Планирование эксперимента в химической технологии

доверительной вероятности Р (Р = 0,95, тогда q = 0,05 или 5%).

Пример 4. Результаты измерения состава смеси на хроматогра­ фе дали следующие значения целевого продукта (в вес. %): 76,48;

левая гипотеза Н0 по сравнению с альтернативной гипотезой Нг или Нъ # 2, •••> Нп• Методы проверки гипотез используются при решении задач отличия среднего вычисленного от стандартного, отличия в отклонениях переменных, обнаружения и исключения аномальных значений переменных и т. д.

Проверка гипотез относительно средних. Предположим имеется некоторое стандартное среднее х0 и ряд измерений переменной

X = {*!, х2, ..., хл/}- Выдвигается гипотеза, что х0 Ф х, т. е. раз­ ница между стандартным средним х0 и вычисленным по выборке х существенна. Альтернативная гипотеза: х0 = х. Справедливость этой гипотезы проверяется по формуле:

(14)

При выполнении условия (14) гипотеза х0 Ф х принимается. То есть, если абсолютное значение разности между стандартным

средним и вычисленным по выборке превышает значение —t S ,

то принимается гипотеза, что выборочное среднее в статистическом смысле существенно отличается от стандартного среднего.

Пример 5. Десять термометров сопротивления откалиброваны

по стандартному, который показывает х0 = 1000 мв. При измерении такого напряжения каждым термометром сопротивления были по­ лучены следующие данные: 986; 1005; 991; 994; 983; 1002; 996; 998;

1002; 983.

Проверить гипотезу о том, что среднее по выборке 10 термомет­ ров сопротивления значимо (существенно) отличается от стандарт­ ного среднего.

Решение.

| JC0 — л:| = | 1000 — 9941= 6,0;

2,23 / 64,9

5,69 < 6,0,

/То "

т. е. гипотеза принимается; среднее значение измерений 10 термо­ метров значимо отличается от стандартного термометра сопротив­ ления.

Проверка гипотез для дисперсий. Имеются две выборки объема

и N по которым рассчитываются оценки дисперсий s2 и s?. Необходимо определить, отличаются эти оценки дисперсий или меж­ ду ними существует случайное расхождение.

Выдвигается гипотеза Н0: о2 = с^, т. е. выборки взяты из гене­ ральной совокупности с одинаковой дисперсией, против гипотезы

а\ ф а|. Гипотеза Н0 принимается, если отношение оценок диспер­ сий удовлетворяет условию:

где Si > S2 и F — критерий Фишера для степеней свободы flf /2. Пример 6. Сравнивались точности химических анализов на со­ держание примеси в целевом продукте, сделанных двумя лаборан­ тами, один из которых (А) был новичком в работе, а другой (В) — опытным работником. Лаборант А выполнил 20 анализов, а лабо­

рант В — 13. Результаты анализов следующие:

В4,56 4,66

Определить разницу точности анализа для 5%-ного уровня зна­ чимости.

Решение:

20

Средние значения анализов у обоих лаборантов примерно равны,

однако рассеяние результатов анализов около средних (si и S2) разное. Сравним оценки дисперсий:

= 20 — 1 = 19, /2 == 13 — 1 = 12, FT = 2,50. (Приложение 5). Поскольку Fp < FT гипотеза о принадлежности выборок

и JV2 к единой генеральной совокупности принимается. Таким об­ разом, с вероятностью Ре = 0,95 (уровень значимости q = 0,05) разница в точности анализа у лаборантов А и В несущественна.

Обнаружение и исключение аномальных значений. Аномаль­ ные (резко отличающиеся) значения в выборке отбрасываются с большой осторожностью. В работе [67, с. 179] предлагается такая процедура:

— находится Amax = *max —

где jCmax — аномальное значение в выборке;

— проводится оценка

где с — константа. Наблюдение xmax отбрасывается, если неравен­ ство (16) выполняется. Оценка может проводиться многократно;

среднеквадратичное отклонение sx рассчитывается каждый раз по

/(/ + /

(17)

где f = N — 1 — число степеней свободы оценки дисперсии s*;

f_любое число дополнительных степеней свободы (обычно /0 = 0). Пример 7. Получен ряд измерений состава продукта на газо­

=25,5. Является ли значение хърезко выделяющимся (аномальным)

иследует ли выбросить его из данной выборки?

неизвестен, то по данным наблюдениям строится так называемая гистограмма. По оси абсцисс откладываются интервалы, соответст­ вующие группам совокупности случайной величины, и на каждом из них как на основании строится прямоугольник, высота которого

то гипотеза о нормальном распределении случайной величины при­ нимается.

Пример 8. Произведено 200 замеров температуры в реакторе. Отклонения температуры от номинальной хт\п = — 20, хтах = 30 были разбиты на 10 интервалов и представлены в табл. 3. Точность измерения температуры ± 1 град. Определить с помощью критерия Пирсона гипотезу о согласии выборочного распределения при 5%-ном уровне значимости.

Решение. Заполняем табл. 3 исходными данными и расчетными значениями в соответствии с формулой (20) и (20а).

Находим оценки математического ожидания и дисперсии по формулам

ю

х= 2 х&Рё = 4,30° С; g=i

(£ = 9,7Г С.

По формулам (23) вычисляем нормированные значения случайной величины по приложению 7 или по табл. IX [40, с. 504] находим Ф0 (2e)f имея в виду, что zg < 0 и Ф0 (zg) = — ф0 ( \ Zg\).

Заносим результаты расчетов pg в табл. 4 и рассчитываем дан­ ные для Хр.

Интервал g = 10 ввиду его малочисленности объединяем с ин­ тервалом g = 9. Число степеней свободы при этом уменьшается

ности закона распределения измерений температуры принимается.

§ 5. Априорное ранжирование переменных объекта исследования

При оценке мнений специалистов о степени влияния факторов на переменные состояния в предварительном эксперимен­ те широко используются методы ранговой корреляции [42]. Суть метода в следующем. Специалистам, хорошо знакомым с исследуе­ мым объектом, предлагается расположить факторы в порядке убы­ вания степени их влияния на переменную состояния. Например, фактору Х 4 присваивается второе место (ранг 2), фактору Х0 — первое место (ранг 1) и т. д. Такую оценку называют ранжирова­ нием факторов. В процессе ранжирования можно факторы добав­ лять или отбрасывать; некоторые факторы могут не иметь количе­ ственной оценки. После сбора опросных листков (анкет специалис­ тов) составляется сводная таблица «номер специалиста — факторы», где элементом матрицы является ац — ранг каждого /-го фактора

содержат натуральный ряд чисел, расположенных в произвольном

Очевидно, что при полной несогласованности мнений специали­ стов эта сумма будет максимально близка к величине а (при нечет­ ном т) или равна ей (при четном т):

S(d2)-* min.

При полной согласованности мнений специалистов

S(d2)-+- max.

Несложными преобразованиями [52, с. 101] можно получить общий член суммы:

для f = п — 1 при заданном q, то считается, что мнения экспертов согласованы.

При наличии дробных рангов, т. е. такой ситуации, когда экс­ перт не может отдать предпочтение тому или иному фактору и при­ сваивает им равные дробные ранги, W рассчитывают по формуле:

S (d2)

W =

(31)

~ т * ( п 3 — п) — m 2 Ti t=i

где S (d2) — сумма квадратов отклонений рангов от общего сред­ него; т — число экспертов; п — число ранжируемых факторов; Т{ — показатель, учитывающий дробные ранги для одинаковых рангов в столбце;