Планирование эксперимента в химической технологии

Факторы

Наименование

этапе выделялись основные факторы процесса с помощью метода случайного баланса. Были выделены следующие факторы: Х г — отношение растворителя к основному веществу, г/г; Х2 — темпе­ ратура реакционной смеси, °С; Х3 — время реакции, мин. Пере­ менная состояния объекта — выход целевого продукта, %. Экспе­ римент проводился по схеме центрального композиционного рототабельного планирования (табл. 59).

Найти математическую модель процесса и оценить ее адекват­

ность.

5. [46, с. 299]. По результатам реализации матрицы планирова­ ния ДФЭ получилась неадекватная линейная модель. Предполага­ ется, что неадекватность вызвана тем, что эксперимент поставлен в области оптимума. Учитывая это, был реализован план экспери­

мента по схеме ЦКРП (табл. 60).

Найти математическую модель процесса и оценить ее адекват­ ность.

в. [31]. Исследовался процесс экстракции циркония трибутилфосфатом из азотнокислых растворов. В качестве факторов и вы­ ходной переменной были выбраны Х 19 Х 2 и у, связанные соотноше­ ниями

Хг = log2 Хн — 1,5;

Х2 = 2 (log2 СТр + 2,5){

у = log2 Д

соответственно с равновесной концентрацией ионов водорода Хн, концентрацией свободного трибутилфосфата в органической фазе

Гла в а V. Оптимизация объектов исследования

по экспериментально-статическим моделям

В гл. III, § 5 рассматривались ситуации принятия решений после анализа линейной модели, полученной по планам ПФЭ или ДФЭ. На этом этапе принятие решений связывалось с целью достижения области оптимума. В таких случаях в теории

планирования эксперимента область оптимума обычно ищут с помощью одного из гради­ ентных методов, чаще всего метода крутого восхождения. Последовательность поиска области оптимума представ­ ляется чередованием реализа­ ции плана эксперимента, получения математической мо­ дели и крутого восхождения к некоторому локальному оп­ тимуму. Эту последователь­ ность удобно изобразить гра­ фически в пространстве двух факторов (рис. 14).

Первоначально экспери­ мент ставится в некоторой по­ добласти Alj области опреде­ ления факторов L (на рис. 14

переменные изображены в натуральном масштабе, а доверительные интервалы для уравнения регрессии и границ упущены). Найденное одним из методов (например градиентным) направление используется для организации «шагов» в область Л42, где достигается некоторый локальный оптимум и в этой точке ставится новый эксперимент. Если по его результатам будет получена адекватная линейная математи­ ческая модель, то поиск области оптимума продолжается. Получе­ ние неадекватной линейной модели (например, в области Л43) свиде­ тельствует о вероятном достижении области оптимума.

В гл. IV, § 4 уже рассматривались ситуации принятия решений после анализа математической модели области оптимума. Адекват­ ная нелинейная модель, как известно, позволяет найти координа­ ту оптимума объекта исследования. Ее ищут обычно одним из ме­ тодов нелинейного программирования. Предположим — это точ­ ка Е (рис. 14). Очевидно, что эта координата оптимума всего лишь одна из возможных.

В этой главе будут рассмотрены методы и алгоритмы оптимиза­ ции, применяемые в экстремальном эксперименте для поиска облас­ ти оптимума и координаты локального оптимума.

Для комплексного (системного) понимания методов планирова­ ния эксперимента в главе приведены примеры с последователь­ ностью методов и алгоритмов планирования и оптимизации.

§ 1. Методы статической оптимизации объектов исследования

Задачи статической оптимизации процессов химиче­ ской технологии, как правило, связаны с выпуском продукции заданного качества и достижением экстремального (extr) значения

критерия оптимизации R , зависящего в общем случае от технико­ экономических показателей производства. Ограничения наклады­ ваются не только на качество продукта, но и на входные перемен­ ные; тогда задача статической оптимизации для объекта исследова­ ния, изображенного на рис. 2, может быть записана так:

С ,< * < С 2,

где, как и ранее, V — вектор выходных переменных, X — вектор входных переменных, А и А 2, Съ С2 — векторы ограничений, В — матрица коэффициентов. Иногда критерий оптимизации R совпа­ дает с одной из выходных переменных (например, с выходом целе­

вого продукта реактора). Тогда задача оптимизации^формулируется так:

^(К Д Г ^ -^extr;

с1 < X < с 2,

где k — число выходных переменных. В такой постановке перемен­ ная ух часто называется параметром оптимизации [1].

Если математическая модель технологического процесса пред­ ставлена в виде линейного алгебраического уравнения, то для ре­ шения задачи оптимизации можно применять методы линейного программирования с двухсторонними ограничениями:

Такая постановка задачи оптимизации, как известно, приводит к решению, находящемуся на границе области ограничений.

Если в качестве математической модели процесса используется регрессионное уравнение, необходимо учитывать две особенности. Первая связана с вероятностным характером регрессионного урав­ нения и ограничений, выражающихся в наличии доверительных интервалов. Функция цели R представляет собой не прямую (в дву­ мерном случае), а полосу. При этом решение задачи оптимизации находится с определенной вероятностью внутри доверительного ин­ тервала. Методы поиска экстремальной точки факторного про­ странства в корне меняются. Наиболее предпочтительными являют­ ся методы теории принятия решений в условиях риска, неопреде­

ленности и конфликтных ситуаций.

Вторая особенность связана с ограниченностью надежного дей­ ствия математической модели, полученной экспериментально ста­ тистическими методами. Действительно, если область эксперимента

Afj (рис. 14) меньше области определения факторов L, то «ра­ бота» функции цели R за пределами Мг возможна с некоторой* ве­ роятностью, в общем случае неизвестной. Решается такая задача оптимизации только с учетом двух предположений.

Можно считать, что за пределами области экспериментирования математическая модель имеет тот же вид, и те же вероятностные ха­ рактеристики. Задача решается методами теории принятия решений.

Если указанное предположение принять нельзя, то при выходе за пределы области экспериментирования математическую модель следует уточнить, например, методом стохастической аппроксима­ ции, используя поступающую информацию пассивного эксперимен­ та. При активном экспериментировании математическая модель применяется для определения направления оптимума, а значение переменной состояния за пределами области экспериментирования уточняется экспериментально.

Задачи статической оптимизации очень часто решают поиско­ выми методами, которые отличаются большим разнообразием. Вме­ сте с различными модификациями их насчитывают несколько де­ сятков. К основным методам поиска можно отнести следующие: метод градиента, метод наискорейшего спуска, его модификацию — метод крутого восхождения (градиентные методы); метод Гаусса — Зейделя, метод симплексов, метод случайного поиска (безградиентные методы).

Метод Гаусса — Зейделя. При оптимизации методом Гаусса — Зейделя оптимум исследуемого процесса ищут поочередным варьи­ рованием каждой входной переменной (фактора) до достижения ча­ стного оптимума выходной переменной. Вначале достигается оптимум по направлению одной из координатных осей при фиксирован­ ных значениях факторов по другим координатным осям. Затем, зафиксировав найденное значение фактора, переходят к варьиро­ ванию другого фактора, где опять достигается частное значение оптимума и т. д. На рис. 15 изображены линии равного выхода це­ левой функции при двух факторах и общие представления о дей­ ствии метода Гаусса — Зейделя.

Этот наиболее простой метод оптимизации широко используется в практике исследований в химии и химической технологии. Чаще всего, однако, ограничиваются однократным варьированием по каждой из координатных осей (рис. 15, 7), что связано с основным недостатком метода — длительностью продвижения в область опти­ мума. Поэтому указанный алгоритм редко «доводит» до области оп­ тимума.

Метод случайного поиска. Основная идея метода заключается в случайном выборе направления движения на каждом последую­ щем шаге, который ухудшил переменную состояния объекта иссле­ дования (рис. 16). Есть много разновидностей метода случайного поиска, но все они объединены применением случайного вектора /, имеющего равновероятную возможность принимать различные на­ правления в исследуемом пространстве переменных Для формирова-

ния случайного вектора используются случайные числа. Метод широко используется при оптимизации стохастических процессов, однако дает хорошие результаты при большом числе факторов, а также полезен в сочетании с другими методами.

Метод симплексов. Основной особенностью метода симплексов является объединение процесса изучения исследуемого объекта и процесса поиска оптимума, что достигается специальным построе­ нием плана эксперимента в виде симплекса. /г-Мерным симплексом определяется фигура, образованная множеством п + 1 точек, на­ зываемых вершинами симплекса, не принадлежащих одновременно

Геометрически симплекс представляет собой простейший выпук­ лый многогранник данного числа измерений п. Для п = 3 это тет­ раэдр, для п = 2 — треугольник. Симплекс может быть правиль­ ным. Тогда это равносторонний треугольник, правильный тетраэдр и т. д.

Симплекс имеет ценное свойство: в нем можно отбросить одну вершину и построить новый симплекс, используя новую вершину, построенную симметрично отброшенной. Последовательным отбра­ сыванием вершин можно перемещать симплекс в факторном про­ странстве. Доказано, что если каждый раз отбрасывать вершину с самым плохим значением выходной переменной, то центр симплек­ са будет перемещаться к оптимуму (рис. 17).

Метод симплексов для поиска оптимума широко применяют при оптимизации процессов как на этапе лабораторных исследований, так и в промышленных исследованиях. Основное его преимущество заключается в сокращении числа экспериментов при высокой эф­ фективности поиска оптимума. Метод используется для поиска опти­ мума на реальных объектах и на математической модели.

Метод градиента. При оптимизации методом градиента оптимум исследуемого объекта ищут в направлении наиболее быстрого воз­ растания (убывания) выходной переменной, т. е. в направлении гра­ диента. Но прежде чем сделать шаг в направлении градиента, необ­ ходимо его рассчитать. Градиент можно определить либо по имею­ щейся модели

странства, либо по результатам п пробных движений в направлении координатных осей (рис. 18).

Если математическая модель статистического процесса имеет вид линейного полинома, коэффициенты регрессии Ь{ которого яв­ ляются частными производными разложения функции у = f (X) в ряд Тейлора по степеням xir то оптимум ищут в направлении гра­ диента с некоторым шагом ht:

grad у(Х) = Ь Д + Ь Д + + КК- (153)

Направление корректируют после каждого шага.

Метод градиента вместе с его многочисленными модификациями является распространенным и эффективным методом поиска опти­ мума исследуемых объектов. Рассмотрим одну из модификаций метода градиента — метод крутого восхождения.

Метод крутого восхождения. Метод крутого восхождения, или иначе метод Бокса—Уилсона, объединяет в себе достоинства трех методов — метода Гаусса — Зейделя, метода градиента и метода полного (или дробного) факторного эксперимента, как средства получения линейной математической модели. Задача метода круто­ го восхождения заключается в том, чтобы шаговое движение осу­ ществлять в направлении наискорейшего возрастания (или убыва­ ния) выходной переменной, то есть по grad у (.X ). В отличие от