Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Механика композитных материалов N3 2006

..pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
6.32 Mб
Скачать

Л А ТВИ Й СКА Я АКАДЕМ ИЯ НА УК

LA TV IA N ACAD EM Y o f SCIENCES

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

MECHANICS

of COMPOSITE MATERIALS

2006 • T. 42 • 3 • 283—4 2 2

Май—июнь

May—June

Выходит 6 раз в год с января 1965 г. Issued since 1965, bimonthly

ЛАТВИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ ПОЛИМЕРОВ РИГА

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР В. П. Тамужс EDITOR-IN-CHIEF V Р. Tamuzs

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

М. М Калнинъ, Р. Д. Максимов, Р. Б. Рикарде, Г А. Тетере, А. К. Чате, Ю. О. Янсонс (зам. главного редактора)

EDITORIAL BOARD

М. М. Kalmyks, R. D. Maksimov, R. В. Rikards, G. A. Teters, A. K. Chafe, J. O. Jansons

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

X. Алътенбах (Германия), С. А. Амбарцумян (Армения), Л. Берглунд (Швеция), А. Богданович (США), В. В. Болотин (Россия), Г А. Ванин (Россия), Я. Варна

(Швеция), В. В. Васильев (Россия), А. Н. Гузь (Украина), А. Дуда (Германия),

И. В. Кнетс (Латвия), В. В. Коврига (Россия), И. Г Матис (Латвия), С. Т. Милейко (Россия), Т. Н. Миллер (Латвия), В. Г. Пискунов (Украина), Ю. М. Плескачевский

(Беларусь), Б. Е. Победря (Россия), В. А. Поляков (Латвия), Г Г Портнов (Латвия),

Р. Талрея (США), К. С. Хан (Корея), О. Р. Юркевич (Беларусь)

ADVISORY BOARD

 

 

 

 

 

 

Н.

Altenbach (Germany), S. A. Ambartsumyan

(Armenia),

L.

Berglund (Sweden),

A. Bogdanovich (USA),

V V. Bolotin (Russia), G. A. Vanin (Russia), J. Varna (Sweden),

V

V. Vasilyev (Russia),

A. N. Guz’ (Ukraine), A. Duda (Germany),

I. V

Knits (Latvia),

V.

V Kovriga (Russia), I. G. Matlss (Latvia), S. I

Mileiko (Russia),

I N

Millers (Latvia),

V

G. Piskunov (Ukraine), Yu. M. Pleskachevskij

(Belarus),

В.

E.

Pobedrya (Russia),

V

A. Polyakov (Latvia),

G. G. Portnov (Latvia), R. Talreya

(USA),

K. S. Han (Korea),

O. R. Yurkevich (Belarus)

Журнал издается на английском языке Springer Science+Business Media, Inc. (США,

ISSN 0191-5665) и аннотируется в следующих изданиях:

The Journal is published in English by Springer Science+Business Media, Inc. (USA,

ISSN 0191-5665) and is abstracted or indexed in:

Material Science Citation Index,

Reaction Citation Index,

Chemical Abstracts, Chemical Titles,

ISMEC, Applied Mechanics Reviews,

INSPEC— Physics Abstracts, PRA Report:

Polymer Contents, and Current Contents

Engineering: Computing and Technology SciSearch,

and Applied Sciences,

Engineering Materials Abstracts & Metals Abstracts

Rapra Abstracts Database,

Engineered Materials Abstracts,

METADEX (METals Abstracts/Alloy InDEX).

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ,— 2006,—

Т. 42, № 3.

— С. 285— 300

MECHANICS OF COMPOSITE MATERIALS. — 2006,—

Vol. 42, No. 3.

— P. 285— 300

А. Лагздинъ, P. Д. Максимов, Э. Плуме

Латвийский университет, Институт механики полимеров, Рига, LV-1006 Латвия

УПРУГОСТЬ КОМПОЗИТОВ С РАЗНООРИЕНТИРОВАННЫМИ АНИЗОМЕТРИЧЕСКИМИ ЧАСТИЦАМИ НАПОЛНИТЕЛЯ

A. Lagzdins, R. D. Maksimov, and Е. Plume

ELASTICITY OF COMPOSITES WITH IRREGULARLY ORIENTED

SHAPE-ANISOTROPIC FILLER PARTICLES

Keywords: short fibers, platelets, fibrous composite, platelet-rein- forced composite, nanocomposite, elastic constants, orientational averaging

A variant of determining the elastic characteristics of composites containing irregularly oriented shape-anisotropic filler particles of two types (short fibers and thin platelets) is considered. The effective elastic constants of the composites are calculated by using the method of orientational averaging of elastic characteristics of iso­ lated transversely isotropic structural elements reinforced with unidirectionally oriented short fibers or coplanarly arranged thin platelets. The superposition of elastic properties of the irregularly ori­ ented structural elements, with account of their orientational distribu­ tion in the composite material, is accepted. The calculation results are compared with experimental data for the effective elastic moduli of polymeric composites reinforced with short glass fibers and of polymeric nanocomposites containing the platelet-type particles of organically modified montmorillonite.

Ключевые слова: волокна короткие, частицы пластинчатые, композит волокнистый, композит пластинчатый, нанокомпозит, константы упругости, усреднение ориентационное

Изложен вариант определения характеристик упругости компо­ зитов, содержащих разноориентированные анизометрические частицы наполнителя двух типов: коротковолокнистые и плас­ тинчатые. Расчет эффективных констант упругости композитов выполнен с использованием метода ориентационного усреднения свойств выделенных трансверсально-изотропных структурных элементов с однонаправленной ориентацией коротких волокон и с компланарной укладкой пластинчатых частиц наполнителя. До­ пускается суперпозиция свойств разноориентированных элемен­ тов с учетом функции распределения их ориентации в материа­ ле. Результаты расчетов сопоставлены с экспериментальными

данными эффективного модуля упругости полимерных компо­ зитов, армированных короткими стеклянными волокнами, и по­ лимерных нанокомпозитов, содержащих пластинчатые частицы органомонтмориллонита.

Введение

Введение в полимеры различного рода наполнителей — один из важней­ ших способов создания новых композитных материалов, обладающих необ­ ходимыми эксплуатационными свойствами. Частицы наполнителя могут вы­ полнять роль не только заполнителя объема, вводимого с целью снижения стоимости материала, но и обеспечивать армирование (усиление) получаемо­ го композита. На практике широко используются дисперсные наполнители с частицами в виде сфер, порошков с нерегулярной формой частиц, пластинча­ тых чешуек, различного типа коротких волокон. Армирующий эффект дости­ гается при введении в непрерывную матрицу анизометрических частиц, име­ ющих существенно различающиеся размеры в разных направлениях. Такими являются пластинчатые (чешуйчатые) и коротковолокнистые частицы. Раз­ мер пластинчатых частиц по длине и ширине обычно значительно больше, чем по толщине. Длина коротковолокнистых частиц намного больше их диа­ метра. Армирующий эффект таких частиц существенно зависит от так назы­ ваемого характеристического отношения их наибольшего размера к наимень­ шему.

Коротковолокнистые композиты используются давно и им посвящена обширная литература. В последние годы резко возросло число публикаций, посвященных полимерным нанокомпозитам, содержащим в качестве на­ полнителя частицы слоистых силикатов [1— 6]. Нанокомпозитами в литера­ туре называют материалы, содержащие частицы наполнителя, один из раз­ меров которых не превышает 100 нм. Наилучшие результаты получены при использовании глинистого минерала монтмориллонита, пластинчатые мо­ нослои которого имеют толщину всего лишь ~1 нм, а размер в плоскости пластинок достигает нескольких сот нанометров. Таким образом, наночас­ тицы монтмориллонита имеют весьма значительное характеристическое от­ ношение их размеров, что позволяет при сравнительно небольшой концентрации наполнителя (обычно менее 5% по объему) существенно (в два и более раз) увеличить модуль упругости материала [1, 7, 8].

Свойства композитов с анизометрическими частицами наполнителя сущест­ венно зависят также от ориентации частиц в материале. Распределение таких час­ тиц по ориентации, как правило, достаточно сложное и может изменяться от хао­ тического (равновероятного по направлениям) до однонаправленного в случае коротких волокон или плоскостного (компланарного) в случае пластинчатых час­ тиц. Любое отклонение ориентации анизометрических частиц от строго хаотичес­ кой вызывает появление анизотропии свойств композитного материала. Ориента­ ция таких частиц при переработке композиций в изделие плохо поддается направленному регулированию. В реальных изделиях материал с анизометричес­ кими включениями, как правило, является анизотропным, в большей или меньшей

+~ ( 1и 1\кР jl + l\il\lix jk + hjhlV-ik + l\jhkV-il){C\2\2 +C 3131 ) +

+ - ( /i//ijV-ki + hkhiV-ijXе 1122+C 33ii) ds,

(2)

г д е О = 8 л 2, S - A n , <* = sin0 dQd(p, (p = TC/2 —cp J, ly = cos(х\,ху), /u =cos0,

/12 =coscpsin0, /|з =sin(psin0, ц,у =8,y -l\jl\j', 5 у — символ Кронекера, a круглые скобки в нижних индексах означают операцию симметрирования.

После интегрирования по единичной сфере S из (2) находим выражения для всех компонент тензора С у^:

*

С j j j j = к{ [(2/7 + 3)(2л + \)Х j + 6А,2з ]С 1111+

*

*

*

*

+ [A,J + (/7 + 2)(/7 -I- 1)Л,23 ](ЗС 2222 + З С 3333 + 2 С 2233 + 4 С 2323 ) +

*

*

*

*

+ 2[(2и + 1)А.] +2(и +1)Л,уз](С 1122+ С з311+2С1212 + 2 С з131)},

С 2222 —С 3333

2[Х.] +(п +2){п +1)А,2з ]СП11 +

 

 

*

*

*

+-[4 (п + 2 )(« + 1 Я , +(3«2 +1 3/7 +16)Х 23 ](3 С 2222 + 3 С 3333 + 2 С 2233 +

8

(3)

* * * * *

+ 4 С 2323 ) + (п +l)[2A,j +(/? +4)А,23 Х С 1122 + С 3311+ 2 С 1212+ 2 С 3131)

^1122 —^ 3311 —&*|[(2/7 + 1)А, j +2(/7 +1)^23 ](С 1111 —2 С 1212 —2С 3131) +

1

*

*

3333 ) + [2(/7 +2)?1 ] +

+ —(/7+1)[2^J + (/7 + 4)А,23 ](С 2222 + С

*

 

 

*

+(/7 + 1)(3/7 -+ 8)?С23 ]С 2233 —2[(Л, j + (/7 + 2)(/7 -+1)Л.23 ]С 2323 +

+ [(2п + 5/7 + 4)А. 1 + (2/7 + 7/7 + 8)А,23ХС 1122+ С зз 11) L

С 2233 —

+(/7+2)(/t + 1)Х*23 ](С 1111—2С 1212

2C313D +

л

*

*

 

+ -[4 (л + 2 )(и + 1 Я , +(3 п 21 + 13/7 +16)^23 ](С 2222+ С

3333) +

8

 

 

 

1

+—[4(3/72 +9и+4)Х , +(/72 +15и + 3 2 Я 23]С2233 + 4

+ 1 [-4 (« 2 +3/7+1Я , +(/72 -/7 -8 )^ 2 3 ]С 2323 +

 

 

*

*

1

+[2(/7 +2)А,| + (/7 + 1)(3/7 + 8)А,2з 1C 1122 + С 3311) к

 

 

ф

 

ф

С 1212 —С*3131

[(2/7 +1)^1 + 2(/7 +1)^23 ](С 1111 —С 1122 С 3311) +

 

 

 

 

(3)

1

*

*

 

'*

+ -(/|+1)[2А .1+ (« + 4 Я 2 з ](С2222 + С зЗЗЗ)-[^! + (л +2)(/1 + 1 )^3 ]С 2233 +

+ [(2/1 + 3)А,| +2(л + 3)(/7 -+ 1)Л.23

 

2323 +

+ [(2/7 ^ + 3/7 + 3)Х, j + (2/7

+ 5/7 + 6)Х 23 ХС* 1212+ C313l)L

I

ф

ф

ф

С 2323 = ^][^1

+ (w +2)(/7+1)А*23 ](С* 1111 —С 1122 “ С 3311) +

1

ф

*

+-[4(/7+2)(/7+1)А,1 + (3/72 +13/7 +16)Х.23 ](С 2222 + С 3333 ) +

8

1

9

о

*

+ —[—4(/7

+3/7+1)А,| +(/7

 

—/7 —8)Х,23 2233 +

+ ^[2(2/72 +6/7+3)A,J +(/7+4)(/7+3)А.23]С2323 +

+[(2« +3)Я., +2(/7+3)(/7+l)A.23XCl212 + C 3131) 1,

где

(А., + А,23 ){2п + 5)(2и +3)

Нетрудно проверить, что С 2222 ~ С 2233 = 2С 2323 ’ т- е- ПРИ произвольных п, X ] и А.23 тензор C ijU вообще получается трансверсально-изотропным, как и должно быть, если функция / зависит только от угла0.

В частном случае, когда п = 1,X.i = X 23 (или п = 0), приходим к изотропно­ му тензору С :

С jjki —— [2(2С ттпп —С тптп )5;у5щ +(3С тптп —С ттпп )(5 5у/ +8,/8д )] .

(4)

Как видно из (1), при л -» оо структурные элементы расположены только вдоль оси х ] (где/j ] = 1,0 = 0), если X ] > 0, и параллельно плоскости х 2х 3 (где /| | =0,0 = л/2), если А.2з >0. Переходя к пределу л -> оо и введя обозначение

Игл С д / = С,д/, из соотношений (3) получаем

 

 

л->00 у

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

-I

*

*

*

 

*

 

 

X ] С 1111 + - А.23(З С 2222 + 3 С 3333 + 2 С 2233 + 4 С 2323)

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

С ОО

_ /О ОО

|

 

*

*

*

*

*

- А , 23(ЗС1111 + СИ22 + С 3311+ 2С 1212+ 2С 3131) +

2222 “ с 3333 = *1

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

*

*

 

*

 

 

(4А., +ЗА.23) ( З С 2222 + З с з 3 3 3 + 2 С 2 2 3 3 + 4С 2323) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

г

00

_ с 00

—Zr

j

*

*

*

 

*

-

А.23 (С 2222 + C3333 + 6 C 2 2 3 3 - 4 C 2323 ) +

С ц

22 -<-3311

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

*

*

 

 

 

 

 

 

 

 

+^23 ) ( ^ 1122 + С 3311)

 

 

 

 

I

 

*

*

*

*

 

*

СгЪз = *1 —А,23(С 1111+ ЗС 1122+ ЗСзЗП —2Cl212 —2C313l) +

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ — (4А*1 + ЗА,23 )(С 2222 + С 3333 ) +

 

 

 

 

h— (12A,j + А. 23 ) С 2233 н— ( —4Л, j

+ А, 23 ) С 2323

16

8

СОО

_ нг 00

 

*

*

*

*

 

2222

+ С 3333 - 2С 2233 + 4 С 2323 +

1212 -'-3131 = к 1

 

 

-(А., + A.23)(Cl212 + C 313l)

(5)

 

 

 

 

 

 

 

1

*

*

*

*

*

С 2ТО323

- A 23( C l l l l - C l l 2 2 - C 3 3 1 1 + 2 C l 2 1 2 + 2 C 3 1 3 l ) +

 

4

 

 

 

 

 

 

+ — (4A.J + ЗА.23 КС 2222 + С 3333) +

 

 

1

 

*

1

*

 

 

+ — ( -4 A j

+ А 23)С2233 + -(4А .,

+А,2з ) С 2323

 

 

16

 

 

8

 

 

где

1

к х =

^-1 + ^-23

Отметим, что для трансверсально-изотропного структурного элемента выполняются зависимости

*

*

*

*

*

*

*

*

*

С 2222 = С 3333,

С 1122 = С 3311,

С 1212 = С 3131,

С 2222- С 2233

=2С 2323,

которые при выводе формул (2)— (5) не использованы и должны быть учте­ ны дополнительно.

Положив в (5), что X j = 0, получаем константы упругости для случая, ког­ да все структурные элементы равномерно ориентированы параллельно плоскости х 2х з , а при X 23 = 0, когда все элементы ориентированы вдоль оси

X], из (5) следует, что С ijkl А.23-0 - С ijkl.

Приведем еще прямые и обратные соотношения между трансверсаль­ но-изотропным тензором упругости С щ и техническими константами —

модулями упругости E h модулями сдвига Gy и коэффициентами Пуассона

E j / E i (сум мирования нет), необходимы е в практических

V i j = » j i ~ j

 

расчетах:

 

С ни , !~ °23

с 2222 —^ 3333 - l ~ u 12u 21

E I A I 5

Е \Е 2&1