полного факторного эксперимента, если п < 4. При п > 4 можно исполь зовать дробные реплики. Планы, организованные таким образом, называются центральными и композиционными.
Рассмотрение композиционных планов можно провести на при мере п = 2 (рис. 13). Точки /, 2, 3, 4 образуют полный факторный эксперимент 22, точки, обозначенные звездочками (5, 3, 7, 5), обра зуют «звездные» точки с координатами (± а, 0) и (0, ±сс). В центре плана проводятся нулевые опыты с координатами (0, 0). Тогда ком позиционный план будет представлен в табл. 47 (N0 = 1).
Выбор плеча звездных точек и числа нулевых точек зависит от критерия оптимальности. В инженерной практике широко при меняют ортогональные и рототабельные планы второго порядка.
§ 2. Ортогональные планы второго порядка (ЦКОП)
Для получения ортогональных планов второго поряд ка необходимо несколько преобразовать столбцы квадратичных пе ременных и столбец х0. Это вызвано неортогональностью указанных столбцов матрицы планирования (см. табл. 47), так как
N
XQuXiu^Q'i |
(109) |
и= 1 |
|
N |
|
XiuXju ^=0. |
(110) |
и= 1
Неравенства справедливы, поскольку значения в столбцах х0
и x2i всегда положительны. Заметим, что в ортогональных планах на количество нулевых точек обычно не накладывают никаких ус ловий, поэтому No принимают равным единице.
Для ортогонзлизации первого из приведенных соотношений введем преобразование:
|
_ |
1 |
N |
V.? |
—2 |
|
х ' — х ? |
|
V |
d l l ) |
|||
xt ~ xt |
|
|
|
ЛШ |
: Xi < •Xt. |
|
iV и= I
Тогда:
N |
N |
|
N |
|
|
XOuXiu “ |
Xou.Xi |
2 |
XouXl — 0. |
u= 1 |
u = \ |
|
u= |
1 |
Чтобы сделать второе соотношение равным нулю, необходимо
рассмотреть полученную информационную матрицу ХТХ при ус-
N
ловии, что 2 ХоиХш = 0. Тогда матрица (ХТХ)-1 будет иметь вид:
соо |
0 |
|
си
спп |
0 |
(ХТХ)-'
0 |
СИ |
|
0 |
< Г ' _ |
|
т. е. распадается на четыре подматрицы: две нулевые; одну диаго
нальную, где в диагонали находятся элементы |
— и |
— i-------, |
|
и=1 |
ц=1 |
с помощью которых определяются коэффициенты bt и Ьи-\ и матрицу
Q-1 Эта матрица имеет равные диагональные элементы |
—!---- |
|
2 |
|
(хш)2 |
U*1 |
|
|
и равные (но другие) недиагональные элементы. Если приравнять недиагональный элемент этой матрицы нулю и решить его относи тельно а, то можно определить значение плеча, ортогонализирую-
щее Q-1 [523. Значения а, приводящие к ортогональности столбца
дг/, при различных /г, приведены в табл. 48. Ортогональная матри ца композиционного плана для п = 2 приведена в табл. 49. Зна
чения х\ находят по формуле (111):
6 |
1 |
л |
6 |
2_ |
|
- у |
, или 0 |
----g- |
3 * |
|
|
|
|
|
|
Ч исл о н езави сим ы х |
ф акторов |
п |
Н аи м ен ован и е |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
||||
|
2 2 |
|
|
5— 1 |
Я д р о п л а н а |
2 3 |
2 4 |
2 |
|
а |
1 ,0 0 |
1 ,2 1 5 |
1 ,4 1 4 |
1 ,5 4 7 |
Таблица 49. |
Композиционный |
план ортогонального эксперимента (п = |
2) |
|||||
|
|
|
|
|
П лан |
|
|
П ер ем ен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опы ты |
|
|
|
|
|
|
|
ная с о с т о |
|
|
|
|
*1*2 |
|
|
яния |
|
|
|
|
|
|
х \ |
|
||
|
|
|
|
|
|
У |
||
1 |
+ i |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
1 /3 |
1 /3 |
У\ |
|
2 |
+ |
i |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
1 /3 |
1/3 |
Уз |
3 |
+ i |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
1 /3 |
1 /3 |
Уз |
|
4 |
+ |
i |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
1/3 |
1 /3 |
У4 |
5 |
+ |
i |
+ 1 |
0 |
0 |
1/3 |
— 2 /3 |
Уь |
6 |
+ i |
— 1 |
0 |
0 |
1 /3 |
— 2 / 3 |
Уз |
|
7 |
+ i |
0 |
+ 1 |
0 |
— 2 / 3 |
1 /3 |
Уч |
|
8 |
+ i |
0 |
— 1 |
0 |
— 2 / 3 |
1 /3 |
Уз |
|
9 |
+ i |
0 |
0 |
0 |
— 2 / 3 |
— 2 /3 |
Уз |
|
Таблица 50. Композиционный план ортогонального эксперимента (п = 3)
Опыты
|
|
План |
|
|
П е р е |
|
|
|
|
/ |
м енная |
*0 |
|
|
|
*1*2 *1*3 *2*3 с о с т о |
|
*1 |
*3 |
* \ |
х 2 |
*3 |
яния |
|
|
|
|
|
У |
1 |
+ i |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
0 ,2 7 |
0 ,2 7 |
0 ,2 7 |
+ 1 + 1 |
+ 1 |
У \ |
|
2 |
+ i |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 |
0 ,2 7 |
0 ,2 7 |
0 ,2 7 |
— 1 — 1 |
+ 1 |
Уг |
|
3 |
+ i |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
0 ,2 7 |
0 ,2 7 |
0 ,2 7 |
— 1 |
+ 1 |
- 1 |
Уз |
4 |
- ы |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
0 ,2 7 |
0 ,2 7 |
0 ,2 7 |
+ 1 |
— 1 — 1 |
Уа |
|
5 |
- и |
+ 1 |
+ 1 |
— 1 |
0 ,2 7 |
0 ,2 7 |
0 ,2 7 |
+ 1 |
— 1 — 1 |
Уь |
|
6 |
- и |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
0 ,2 7 |
0 ,2 7 |
0 ,2 7 |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
Уз |
7 |
+ i |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
0 ,2 7 |
0 ,2 7 |
0 ,2 7 |
— 1 — 1 |
+ 1 |
Уч |
|
8 |
- ы |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
0 ,2 7 |
0 ,2 7 |
0 ,2 7 |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
Уз |
9 |
+ i |
1 ,2 1 5 |
0 |
0 |
0 ,7 4 6 |
— 0 ,7 3 |
— 0 ,7 3 |
0 |
0 |
0 |
Уз |
1 0 |
- ы |
— 1 ,2 1 5 |
0 |
0 |
0 ,7 4 6 |
— 0 ,7 3 |
— 0 ,7 3 |
0 |
0 |
0 |
У ю |
11 |
+ 1 |
0 |
1 ,2 1 5 |
0 |
— 0 ,7 3 |
0 ,7 4 6 |
— 0 ,7 3 |
0 |
0 |
0 |
У и |
12 |
+ 1 |
0 |
— 1 ,2 1 5 |
0 |
— -0 ,7 3 |
0 ,7 4 6 |
— 0 ,7 3 |
0 |
0 |
0 |
У \2 |
1 3 |
+ 1 |
0 |
0 |
1 ,2 1 5 |
— 0 ,7 3 |
— 0 ,7 3 |
0 ,7 4 6 |
0 |
0 |
0 |
У \ з |
1 4 |
+ 1 |
0 |
0 |
1 ,2 1 5 |
— 0 ,7 3 |
— 0 ,7 3 |
0 ,7 4 6 |
0 |
0 |
0 |
У и |
15 |
+ 1 |
0 |
0 |
0 |
— 0 ,7 3 |
— 0 ,7 3 |
— 0 ,7 3 |
0 |
0 |
0 |
У \ ь |
Ортогональная |
матрица для п = 3 приведена в табл. 50. Зна |
|
чения Xi находят по формуле (111): |
||
1 _ |
= |
1 — 0,73 = 0,27, или 0 — 0,73 = — 0,73, |
или |
|
(1,215)2 — 0,73 = 0,746. |
|
|
юз |
Коэффициенты регрессии по центральному композиционному ортогональному плану вычисляют в соответствии с формуламй:
Ь'о= |
1 |
|
|
( 112) |
“дГ |
В=1 |
|||
|
'* |
|
||
|
|
N |
|
|
|
|
2 |
ХшУ“ |
|
|
и = 1 |
|
|
|
6<= |
Л/ |
,2 |
(ИЗ) |
|
'ш
и = 1
N
2Х1иХ/иУи
иИ=1
ЬЧ = — ------------- |
(114) |
2 (*!«V *
N
2х1иУи
иЫ=1
b“ = —N----------- |
• |
(115) |
2 <*J)* u=l
Дисперсии коэффициентов регрессии рассчитываются по форму лам:
s 2 < |
= |
- * |
- • |
\ |
|
N |
’ |
|
4 |
|
. |
N |
|
» |
|
У |
х ? |
|
|
Z J |
ш |
|
|
и= 1 |
|
|
|
|
N |
4 |
. |
4 , - ■ |
|
’ |
|
|
2 |
|
|
«=1 |
|
|
|
|
|
о |
|
.4 С |
|
so |
|
соГс |
Л/ |
|
» |
~ |
|
||
2 (*Й*
U=I
(116)
(117)
(118)
(119)
где s^, как и ранее, ошибка опыта, известная по полному факторно му эксперименту.
Оценка значимости проводится по критерию Стьюдента (см. фор мулы (77) и (78). Дисперсия величины Ь0 оценивается по равенству:
Sb° = \ ^ Sbu ^ SW (120)
Дисперсию адекватности определяют по формуле (81) при т = 1,
а уи — п° уравнению: |
|
|
|
У = Ь'о+ Ьгхг + |
+ Ьпхп + Ь12ххх2+ |
+ |
|
+ Ьл_ \tnXn—\Xn + Ьп (Х\— х\) + |
+ Ьпп (х2п— Хп), (121) |
||
или по уравнению: |
|
|
|
у = Ь0 + Ьххг + |
+ Ьпхп + |
Ь12хгх2 + |
+ |
+ b n—\tnXn—\Xn + |
Ь1±х \ + |
+ ЬппХп. |
( 121а) |
От уравнения (120) переходят к уравнению (121) с помощью
расчета величины свободного члена по формуле: |
|
|
Ь0 — Ь0 |
bnnxnt |
(122) |
где x? = x2i — x'i.
Адекватность уравнения регрессии проверяют по критерию Фи шера (см. формулы (82) и (83). Расчет и статистический анализ урав нения регрессии по плану ЦКОП проводится в соответствии с ал горитмом рис. 11. Формулы для реализации алгоритма приведены в табл. 51.
Пример 1. Исследовался процесс окисления гипофосфита нат рия железом [38, с. 82]. Для уточнения условий количественного окисления гнпофосфита натрия железом и нахождения возможной поверхности реагирования проводили исследования с целью полу чения математической модели и оптимизации процесса. Цель иссле дования — найти сочетание факторов, приводящих к 100%-ному окислению гипофосфита натрия, и рассчитать оптимальные условия его определения в присутствии наиболее часто встречающейся при меси фосфита.
Согласно литературным данным, если реакция проводится в по стоянном объеме (100 мл) и при температуре кипения, число фак торов, влияющих на степень окисления гипофосфита натрия, равно трем: концентрация железа; кислотность (НС1) и время окисления.
Все опыты проводились в объеме 100 мл с 20, 14 мг NaH2P 02 X X Н20. Реакцию прерывали резким охлаждением раствора, после чего определяли количество окислившегося гипофосфита натрия титрованием образовавшегося двухвалентного железа раствором сульфита натрия. Переменной состояния у процесса является сте пень окисления гипофосфита натрия.
Предлагается получить математическую модель исследуемого процесса по плану второго порядка типа ЦКОП.
Решение. Ортогональный план строится после оптимизации по линейной модели методом «крутого восхождения». Центром плана выбран опыт, при котором получено наилучшее значение степени окисления гипофосфита натрия.
Коэффициенты уравнения регрессии рассчитывались в матрич ной форме. Исходная матрица фактоРов в кодированной форме
Таблица 51. Формулы расчета по композиционному ортогональному плану
второго порядка
№
п/п
1
2
За
4
5
|
|
|
Расчетная |
формула |
|
|
|
Обозначения |
|||||
у |
= |
2 |
biXi + |
2 bijx tx j |
+ |
2 |
i = |
0, |
1 ,2 , |
• • •, П |
|||
|
|
l |
|
|
£</ |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Суммирование |
|||
в |
= |
(ЛГТЛГ)—1ЛГТК; |
60 = |
2 |
от |
и = |
1 до |
JV; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ы= 1 |
|
|
|
|
|
* |
|
2 |
х 1иУи |
|
1 |
|
2 |
х 1их ]'иУи |
Л/ —<число опытов; |
||||
|
|
2 |
4 |
’ |
|
|
2 |
( |
w /u)2 |
’ |
|
|
|
|
|
|
h |
|
2 |
|
|
|
|
Кодирование |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
“ |
V |
/ |
- 42 |
|
|
* \ = |
* |
|
|
|
|
|
|
|
2 J (Xiu) |
|
|
|
|
|
|
||
Дисперсии принимаются однородными по расчетам ПФЭ и ДФЭ.
|
|
1 |
"о |
|
|
/V0 — число опытов в центре |
||
^ |
= |
__1 |
2 |
’ |
Уо) |
плана; |
|
|
— ошибка опыта |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
4 = |
so/ ^; |
|
4 t = |
4 / |
2 4 . ; |
4 - 4 |
4 - 4 / “ дисперсик |
|
коэффициентов регрессии
^Ьц ~ so 1 2 (x tux iu)* ;
4 = 4 2 ( 4 ) 2;
5а
6
6а
4 = 16‘ |/Sb г; |
h ,p = | b4 \!sb i j : |
-lip = bu/Sbu
Условие значимости коэффициентов
(Цр, |
hip > |
*r (<7. /) |
1 |
N |
|
saA = Л/ —. / |
2 (Уи |
У«)3 ’ |
|
H=1 |
|
9
F - - 5 * Г Р “ „2
о
Условие адекватности
< FT (<7, /ад, /о)
V (‘ip ’ hi р —
расчетные значения критерия Стьюдента
(<7, /) — табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости q и степени свободы /.
/ |
— число оставшихся членов |
|
в |
уравнении; |
|
5ад — дисперсия |
адекватности; |
|
Fp — расчетное |
значение крите |
|
рия Фишера. |
|
|
FT — табличное значение крите рия Фишера.
|
|
|
Ф акторы |
|
Н ан м ен ованне |
х, |
| |
х 2 |
|
|
|
|||
Нулевой уровень |
0,032 |
|
1,0 |
15 |
Интервал варьирования |
0,005 |
|
0,5 |
5 |
З н а ч и м ы е коэф ф ициенты
Ьп = |
97,47 |
II О- |
CD О |
и |
’ |
Ь12 = |
0,87 |
Ъг = |
1,10 |
Ь2= —0,92 1,22= —1,21
|
|
|
П лан |
|
П е р е м е н н а я |
состо я н и я |
|
О пы ты |
|
|
|
|
|
(с т е п е н ь ок и сл ен и я ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 2 |
| |
*3 |
Уи |
Уи |
1 |
+ i |
— 1 |
—1 |
— 1 |
96,18 |
94,19 |
|
2 |
+ i |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
97,88 |
97,65 |
|
3 |
+ i |
— 1 |
+ |
1 |
— 1 |
92,96 |
93,61 |
4 |
+ i |
+ 1 |
+ |
1 |
— 1 |
98,34 |
97,55 |
5 |
+ i |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
97,36 |
98,47 |
|
6 |
+ i |
+ 1 |
—1 |
+ 1 |
98,18 |
98,93 |
|
7 |
+ i |
— 1 |
+ |
1 |
+ 1 |
95,24 |
94,89 |
8 |
+ i |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
99,32 |
98,83 |
|
9 |
+ i |
—*1,215 |
0 |
0 |
98,30 |
97,02 |
|
10 |
+ i |
+1,215 |
0 |
0 |
98,40 |
99,69 |
|
11 |
+ i |
0 |
—*1,215 |
0 |
99,78 |
97,68 |
|
12 |
+ i |
0 |
+ 1,215 |
0 |
94,53 |
95,45 |
|
13 |
+ i |
0 |
|
0 |
—1,215 |
97,34 |
97,57 |
14 |
+ i |
0 |
|
0 |
+ 1,215 |
99,24 |
99,13 |
15 |
+ i |
0 |
|
0 |
0 |
99,08 |
98,55 |
(матрица X) представлена в табл. 52. Квадратичные эффекты коди ровались по формуле (111).
Коэффициенты уравнения регрессии вычисляли по стандартным программам ЭВМ «Наири». Матрицы (Л^Х)-"1 и X TY следующие:
“ 0,066 |
0“ |
0,09 |
|
0,09 |
|
0,09 |
|
(ХТХ)~1 |
0,125 |
|
0,125 |
|
0,125 |
|
0,229 |
|
0,229 |
|
0,229 _ |
|
1462,13“ |
|
12,01 |
Х ТУ = |
— 10,12 |
|
7,05 |
6,94 .
"—2,1 “
1.7
X*Y — 1,66
—•5,09 1.74_
Окончательно столбец В-коэффициентов регрессии имеет вид:
ьо
Ьг
ь2
bi2
*0* со ^23
*11
Ь22
— *33 —
97,47
1,10
—0,92
0,64
0,87
—— 0,27
0,22
—0,40
—1,21
0,44 _
Значимость коэффициентов проверяли по условию
*<>М*т = 3,18, / = 3, So = 0,485)
в соответствии с рассчитанными значениями критерия Стьюдента
573,35
5,41
4,40
3,06
1 , KJi.1
0,99
1,20
3,66 _ 1,33_
Значимы коэффициенты b'o, bl9 b2, Ь12, Ь22; остальные — незна чимы. Коэффициент Ь3 оказался на границе значимости: tT = 3,18, a t3 = 3,06. Можно включить фактор *3 в уравнение регрессии и тогда оно будет следующего вида:
у = 97,47 + 1,10*! — 0,92*2 + 0,64*3 + 0,87*1Л‘а — 1,21 (*| — *|);
или с учетом уравнения (122) при х\ =* 0,73
у = 96,58 + 1,10*!1— 0,92*2 + 0,64*з + 0,87*!*2 — 1,21*9.
Дисперсию адекватности уравнения регрессии рассчитывали по
формулам строчки 6 табл. 51 при / = 6, N =» 15 и столбцу уи (см. табл. 52).
Окончательно |
при |
siR = |
1,04 |
(вад = 15,5986) |
|
||
F |
= |
-"ад |
=« J_»Q4_ _ |
о 15 <r F |
= 1 9 4* |
|
|
Р |
|
s2 |
0,485 |
|
«= 1У,ч, |
|
|
/зд * |
15 — 6 = 9; |
/0 = |
3 — 1 = 2 ; q = 0,05. |
|
|||
Нелинейная модель адекватна. Ее можно |
использовать |
для по |
|||||
строения области оптимума |
и определения |
координаты |
оптимума |
||||
процесса окисления гипофосфита натрия железом, т е переменных Х 19 Х2, Х3 (концентрации железа, кислотности и времени окисле ния соответственно, при которых достигается максимальное окис ление гипофосфита натрия).
§ 3. Рототабельные планы второго порядка (ЦКРП)
Дальнейшие исследования эффективности ортогональ ных планов второго порядка показали, что принятый критерий оптимальности (ортогональность) обладает существенным недостат ком, вследствие различных оценок дисперсий коэффициентов ре грессии. При повороте координатных осей факторного пространства дисперсия переменной состояния меняется по сложному закону. Получается, что в различных направлениях факторного простран ства исследователь получает разное количество информации.
В 1957т. Бокс и Хантер предложили считать оптимальным пла нированием второго порядка рототабельное планирование, при ко тором информация, содержащаяся в уравнении регрессии, равно мерно располагается на сфере. Это облегчает оптимизацию объекта исследования.
Построение рототабельных планов второго порядка является сложной математической задачей, требующей доказательства ряда теорем [42, с. 234]. Математики предлагают условия рототабельности задавать соотношениями:
|
i |
Х?« = М , |
(* = 1,2, . . . . |
п); |
023) |
|
U=1 |
|
|
|
|
2 |
= з |
2 xfux% = m |
4 (i ф j, J, / = |
I , 2, . . . , |
л). |
и = \ |
|
и = 1 |
|
|
|
Здесь сохранены прежние обозначения: числа факторов п, числа опытов N, а %г и Х4 — некоторые выбираемые константы, связан ные условием
*4 ^ |
п |
(124) |
|
X? |
п + 2 ’ |
||
|
которое является условием невырожденности матрицы Х ТХ [42, с. 87].
Н аи м ен о в а н и е |
п = |
2 |
|
||
Число опытов ядра матрицы |
22 = |
4 |
Число «звездных» точек |
4 |
|
Число нулевых точек |
5 |
|
а |
1,414 |
|
П Ф Э
п = 3
ю со |
II 00 |
6
6
1,682
ти п а |
2п |
|
Д Ф Э |
типа |
|
|
|
ч п — р |
|
п = |
4 | |
п = 5 |
п = |
5 |
<М |
II |
D C |
25 = 32 |
25-1 = 16 |
|
8 |
|
10 |
10 |
|
7 |
|
10 |
6 |
|
2,000 |
|
2,378 |
2,000 |
Если ввести несколько точек на сфере с нулевым радиусом, т. е. точек в центре плана N0t то можно рассчитать параметр
Л _ |
П(М> + Wl) |
’ |
(125) |
4 |
(п+ 2)N, |
|
где Nx = N — N0, и усилить неравенство (124), поскольку
к > |
п |
(126) |
|
~п + 2 |
|||
|
«Звездные» точки рототабельных планов строят на осях коорди нат факторов с величиной звездного плеча а, рассчитываемого по формуле
а = 2п/\ |
(127) |
а для дробного факторного эксперимента
п—р
а = 2 2 |
(128) |
где п — число факторов, а р — дробность реплики (р = 1 — полуреплика, р = 2 — четверть-реплика и т. д.).
Выбор ос, чисел «звездных» и нулевых точек удобно делать по табл. 53.
Результаты реализации планов второго порядка лучше всего обрабатывать на ЭЦВМ.
Основная задача вычислительной машины — обращение матрицы нормальных уравнений с выдачей элементов обращенной матрицы на печать:
N |
ФУ), |
N |
хшуи = |
|
|
S s « = |
2 |
(«/); |
(129) |
||
1 |
|
ц=1 |
|
|
|
N |
|
N |
|
|
|
2 х?иуи = |
(иУ), |
2 |
Xiuxjuyu = |
(ijy). |
|
и= 1 |
|
|
|
|
|
Если обозначить |
|
|
|
|
|
2Ь4 [(п + 2) X, - |
п] ■ |
А ' |
N |
- С * |
(130) |
|
|
|
2 хш |
|
|
|
|
|
а=1 |
|
|
по