Механика композитных материалов N3 2006

Рис. 9. Форма первой моды собственных колебаний балок из разных материалов (♦, О — эпоксидный угле- и стеклопластик соответственно; О — сталь; Л — медь). W — нормированный прогиб.

влиянии деформации сдвига. Из материалов, рассмотренных в настоящей работе, стальная балка имеет наибольшее, а балка из эпоксидного углеплас­ тика — наименьшее значение безразмерной первой собственной частоты; значение безразмерной первой частоты балки из эпоксидного стеклопласти­ ка оказалось между ними.

3.4. Ориентация волокон и последовательность укладки. Данные рис. 6 иллюстрируют влияние двух типов последовательности уКладки слоев [О°/0]^ и [0/О°]5на значение безразмерной первой собственной частоты сво­ бодно опертых балок из эпоксидного углепластика AS/3501-6 для случаев в и г (см. рис. 6— а и б соответственно) и таких же балок с защемленными кон­ цами (рис. 7). Во всех случаях балки с верхним и нижним слоями 0° имели большие значения собственной частоты, чем балки с верхним и нижним слоем 0, поскольку изгибная жесткость первых выше. Видно, что в защем­ ленных балках скорость увеличения безразмерной первой собственной час­ тоты с уменьшением угла ориентации волокон выше, чем в свободно опер­ тых. Другими словами, при одном и том же угле ориентации волокон различие величины безразмерной первой собственной частоты защемлен­ ных и опертых балок уменьшается с увеличением угла ориентации волокон. Большую скорость изменения частоты наблюдали в диапазоне углов от 20

до 70° Кроме того, влияние деформации сдвига более заметно в балках с меньшим углом ориентации волокон.

3.5. Ф ормы колебаний. Формы колебаний представлены посредством нормированных значений прогиба в точках решения, равноотстоящих вдоль оси балки. Формы первых трех мод колебаний свободно опертой и консольной балок из ортогонально армированного углепластика AS/3501-6 представлены на рис. 8— а и б соответственно. Формы первой моды колеба­ ний балок из разных материалов иллюстрирует рис. 9.

Заключение

Полученные результаты позволяют заключить, что учет поперечной сдвиговой деформации при динамическом анализе композитных балок при­ водит к значительному снижению частот их собственных колебаний, тогда как влияние инерции вращения мало и им можно пренебречь. Деформация сдвига в большей степени влияет на значения собственных частот, соответ­ ствующих более высоким модам колебаний, значения частот балок с защем­ ленными краями по сравнению с таковыми для свободно опертых балок и балок с малым отношением пролет/высота и малым углом ориентации воло­ кон. Угол ориентации волокон имеет большое влияние на собственные час­ тоты балок из перекрестно-армированных композитов. Собственные часто­ ты максимальны, когда волокна ориентированы вдоль продольной оси балки, и минимальны, когда они перпендикулярны к ней. При всех значени­ ях 0 и одинаковых других параметрах балки из композитов с укладкой [О°/0/

0/0°] имеют более высокие безразмерные собственные частоты, чем балки с укладкой [0/О°/О°/0]. Собственные частоты композитных балок меньше, чем для рассмотренных изотропных материалов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Abramovich Н. Shear deformation and rotary inertia effects of vibrating composite beams // Composite Structures. — 1992. — Vol. 20. — P. 165— 173.

2.Abramovich H., Eisenberger M, and Shulepov O. Dynamic stiffness matrix for symmetrically laminated beams using a first order shear deformation theory // Composite Structures. — 1995. — Vol. 31, No. 4. — P. 265—271.

3.Teh К. K. and Huang С. C. The vibrations of generally orthotropic beams, a finite element approach // J. of Sound and Vibration. — 1979. — Vol. 62, No. 2. — P. 195—206.

4.Chandrashekhara K. and Bangera К. M. Free vibration of composite beams using a refined shear flexible element// Computers and Structures. — 1992. — Vol. 43, No. 4. — P.719—727.

5.Lee Ch., Liu D., and Lu X. Static and vibration analysis of laminated composite beams with an interlaminar shear stress continuity theory // Int. J. for Numerical Methods in Structural Engineering. — 1992. — Vol. 33. — P. 409—424.

6.Dewey H. H., Atigan R. A., Fulton, Rehfield V. M., andLawurence W. Free vibration

analysis of composite beams // J. of the American Helicopter Society. — 1991. — Vol. 36, No. 3. — P.36—47.

7. Maiti K. D. andSinha P. K. Bending and free vibration analysis of shear deformable laminated composite beams by finite element method // Composite Structures. — 1994. — Vol. 29, No. 4. — P. 421—431.

8. Shi G. and Lam K. Y. Finite element vibration analysis of composite beams based on higher-order beam theory // J. of Sound and Vibration. — 1999. — Vol. 219, No. 4. —

P.707—721.

9.Khdeir A. A. and Reddy J. N. Free vibration of cross-ply laminated beams with arbitrary boundary conditions // Int. J. of Engineering Science. — 1994. — Vol. 31, No. 12. — P. 1971— 1980.

10.Teboub Y. and Hajela Р. Free vibration of generally layered composite beams using symbolic computations // Collection of technical papers-proceedings of the AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference, VI, AIAAM. — New York, NY, USA, 1994. — P. 182— 192.

11.Krishnaswamy S., Chandrahekhara K., and Wu W. Z. B. Analytical solution to vibration of generally layered composite beams // J. of Sound and Vibration. — 1992. — Vol. 159, No. 1. — P. 85—99.

12.Chandrashekhara K., Krishuamurthy K., and Roy S. Free vibration of composite beams including rotary inertia and shear deformation // Composite Structures. — 1990. — Vol. 14, No. 4. — P. 269—279.

13.Chandrashekhara K. and Bangera К. M. Free vibration of composite beams using a refined flexible element // Computers and Structures. — 1992. — Vol. 43, No. 4. — P.719—727.

14.Whitney J. M. Structural analysis of laminated anisotropic plates / First Edition. — Western Hemisphere. Technical Publishing Company, 1987. — P. 263—295.

15.Suresh J. K. and Venkastensan C. Structural dynamic analysis of composite beams // J. of Sound and Vibration. — 1990. — Vol. 143, No. 3. — P. 503—519.

16.Paz M. Structural Dynamic Theory and Computations. — N. Y.: Van Nostrand Reinhold Company, Inc., USA, 1980.

Поступила в редакцию 19.12.2005 Окончательный вариант поступил 23.02.2006 Received Dec. 19, 2005 (Feb. 23. 2006)

P. Ю. Амензаде, Э. T. Киясбейли, Л. Ф. Фатуллаева

Бакинский государственныйуниверситет, Азербайджан

ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ЖЕСТКО ЗАЩЕМЛЕННОГО НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО МНОГОСЛОЙНОГО СТЕРЖНЯ

R. Yu. Amenzadeh, Е. Т. Kiyasbeyli, and L. F. Fatullaeva

THE LIMITING STATE OF A RIGIDLY FIXED NONLINEARLY ELASTIC

MULTILAYER ROD

Keywords: multiplayer rod, bifurcation, stability, pocket, critical force, rigid fixing

The loss of the load-carrying capacity of a nonlinearly elastic multi­ layer rod is investigated. The rod, whose layers, have various thick­ ness and are made of different materials, are rigidly fixed at both its ends. Rigid contact conditions between the layers are assumed. The problem posed is solved by using the variational method of mixed type in combination with the Rayleigh— Ritz method. The initial anal­ ysis is reduced to the solution of the Cauchy problem for a nonlinear ordinary differential equation solved for the first derivative. As the ini­ tial condition, the maximum initial eccentricity of the rod is assumed. In the case of zero eccentricity, the Shanley critical force for an axi­ ally compressed rod is determined. For a three-layer rod whose outer layers have equal thickness and are made of the same mate­ rial, numerically, for various degrees of nonlinearity, the effect of physicomechanical and geometric parameters on the critical load of buckling instability is determined. It is found that, by matching the heterogeneity of the rod, it is possible to raise its load-carrying capacity.

Ключевые слова: стержень многослойный, выпучивание, устой­ чивость, пакет, сила критическая, защемление жесткое

Исследована потеря несущей способности жестко защемленно­ го по торцам нелинейно-упругого многослойного стержня с раз­ ными по толщине слоями из различных материалов. Принято, что слои стержня жестко сцеплены между собой. Поставленная задача решается вариационным методом смешанного типа в сочетании с методом Рэлея— Ритца. Исходный анализ сводится к решению задачи Коши для нелинейного обыкновенного диф­ ференциального уравнения, разрешенного относительно про­ изводной. В качестве начального условия принято максималь­ ное значение начального эксцентриситета стержня. Отдельно,

при нулевом эксцентриситете, определена критическая сила устойчивости Шенли для центрально-сжатого стержня. Для трех­ слойного стержня, когда крайние слои имеют одинаковые тол­ щины и изготовлены из одинаковых материалов, численно, при разных степенях нелинейности, выявлено влияние физико-ме­ ханических и геометрических параметров на критическую силу устойчивости. Установлено, что подбором неоднородности стер­ жня можно увеличить его несущую способность.

На практике используются различные по свойствам материалы. Однако элементы конструкций, изготовленные из однородных материалов, редко обладают свойствами, соответствующими требованиям конкретного при­ менения. Опыты и вычисления показали, что, комбинируя материалы, т. е. создавая и учитывая неоднородность, зачастую можно добиться благопри­ ятного сочетания свойств, что дает возможность эффективного использова­ ния конструкции. Для этих конструкций роль расчетов на устойчивость и выпучивание в общем цикле расчетов на прочность существенно возросла, ибо разрушение конструкции прежде всего связано либо с потерей ее общей устойчивости или устойчивости отдельных ее тонкостенных элементов. Ввиду большого распространения стержневых сжатых конструкций особое значение приобретает развитие методов расчета тонкостенных многослой­ ных стержней, широко используемых в современной технике. Существенно возрастает их доля в конструкциях автомобилей, летательных аппаратов, станков, различных строительных сооружениях (каркасы высотных зданий) и атомных реакторов. Здесь весьма важной является проблема достоверной оценки несущей способности таких стержней. Даже теперь, несмотря на многочисленные исследования (см., например, [1— 3]), изыскания в этой специфической области отнюдь не завершены. Это обстоятельство связано с необходимостью учета сложных уравнений состояния (физическая нели­ нейность) для многослойных стержней, что вызывает большие затруднения в области экспериментальных и теоретических исследований. Последнее связано с интегрированием нелинейных краевых задач с разрывными коэф­ фициентами. Получение здесь точных аналитических решений весьма за­ труднено, а зачастую невозможно. Поэтому возникает необходимость в применении к таким задачам приближенных методов решений, в частности вариационных.

1. Известно, что стержень может иметь поперечное сечение, состоящее из нескольких частей, соединенных между собой по всей его длине. При жестком соединении частей сечения стержень считается монолитным и мо­ жет рассматриваться как обычный, даже если составляющие его части вы­ полнены из различных материалов.

Введем в рассмотрение прямоугольный в плане стержень длиной / и тол­ щиной 2Л. Предположим, что он составлен из s чередующихся разных по толщине слоев. При этом будем считать, что раздел слоев осуществляется параллельно его боковым граням. Толщину каждого слоя обозначим как 5^. Таким образом, 5j + 5 2 + ...+ 5^ =2А. Определим условия контакта между

слоями пакета, которые заключаются в их жестком сцеплении. Из этого сле­ дует равенство их перемещений, напряжений и отсутствие взаимного дав­ ления слоев. Далее будем руководствоваться гипотезами плоских сечений Кирхгофа— Лява, при которых условия жесткого соединения выполняются автоматически.

При описании физико-механических свойств композитных материалов обычно применяется линейная теория упругости [4]. Однако отнюдь не все их свойства могут быть представлены с этих позиций. Здесь для описания гетерогенных свойств материала стержня будем использовать уравнение нелинейной теории упругости. Зададим декартову систему координат с на­ чалом в точке z = 0 и направим ось х вдоль длины стержня. Тогда при сде­ ланных предположениях запишем уравнение состояния для пакета в целом в виде одного равенства

где а — напряжение; п — показатель нелинейности, принимающий четные значения (2, 4, 6, ...); Е к+\ и ст®+][А: = 0, 1,..., (s -1)] — модуль упругости и

предел пропорциональности материала к-то слоя соответственно. В (1.1) введено обозначение

+(5 о=0).

7=0

Отметим, что при п = 2 уравнение (1.1) является достаточно хорошей ап­ проксимацией закона упругости для армированных пластиков, некоторых алюминиевых сплавов, дюраля и т. д. Значение /7 = 4 соответствует диаграм­ ме линейного упрочнения. При достаточно больших п соотношение (1.1) приближенно описывает закон идеальной пластичности (схема Прандтля).

Рассмотрим теперь устойчивость стержня, центрально-сжатого силой Т Для дальнейшего решения задачи воспользуемся вариационным методом смешанного типа [5], в котором независимо варьируются скорости напря­ жений и перемещений. Принимая, что одно измерение стержня равно еди­ нице, и учитывая нелинейность только прогиба, используемый функционал запишем как

Здесь е — деформация, выраженная через перемещения; w и и — прогиб и продольное перемещение соответственно; N — усилие; М — момент. Запя­ тая означает частное дифференцирование по координате х, а под точкой, следуя [5], понимается дифференцирование по Т, т. е. Т = 1.

Сформулируем краевые условия, соответствующие случаю жесткого за­ щемления обоих концов. Они имеют вид

Легко убедиться, что вследствие условий (1.3) последние три слагаемых в (1.2) тождественно обращаются в нуль и, следовательно, для выражения функционала получим

h l f

С учетом гипотезы плоских сечений и начального искривления стержня имеем

e = U j + ^ (w j - w 0^2 ) + z ( w ^ - w 0>xJ ,

где величина w0 характеризует начальное несовершенство. Тогда в скорос­ тях величину ё запишем как

-АО

-- j |стёу dxdz + Т[й(1) - й(0)]. 2 -А0

При использовании вариационного метода для решения задач устойчи­ вости и выпучивания тонкостенных элементов конструкций одним из цент­ ральных вопросов является выбор аппроксимирующих функций для закона распределения напряжений по толщине. Примем, что напряжение а по толщине стержня изменяется по линейному закону