Механика композитных материалов N3 2006

Константы упругости представленных на рис. 1— 16 и 1— IIб трансвер­ сально-изотропных структурных элементов могут быть определены по из­ вестным выражениям. Халпиным и Пагано с использованием уравнений Халпина— Цая были получены зависимости для расчета технических харак­ теристик упругости однонаправленно армированного короткими волокна­ ми композита [10— 12]

В (10) индексы “m” и “f” относятся к характеристикам матрицы и наполни­ теля соответственно; Е — модуль упругости; G — модуль сдвига; К — объемный модуль; и — коэффициент Пуассона; Vf — объемная доля волок­ на в композите; l , d — длина и диаметр волокна; l/d — характеристическое отношение размеров волокна.

Преобразование выражений (10) для случая пластинчатых частиц напол­ нителя приводит к аналогичным (несколько измененным) формулам, приве­ денным в [8], где изложен анализ характеристик упругости эксфолиированного и интеркалированного полимерного нанокомпозита, содержащего в качестве наполнителя слоистые частицы монтмориллонита.

Результаты расчетов и их обсуждение

Для сравнения результатов расчета и эксперимента воспользуемся дан­ ными, представленными в [13], где исследованы композиты, армированные частицами двух типов: коротковолокнистыми и пластинчатыми. В качестве полимерной матрицы использован Найлон-6. Волокнистые композиты на­ полнены короткими стеклянными волокнами, пластинчатые — органомонт­ мориллонитом. Образцы изготовлены литьем под давлением. Приведенные в [13] микрофотографии трансмиссионной электронной микроскопии сви­

детельствуют о том, что значительная часть анизометрических частиц на­ полнителя имеет отчетливо выраженную ориентацию в продольном направ­ лении образцов. При этом в процессе подготовки композиций, содержащих органомонтмориллонит, достигнуто практически полное расшелушивание слоистых пакетов наполнителя, т.е. полученный материал может быть назван эксфолиированным нанокомпозитом.

Полученные в [13] экспериментальные значения модуля упругости ком­ позитов обоих типов показаны на рис. 3 точками в зависимости от объемно­ го содержания стеклянных волокон Vg и органомонтмориллонита Vc, лини­ ями представлены результаты вычислений. Расчеты выполнены с использованием приведенных в [13] данных о физических и геометричес­ ких характеристиках частиц наполнителей и матрицы: стеклянные волок­ на — Eg = 72,4 ГПа, о g = 0,2, l/d = 20 (где / — длина и d — диаметр волокна); монослои органомонтмориллонита — Е с = 178 ГПа, и с = 0,2, L/h = 97 (где L — размер в плоскости слоя, h — толщина); полимерная матрица в волок­ нистом композите — Е т = 2,84 ГПа, и т = 0,35 и в нанокомпозите Е m = = 2,75 ГПа, и т = 0,35. При изготовлении образцов композита двух типов был использован Найлон-6 разных марок, поэтому значения модуля упру­ гости Е т несколько различаются.

Предварительно расчеты выполнены с использованием соотношений (7) и

(9) для двух вариантов ориентации частиц: однонаправленной и хаотической с равновероятным распределением по направлениям. Полученные результа­ ты показаны на рис. 3 кривыми 1, 2 для однонаправленной ориентации и кри­ вой 3 — для хаотической. Оказалось, что почти все экспериментальные дан­ ные для модуля упругости Е j располагаются между значениями модуля упругости композита с хаотической ориентацией частиц и модуля упругос­ ти в направлении строгой ориентации частиц, что свидетельствует о прояв­ лении частичной ориентации частиц в образцах, полученных литьем под давлением. При этом отчетливо прослеживается различие изменения ориен­ тации волокнистых и пластинчатых частиц с увеличением их концентрации в материале. При малом содержании коротких стеклянных волокон (Vg = = 2,3%) данные эксперимента совпадают с рассчитанным значением модуля упругости Е j для случая хаотической ориентации волокон. С ростом вели­ чины Vg опытное значение модуля Е\ увеличивается быстрее модуля упру­ гости материала с хаотической ориентацией волокон и при Vg = 16% превы­ шает последний почти в два раза, приближаясь к величине модуля упругости композита с однонаправленной ориентацией коротких волокон (см. рис. 3— а). Таким образом, с ростом объемной доли коротких волокон степень их преимущественной ориентации в направлении продольной оси образцов увеличивается.

Ориентация пластинчатых наночастиц органомонтмориллонита с увели­ чением их концентрации в материале претерпевает гораздо меньшие изме­ нения. Экспериментальные данные модуля упругости Е j во всем диапазоне значений Vc располагаются примерно посередине между значениями моду-

Подставив (11) в (3) и полученные соотношения — в (4), находим выра­ жения для технических констант упругости как функций от X j. Используя функцию (А,I) и экспериментальные кривые E\(Vg) и E\(VC\ приведен­ ные на рис. 3, нетрудно найти искомые зависимости Xi(Vg ) n X i( V c) для рас­ сматриваемых материалов. Эта процедура была реализована численно ме­ тодом наименьших квадратов. Наилучшие результаты были получены при т = 4, а соответствующие зависимости величины X j от Vg и Vc представлены на рис. 5.

Как видно на рис. 5— а, в рассматриваемом диапазоне концентраций во­ локнистых частиц параметр X j с ростом значений Vg резко увеличивается от 0,5 и асимптотически стремится к единице. Это значит, что при малом со­ держании коротких волокон с относительно небольшим характеристичес­ ким отношением их размеров (l/d = 20) они разориентированы хаотически, а с ростом Vg они быстро ориентируются вдоль оси JCJ, создавая композит, близкий к однонаправленно армированному короткими волокнами.

На рис. 5— б показана аналогичная кривая для пластинчатых частиц, диапазон содержания которых Vc существенно меньше, чем в предыдущем случае. Значения X j в случае пластинчатых частиц изменяются с ростом па­ раметра Vc немонотонно в более узком интервале — от 0,15 до 0,26. Это сви­ детельствует о том, что нанослои органомонтмориллонита частично ориен-

Рис. 6. Влияние концентрации наполнителя на показатель анизотропии упругих свойств Е\ /Ei, полученных литьем под давлением образцов композита,, содержа­ щего короткие стеклянные волокна (а) и пластинчатые наночастицы органомонт­ мориллонита (б).

тированы так, что их нормали перпендикулярны к оси JCJ. При этом в исследованном диапазоне значений Vc сколь-нибудь значительного законо­ мерного изменения ориентации не происходит.

На рис. 6 показано влияние содержания волокнистых Fg и пластинчатых Vc частиц наполнителя на показатель анизотропии композитов, равный от­ ношению модулей упругости Е \ 1 Е 2 - В идно, что степень анизотропии во­ локнистого композита увеличивается с ростом величины Vg ускоренно, до­ стигая значения, равного двум. Показатель анизотропии образцов нанокомпозита существенно меньше (не превышает значения 1,3) и с увели­ чением Vc изменяется незначительно.

Заключение

Предложен вариант учета влияния ориентации анизометрических частиц наполнителя на константы упругости композитного материала. Определение характеристик упругости проведено методом ориентационного усреднения свойств выделенных структурных элементов с такой укладкой анизометри­ ческих частиц, чтобы свойства этих элементов были трансверсально-изо­ тропными. Константы упругости композита с разноориентированными час­ тицами, представляющие собой компоненты тензора четвертого ранга, определены как взвешенные средние константы упругости всех структурных элементов с учетом функции их ориентационного распределения в материа­ ле.

Выполнен анализ концентрационных зависимостей модуля упругости композитов двух типов: волокнистого, содержащего короткие стеклянные волокна, и пластинчатого, содержащего слоистые наночастицы органо­ монтмориллонита. Установлено, что степень анизотропии полученных литьем под давлением образцов волокнистых композитов увеличивается с ростом концентрации наполнителя существенно. Ориентация коротких стеклянных волокон с относительно небольшим характеристическим отно­ шением их размеров с ростом их содержания в материале увеличивается ускоренно, изменяясь от хаотической (пространственно равномерной) до преимущественно однонаправленной. При этом показатель анизотропии образцов, равный отношению модулей упругости в продольном и трансвер­ сальном направлениях, достигает значения, равного двум. Пластинчатые наночастицы органомонтмориллонита также обнаруживают частичную ориентацию, при которой их нормали перпендикулярны к продольной оси образца. Однако показатель анизотропии образцов нанокомпозита сущест­ венно меньше (не превышает значения 1,3) и с увеличением содержания орга­ номонтмориллонита изменяется незначительно.

Работа выполнена в рамках Латвийской государственной научной про­ граммы „Материаловедение”

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Alexandre М. and Dubois Ph. Polymer-layered silicate nanocomposites: preparation, properties and uses of a new class of materials // Mater. Sci. Eng. — 2000. — Vol. 28. — P. 1—63.

2.Polymer-clay nanocomposites /Ed. by T. J. Pinnavaia and G. W. Beall. — Chichester, New York: John Wiley & Sons, 2001. — 349 p.

3.Polymer nanocomposites: synthesis, characterization, and modeling / Ed. by R. Krishnamoorti and R. A. Vaia. — Washington: American Shemical Society, 2001. — 242 p.

4.СтрукВ. А., Рогачев А. В., Скаскевич А. А., Холодилов О. В., Люты М. Нано­ материалы и нанотехнологии для машиностроения (обзор) // Материалы. Техноло­ гии. Инструменты. — 2002. — Т. 7, № 3. — С. 53—65.

5.Микитаев А. К., Каладжян А. А., Леднев О. Б., Микитаев М. А. Нанокомпозитные полимерные материалы на основе органоглин // Пласт, массы. — 2004. — № 12. — С. 45—50.

6.Ломакин С. М., ЗаиковГ Е. Полимерные нанокомпозиты пониженной горю­ чести на основе слоистых силикатов // Высокомолекуляр. соединения. Сер. Б. — 2005. — Т. 47, № 1, — С. 104— 120.

7.Максимов Р. Д., Гайдуков С., Калнинь М, Зицанс Я., Плуме 3. Нанокомпозит на основе стирол-акрилового сополимера и природной монтмориллонитовой гли­ ны. 1. Изготовление, испытания, свойства // Механика композит, материалов. —

2006. — Т. 42, № 1. _ С. 61—74.

8.Максимов Р. Д , Гайдуков С., Калнинь М, Зицанс Я., Плуме Э. Нанокомпозит на основе стирол-акрилового сополимера и природной монтмориллонитовой гли­ ны. 2. Моделирование упругих свойств // Механика композит, материалов. — 2006. — Т. 42, № 2. — С. 235—246.

9.Лагздынь А. Ж., Тамуж В. П., Тетере Г А., Крегерс А. Ф. Метод ориентаци­ онного усреднения в механике материалов. — Рига: Зинатне, 1989. — 190 с.

10.Halpin J. С. Stiffness and expansion estimates for oriented short'fiber composites // J. Composite Materials. — 1969. — Vol. 3. — P. 732—734.

11.Halpin J. C. and Pagano N. J. The laminate approximation for randomly oriented fibrous composites // J. Composite Materials. — 1969. — Vol. 3. — P. 720—724.

12.TsaiS. W. and Pagano N. J. Invariant properties of composite materials // Composite Materials Workshop / Ed. by Tsai, Halpin, and Pagano. — Stamford, Conn.: Technomic Publishing Co., 1968. — 233 p.

13.Fornes T. D. and Paul D. R. Modeling the properties of nylon 6/clay

nanocomposites using composite theories // Polymer. —: 2003. — Vol. 44. — P. 4993—5013.

Поступила в редакцию 17.03.2006 Received March 17, 2006

соединяется с другими материалами, образуя композиты, используемые в ин­ теллектуальных или логических микропроцессорных системах [1— 7]. Вследствие своей хрупкости пьезокерамика весьма склонна к разрушению в процессе эксплуатации, что обусловливает необходимость исследования ха­ рактеристик разрушения и долговечности этих современных материалов.

Впоследние годы многие авторы исследовали концентрацию электроупругих полей в пьезоэлектрических материалах и развитие разрушения при наличии внутренних трещин. Например, нагружение круговых трещин электрическим зарядом и нормальным усилием [8], электроупругие поля внутри плоской эллипсоидальной трещины в пьезоэлектрическом твердом теле [9], нагружение круговых трещин в пьезоэлектрической среде нор­ мальными и сдвиговыми усилиями, а также электрическими зарядами [10]. Были получены также решения для круговых трещин в пьезоэлектрических материалах под действием электромеханических и (или) термических на­ грузок [И — 13]. Также были исследованы пьезоэлектрические слоистые пластины под действием динамических, механических [14] и термических

[15]нагрузок. В [16] получено решение для круговой трещины в цилиндри­ ческом волокне, расположенном в бесконечной в радиальном направлении упругой матрице. Поскольку пьезоэлектрические композиты имеют конеч­ ные размеры, то необходимо найти решение для пьезоэлектрического во­ локна в матрице конечных размеров, которое позволило бы исследовать влияние объемного содержания волокон на процесс разрушения пьезоэлек­ трических композитов.

Внастоящей работе рассмотрена электростатическая задача для круго­ вой трещины в пьезоэлектрическом волокне, расположенном в упругой матрице конечных размеров. Использованием преобразований Фурье и Ханкеля задача со смешанными краевыми условиями сводится к уравнению Фредгольма второго рода. Подробно исследуется коэффициент интенсив­ ности напряжений; численные исследования показывают влияние на него размеров среды. Волокно является частично разрушенным, трещины в мат­ рице отсутствуют. Обратная задача, когда пьезоэлектрическое волокно является целым, а матрица полностью растрескалась, была исследована в

[17]для случая вытягивания волокна из матрицы.

2. Постановка задачи

На рис. 1— а показан типичный элемент реального композита. Он пред­ ставляет собой сплошное пьезоэлектрическое цилиндрическое волокно ра­ диусом 6, расположенное внутри упругой цилиндрической матрицы радиу­ сом с. Волокно содержит круговую трещину радиусом а в плоскости z = 0. В цилиндрической системе координат (г, 0, z) начало оси z помещено в центр трещины. Напряжение приложено к цилиндру на бесконечности. При рассмотрении величин у фронта трещины задача решалась с использовани­ ем принципа суперпозиции, в соответствии с которым сначала решали зада­ чу без каких-либо трещин, а затем напряжения противоположного знака до-