Механика композитных материалов N3 2006
..pdfс Ц |
- У Г И |
* * г , к |
|
|
2^+р+З j^n+2p+A |
|
р + 1 P+l |
С р (-1 )п~р (п + \)Тп~р Зр+: |
2ф ; +2к р +2 |
||
|
2«+р+ 5 ^ п+ 2р+ 6 |
л |
|
в котором, для кратности записи, введены следующие обозначения:
|
5-1 |
а к + 1 |
5-1 |
1 |
u*+l |
= |
|
J zPdz> Ф Р = И |
j Z^i/z, |
||
|
|
||||
|
k=0E k+\ ' |
* = 0 ^ +i( a J +1) я; |
|||
|
|
|
|
bC*p = |
И |
K » = - r i ; ( - i)p c J , |
. . |
k \ ( p - k ) \ |
|||
|
yfn k=0 |
P r ( P |
+2 |
|
|
Равенства нулю
dR |
n |
3R . |
— =0 и — =0 |
||
да |
|
dm |
приводят к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
|
|
|
|
- а - Т а + т =0 |
или |
т -{Т а), |
|
(2.3) |
л 2 . |
ЗФ>/ |
27Ф J i * + f Ф* |
С .’ У |
Г Ъ + У |
Г ' Г ' |
mP |
||
2/ |
• о - ---- * |
- |
|
|
2п+Р+^ h л+2р+4 |
Р |
||
|
8А |
32/г 6 |
()1 |
|
||||
|
|
|
с г н о » ± в д ^ ^ к |
л . а |
|
|||
|
|
|
Р+2 |
2 ,7+/7+^ ^ли-2/7-ь6 |
P+z I |
(2.4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученную систему уравнений необходимо дополнить начальными усло виями, которые согласно физике явления заключаются в отсутствии мо мента при Т - 0 и наличии начального несовершенства, т. е.
\
/и(0)=0, W(JC,0) = W0 =tfo sin^sinTtf 1 - у
(2.5)
где «о — задаваемая амплитуда начального несовершенства (рис. 1). Используя первое условие (2.5), из второго уравнения (2.3) получим
Р и с . 1. Форма начального несовершенства при жестком защемлении.
т = -Та. |
( 2.6) |
Путем подстановки (2.3) и (2.6) в (2.4) приходим к нелинейному уравнению, разрешая которое относительно а, находим
ЗФ\1 |
27Ф 2/ |
а —- |
(п+1)Т |
|
|
а = <------ ------------ |
|
' |
■“ |
||
w |
32А' |
|
*)Л+2 1И+4 |
||
|
2 |
П |
р =О |
||
+ o v |
|
|
|
|
Р + 2 |
р + 2 2 „ + р + 4 h 2 ( p + \ ) ° |
|||||
А ф>
СР7.Р+1
я2 ,2 7 Ф 2/ Г | 2/ 32А6
-1
2П+^ h n+^ |
() |
I^2(J?+\) |
Р |
|
|
|
(2.7) |
Для последующего анализа представляется целесообразным ввести сле
дующие безразмерные величины: |
|
3 £ .Ф | |
2 7 £ ,Ф 2 к h |
v |
(n+\)E"+xC p3p+jK p+ .■ |
|
|
(P p + j = --------- 1 |
” |
* P + J O '= 1 .2 ), |
|
|
2>i+p+2+j fjP+2+J |
|
|
независимую переменную у = a/h и искомую функцию т = -----. Тогда после hE\
ряда преобразований уравнение (2.7) можно представить в виде
- |
^ |
2 + Ф 2 * + * ”+'У1р+2УР1 |
|
dx |
2_______________ Р ± ___________ |
|
|
dy |
|
|
|
ч>1- 4>2y - 't n i { 4>l+iy p+ <?vp+2y p+'} |
|
||
|
|
Р=О |
(2.8) |
Здесь переход к безразмерному дифференцированию осуществлялся по правилу
d _ 1 d d T ~ hEx dx'
В случае, когда слои стержня линейно-упругие, т. е. <p vp =0, для крити ческой силы устойчивости получаем результат работы [7]:
П-1С 2
кр
т " ж Т ф ^
Таким образом, определение критической силы выпучивания заключает ся в решении уравнения (2.8) при начальном условии
У(.0) = ^ |
= Уо . |
И |
(2.9) |
В частном случае при нулевом эксцентриситете {у = 0) условие обращения в нуль числителя уравнения (2.8) дает следующее алгебраическое уравнение (и+1)-й степени для определения критической силы устойчивости цен трально-сжатого стержня:
|
v |
п+1 . |
12 |
г\ |
(2.10) |
|
Ф 2Т |
+ Ф2Т _ — S |
=0- |
||
|
|
||||
Формула (2.10) определяет критическую силу Шенли. |
|
||||
3. |
В качестве примера рассмотрим трехслойный стержень (s = 3) с перио |
||||
дической |
структурой Ei = Е з, 5! = 5 3 |
и а® =ст®. Введем дополнительно |
|||
обозначения:
Опуская элементарные выкладки, приведем сразу уравнение (2.8) для раз личных случаев показателя нелинейности:
•для п = 2
—= —(4<Щ 2 -0Д 8ф 2т - 0 Д а 2ф ^т3 -0 ,8 3 \2c p > V ) x
dy у
х (0Д8ф 2 + 0,64X2q> 2 +0,83Х.2ф ^ у 2т 2)-1
Здесь
Ф2 |
2 +ЗВ +1^р2 +ОД5ар3 |
v _ 2 + Зр+1,5р2 +0Д5схр3у2 |
> |
|
-----------------------5 |
> Ф2 |
о |
||
|
(1+о^р)3 |
|
(1+О^р)3 |
|
|
V _2 + 5Р + 5р2 +2,5р3 +0,63р4 +0,063ар5у2 |
|
||
|
Ф 4 --------------------------------- |
“ 7---------------------- |
> |
|
|
|
(1+О^Р)5 |
|
|
для п = 4
— = —(4,93!;2 -0^8ф2т-0,09^4Ф ^ 5 -2,08Я.4ф ^ 2т5 -1,84Х4ф% V ) X
dy у |
|
|
1 |
4 |
ь |
|
х (0Д8ф 2 +0,44Я.4 ф |
4 + 3,46Х 4 ф ^ 2т 4 +1,84?.4 ф |
^ 4т 4 ) -1 |
(3.2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
_ 2+ЗР +1^р2 +0Д5ар3 |
v _2+зр + 1^р2 +0Д5ар3у4 |
|
||||
ф2 |
(1+ода3 |
’ |
ф2 |
(1+О^Р)3 |
|
|
V |
2 + 5Р+5Р2 +2,5р3 +0,63р4 +0,063ар5у4 |
|
||||
Ф 4 = -------------------------------- |
|
<----------------------- |
|
. |
|
|
|
|
(1+ од а5 |
|
|
|
|
V _2 + 7р + 10^р2 +8,75Р3 +438Р4 + 1,31р5 +0Д2р6 +0,016ар7у4 . |
||||||
Ф 6 |
|
|
<7 |
|
|
5 |
|
|
(1+о^р)7 |
|
|
|
|
ДЛЯ /7 = 6 |
|
|
|
|
|
|
— = -(4,93^2 - 0Д8ф 2т - 0,03А.6ф |
2 |
7 -1,82А.6ф> |
2т 7 -9,64Хбф > 4х7 - |
||||
dy у |
|
|
|
4 |
О |
|
|
-391,47?16ф ^ Л 7)(0Д8ф2 +0Д2?16ф^т6 + 4Д4?Лр*;>Л6 + |
|
||||||
|
+13,49?Лрv6y 4т 6 + 391,47А 6ф g^ 6т 6)"' |
(3.3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
? |
_ 2 +зр + 1^р2 +0Д5ар3 |
|
|
у _ 2+Зр + 1^р2 +0Д 5ар3у 6 |
|
||
2 |
(i+ода3 |
’ Ф2 |
(1+0^р)3 |
|
|||
|
v _ 2 + 5р+5р2 + 2^р3 +0,63р4 +0,063ар5у 6 |
|
|||||
|
4 |
|
(1+0^р)5 |
|
|
|
|
V |
2 + 7р + 10^р2 + 8,75р3 +438р4 + 1р1р5 +0Д2р6 +0,016ар7уб |
Фб = |
-------------------------------------------------п------------------------------------- |
|
(1+ОЗР)7 |
ср 8 =(2 + 9р + 133Р2 +2ip3 +15J5P4 +7,88р5 + 2,63р6 + 0,42р7 +
+0,07р8 +0,004ар9у6)(1+03р)-9
Для исследуемого случая неоднородности уравнение (2.10) принимает вид при /7=2
o a i c p ^ v +028ф 2т -4£3% 2 =0,
(3.4)
при /7 = 4
0,09ср^4т 5 +02&р 2т -4^3^2 =0, |
(3.5) |
|
Рис. 2. Зависимости критической силы выпучивания ткр от параметров а (а, р= 4, у = 0,25); р (б, а = 0,5, у = 0,25); у (в, а = 0,5, Р= 4). Цифры у кривых — значения п.
при П = 6
0,03ф ^6т 7 +0,28ф2т -4,93%2 =0.
(3.6)
В приведенных алгебраических уравнениях фигурируют только величины <р2 и ср 2>которые определяются таким же образом, как и в уравнениях
(3.1)—(3.3). Случай однородного стержня вытекает из (2.8) или (2.10) при а =у =1.
Приняв£=10 = 3 10z, численно,методомРунге—Кутгарешена зада ча Коши для уравнения (2.8) при начальном условии у(0 ) = Уо = КГ1 На
рис. 2 приведены зависимости критической силы тк_ от величин а, р и у. Значения критических сил определяли из условия с/х/dy =0. На рис. 3 даны зависимости критических сил устойчивости при нулевом эксцентриситете. Отметим, что вэтом случае алгебраические уравнения решали методом ите раций. Соответствующие численные значения в однородном случае следу ющие:
0,25 |
1,25 |
2,25 |
Рис. 3. Зависимость критической силы устойчивости Шенли от параметров а (а, р = = 4, у = 0,25); Р (б, а = 0,5, у = 0,25); у (в, а = 0,5, р= 4). Цифры у кривых — значе ния п.
|
0,008324 |
при |
П = 2, |
ткр |
0,006250 |
при |
« = 4, |
|
0,005635 |
при |
и = 6 |
для критической силы выпучивания и |
|
|
|
|
0,010468 |
при |
л = 2, |
ткр |
0,007896 |
при |
л = 4, |
|
0,007225 |
при |
п = 6 |
для критической силы устойчивости Шенли.
Таким образом, при выбранных значениях параметров можно сделать следующие выводы:
•для фиксированного п критическая сила устойчивости Шенли боль ше, чем критическая сила выпучивания; как и следовало ожидать, с увеличением степени нелинейности кри тическая сила уменьшается;
различие численных величин для критических сил при п = 4 и п = 6 го раздо меньше, чем при п = 2 и п = 4, что вполне объясняется поведе нием диаграммы (1.1) при больших значениях показателя нелиней ности; из данных рисунков 2— а и 3— а следует, что при заданных Р и у уве
личение параметра а приводит к уменьшению критической силы т кр, что можно объяснить фиксированностью величины Е j, ибо рост зна чений а связан с уменьшением модуля упругости второго слоя Е 2, ко торое приводит к снижению общей жесткости стержня; изменение значений а и у не меняет качественной картины критичес
кого состояния; при заданных а и у (рис. 2— б и 3— б) критическая сила в зависимости
от параметра Р возрастает.
В заключение отметим, что достоверность полученных результатов обе спечивается корректностью постановки задачи, применением обоснован ных математических методов, сравнением в частном случае с известным ре шением и физически обоснованными выводами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Волъмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. — М., 1967. — 484 с.
2.Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. — М., 1978. — 310с.
3.Хофф Н. Продольный изгиб и устойчивость. — М., 1955. — 154 с.
4.Победря Б. Е. Механика композитных материалов. — М., 1984. — 336 с.
5.Амензаде Р. Ю., Ализаде А. Н., Асланов А. С. Об одном методе построения уравнений теории тонких упругих стержней // Изв. АН Азерб. ССР. — 1978. — №5. — С. 107— 114.
6.Амензаде Р. Ю., Киясбейли Э. Т. О точности линейного распределения напря жения в задачах выпучивания многослойных стержней // Докл. АН Азербайджа на. — 2000. — № 4—6. — С. 72—77.
7.Абдуллаев Ф. А., Амензаде Р. Ю., Киясбейли Э. Т. Устойчивость многослой ных стержней при различных видах закреплений // Вестн. Бакинского ун-та. — 2001. — № 1. — С. 131—141.
Поступила в редакцию 28.09.2005 Окончательный вариант поступил 14.02.2006 Received Sept. 28, 2005 (Feb. 14, 2006)
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ.— 2006.— Т. 42, № 3. |
|
— С. 361— 374 |
MECHANICS OF COMPOSITE MATERIALS. — 2006.— Vol. 42, No. |
3. |
— P. 361— 374 |
H. В. Новиков, А. Л. Майстренко, В. И. Кущ, С. А. Иванов
Институт сверхтвердых материалов им. Н. В. Бакуля Национальной академии наук Украины, Киев, Украина
ОЦЕНКА КАЧЕСТВА М ЕТАЛЛОАЛМ АЗНЫ Х КОМ ПОЗИТОВ ПО ИХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ЭЛЕКТРОСО ПРОТИ ВЛЕНИ Ю 1
N. V. Novikov, A. L. Maystrenko, V. I. Kushch, and S. A. Ivanov
QUALITY RATING OF A METAL MATRIX-DIAMOND COMPOSITE FROM ITS THERMAL CONDUCTIVITY AND ELECTRIC RESISTANCE
Keywords: diamond-containing composites, imperfections, nonde structive testing, thermal conductivity, electric resistance, quality rat ing
The efficiency of hot-pressed diamond-containing composite materi als (DCM) for various tool applications is greatly affected by microdefects, namely, the residual porosity of the metal matrix, the damaged diamond grains, and the imperfect diamond-matrix inter faces. An instrumental evaluation of these microdefects, predeter mining the quality of a tool equipped with DCM, is rather difficult due to the small size, the nonstandard shape, and the strong heteroge neity of specimens. Proposed here is an alternative, nondestructive technique of DCM quality rating, which includes the measurement of electric resistance and thermal conductivity of diamond-containing composites and processing the obtained data by the methods of composite mechanics. It exploits the fact that diamond, being a di electric, possesses an extremely high thermal conductivity, which al lows estimating the residual porosity of a sintered metal matrix from the ratio of specific electric resistances, one being measured and an other predicted by the theory. These data, in turn, are utilized to pre dict the thermal conductivity of DCM with an imperfect matrix. Match ing with experiments, after solving the inverse problem, gives the thermal resistance of diamond-matrix interface, which, within the framework of the given model, simulates the damage of both the dia mond grains and their bonds with the matrix. Thus, the numerical rat ing of quality is given in terms of two dimensionless parameters. The first one, 0 < К < 1, reflects the quality of the sintered metal matrix, whereas the second one, 0 < R < 1, is an aggregate measure of the integrity of diamond grains and the perfection degree of composite interfaces. The quite satisfactory agreement observed between the
'Перевод с англ.
theory and experiment confirms the efficiency of the technique and the reliability of the data obtained.
Ключевые слова: композиты алмазосодержащие, дефекты, испытания неразрушающие, теплопроводность, электросопро тивление, контроль качества
Непосредственная оценка микродефектов (остаточной порис тости металлической матрицы, поврежденности алмазных зе рен и дефектов на границе алмаз— матрица), определяющих качество инструментов из горячепрессованных алмазосодер жащих композитных материалов (АКМ), затруднена из-за их ма лых размеров, нестандартной формы и существенной гетеро генности образцов. Предлагаемая методика неразрушающего контроля качества АКМ включает в себя измерения теплопро водности и электросопротивления алмазосодержащих компози тов и обработку данных на основе методов механики компози тов. Учтено, что алмаз, являясь диэлектриком, обладает исключительно высокой теплопроводностью, что в свою очередь позволяет оценивать остаточную пористость спеченной металли ческой матрицы по величине отношения экспериментального и теоретического значений удельного электросопротивления. Эти данные используют для предсказания теплопроводности АКМ с дефектной матрицей. Согласование с экспериментом дает воз можность после решения обратной задачи определить величи ну термосопротивления, которая в рамках данной модели кор релирует со степенью разрушения алмазных зерен и их связи с матрицей. Численная оценка качества выражена через два без размерных параметра К, R. Вполне удовлетворительное совпа дение теории с экспериментом подтверждают эффективность методики и надежность полученных результатов.1
1. Введение
Эксплуатационные качества алмазосодержащих композитов при приме нении их в различных инструментах определяются степенью дефектности их микроструктуры. Это положение достаточно полно обосновано (напри мер, в [1, 2]). Поскольку такие композиты изготавливаются в основном го рячим прессованием, то их основными дефектами являются: остаточная по ристость металлической матрицы, поврежденность алмазных зерен, несовершенство контакта между алмазными зернами и матрицей. Увеличе ние продолжительности процесса нагревания приводит к графитизации ал маза и, следовательно, к снижению его прочности и эксплуатационных свойств [3]; внешняя нагрузка в сочетании с внутренними термическими на пряжениями вызывает растрескивание и фрагментацию алмазных зерен [1] (рис. 1—а, б). Особое внимание должно уделяться схватыванию между ал мазом и матрицей, поскольку несовершенство поверхностей контакта, как и названные факторы, существенно снижает эффективность использования