Механика композитных материалов N3 2006
..pdfпри И= 0 имеем износ слоя Винклера на жестком основании, интег ральное уравнение (6) сводится к виду
|
b ( t ) ~ f ( x ) =y Bp ( x , t ) + y w J p(x,t)dt, |
|x |< a ( 0, |
|
О |
(7) |
где у в |
KjyQ |
|
w - |
|
Решения полученных интегральных уравнений Для штампа без угловых точек ищем при условиях
<7(0 p[a(t),t] =0, Р = J p{x,t)dx.
- a { t ) |
(8 ) |
Отметим, что трансформанта Фурье ядра интегрального уравнения (6) — рациональная функция. Воспользовавшись теоремой Коши о вычетах и леммой Жордана [8], найдем
К (х) = ге[е'а >wre s g (a ,) + e /a2wresg(a 2)], |
(9) |
где
g ( a ) = ( \ + x { a 2) / ( a 4 + р4х £ а 2 + P ;U a i>a 2 —
полюса функции g (a), расположенные в верхней полуплоскости;
a l - P /.'c o s y + is in y ), a 2 - Р > . ( -COS'. + (sin y), tgtp |
0 ^ — |
■ T = < p /2 . |
|
I I P ! |
|
После соответствующих преобразований выражения (9) запишем |
|
|
К(х) = — —^-----g-PxMsinY{cosycos(Pxxcosy) + sinysin(P^'|x|sinY) + |
||
2p£sin2y |
|
|
+ х l Px [c°s У cos (pxx cos у) - sin у sin (p x \ x \sin y)]}. |
(10) |
|
Для теории типа Тимошенко в формуле (10) заменим X х’ Рх. на Хт> РтДля классической теории пластин (Хт 4 ►Р) имеем, что<р = л /2 и выражение для К ( х )совпадает с известным интегралом [9]. В этом случае полюса функ ции g (a ) лежат на концах радиуса длиной р = h/{D K w )'/4 под углом л /4 к
оси а . Для теории типа Тимошенко эти полюса размещены на полукруге та кого же радиуса, но под произвольным углом (вследствие изменения моду
Рис. 2. Полюса функции g (a) для классической теории пластин, теории типа Ти мошенко и теории с учетом обжатия.
ля сдвига G'). Для теоретической модели, учитывающей обжатие, полюса размещены в полукольце толщиной -0 (рис. 2).
Легко показать, что К ( х ) — ядро Фредгольма для всех трех теорий плас тин. Например, для классической теории (%т 0) имеем
К (х) = — - — в -Р|х1/л/2[со8(рх/ л/2) + 8т (Р х /л /2)],
2л/2р 3 |
( 11 ) |
где |
|
а |
а |
Р4 = Л4/ D K в ; В 2 = J |
\\K\x - y f dxdy = |
- а - а
= n 2[sh2cp +(cos2<psh2cp - s in 2(pch2cp)/2]/(4p8)<oo, ф =л/2а$.
Решение интегрального уравнения (6) при условиях (8) ищем с помощью пошагового алгоритма [7]. При t= 0 (первый шаг) уравнение (6) с учетом первого условия (8) имеет вид
1 |
ао |
А |
/ ( а о ) ~ / ( * ) = - |
\Ро(у)[К(х - у ) ~ К ( а 0 |
- y)]dy + -7 Г / 7о( * ) ’ 1*1- ао |
ТГ |
J |
hjг\ |
|
-а0 |
yiA) |
Решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода можно найти приближенным методом [10]. В данной работе решение интегрального урав нения ( 12) найдено методом механических квадратур с использованием фор мул Симпсона. При вычислениях учтено, что f (~х) =f (х), р ( - х ) = р{х). Для определения области контакта применяли второе условие (8). В случае t е [0, А^], что отвечает второму шагу алгоритма, контактное давление р\(х) на-
0,3
0,2
0,1
0,5 1,0
Рис. 3. Распределение контактного давления в пространстве и времени.
ходим из интегрального уравнения, аналогичного уравнению (12), где параметр 0/£о следует заменить mQ/E'0 +QKw At/h.
Далее для t е [Д/,2Д/] получаем уравнение
/ ( а г ) - f (х ) +QK W At[p](a2) - Р\(х)]/И =
(13)
Отсюда видно, что на каждом следующем шаге алгоритма в левой части уравнения появляется слагаемое, полученное на предыдущем шаге. Про цесс продолжаем до достижения заданного времени работы фрикционной пары. Решение интегрального уравнения (6) (покрытие моделируется тео рией трансверсально-изотропных пластин, учитывающей обжатие) найдено
(сталь— стеклотекстолит [11]).
На рис. 3 показано распределение контактного давления в пространстве и времени. Кривые 1, 2, 3 соответствуют значениям а0/к = 0 ,1,0,5,1 . Штри ховая и штрихпунктирная линии — распределение контактного давления при t — 100 с и / = 1000 с соответственно. На основании анализа выполнен ных расчетов можно сделать вывод о том, что значение углаф в формуле (9) существенно зависит от соотношения /zB//z. Например, при /2В/А, равном 0,1, 1,2, угол ф принимает значения 0,51, 1,2, 1,36 рад соответственно.
Результаты вычислений контактного давления для разных теорий покры тия приведены на рис. 4. Кривые 1, 2, 3 отвечают полученным результатам с использованием моделей Кирхгофа—Лява, Тимошенко и с учетом обжатия нормального элемента соответственно при t = 0 с (сплошные кривые) и t = = 10 с (штриховые кривые). Решение задачи позволяет исследовать процесс
Р(х)
0,003
0,1
Рис. 4. Зависимость контактного давления для разных теорий покрытия. Поясне ния в тексте.
износа как жестких на металлическом основании (классическая теория пластин) защитных покрытий, так и достаточно мягких, в том числе компо зитных (уточненные теории). Кроме того, можно исследовать износостой кость покрытия в зависимости от фрикционных характеристик контактной пары (скорость взаимного проскальзывания, коэффициент трения), физи ко-механических и геометрических параметров, а наличие промежуточного слоя дает возможность учесть особенности подготовки поверхности дета лей перед нанесением защитного покрытия.
2. Износ защитного покрытия на жестком основании
Для практики представляется важным частный случай задачи, рассмот ренной в п. 1, при h = 0, т. е. износ слоя Винклера на жестком основании. За дача заключается в решении интегрального уравнения (7) при условиях (8).
Продифференцируем уравнение (7) по х и затем применим преобразова ние Лапласа по /. Определим трансформанту контактного давления и при меним обратное преобразование Лапласа. После этих преобразований получим
|
1wt |
P(x,t) = - f ( x ) — |
e ya +A(t). |
YB |
(14) |
Используя первое условие (8), сведем уравнение (14) к виду
|
yw{ |
p(x,t) =— |
e yz { f [ a ( t ) ] - f ( x ) } |
ТВ |
(15) |
Рис. 5. Распределение контактного давления в случае параболического штампа.
Сначала рассмотрим износ параболическим штампом f ( x ) = hBx 2/2R
(рис. 5). В результате подстановки выражения для / ( х ) в формулу (15), ис пользуя при этом второе условие (8), получим зависимость величины области контакта
Ywt |
|
a \ t ) = З ^ в е YB |
|
2АВ |
(16) |
Подставим соотношение (16) в (15) и запишем окончательное выражение для контактного давления
3P[a2{ t ) - x 2] |
|
/К*. О |
(17) |
4a \ t ) |
Для определения величины 8(t) подставим найденное выражение (17) в интегральное уравнение (7). После преобразований получим
,2/3 |
_ Щ \ |
Л в/ЗТО ув |
Зув |
Ъ - 2е |
|
2Д 2hв ; |
|
(18)
В случае контактного взаимодействия с клиновидным штампом /(x )^ jc |c tg y (рис. 6) решение интегрального уравнения (7) при условиях (8) имеет вид
P(x,t) = Р [ а ( 0 4 * 1 ] |
|
У№1 |
2ctgy |
|
|
2а2(0 |
(19) |
Рис. 6. Распределение контактного давления в случае клиновидного штампа.
P/BCtgy' |
- е Ув |
|
|
5 ( 0 = |
) |
|
|
2 |
/ |
(19) |
|
|
V |
||
Для плоского штампа шириной 2а имеем
рр
p{x,t) = — , |
5(/) = — (ув + J W t), |
где а= const. |
2а |
2а |
(20) |
На рис. 5 и 6 представлены результаты расчетов контактного давления по формулам (17), (19), (20) для фиксированных величин Р = 0, 1, Ав /R = 1, а$ = 0,506, tgy = 2,31. Кривые 1, 2, 3 отвечают значениям t = 0 с, 1000 с, 10 000 с соответственно. Штриховая линия — решение в случае плоского штампа. На рис. 7 показано изменение области контакта в процессе износа для случаев плоского, параболического и клиновидного штампов (кривые 1, 2, 3 соответственно).
Рис. 7. Изменение области контакта в процессе износа: 1 — плоский; 2 — парабо лический; 3 — клиновидный штампы.
Важной характеристикой износостойкости является время , за которое покрытие изнашивается полностью, хотя бы в одной точке. Из данных рис. 5 и 6 следует, что для параболического и клиновидного штампов это время определяется условиями
h Ba \ u ) |
a(t*) =siny. |
|
2R |
||
(21) |
Для определения времени полного износа покрытия соответствующими штампами, используя условия (21) и формулы (16), (19), получаем
-1
P R lw л2/3 |
|
|
. л |
л |
|
* |
= л в . in |
sm 2y |
|
|
|
2у W 2R 2h в |
|
|
|
||
|
Уw 1 ^ В / |
(22) |
|||
|
|
|
|
|
|
С помощью инженерных формул (22) по заданным физико-механичес ким, триботехническим и геометрическим характеристикам фрикционной пары можно установить время полного износа покрытия, определить его ре сурс. Для указанных выше данных получены следующие результаты: t+ =
= 9304 • 102с, /Р = 13 484 • 102с, |
= 46 200 • 102с. |
Заключение
Решение сформулированной износоконтактной задачи дает возможность исследовать влияние покрытия на процесс износа (соотношений физико-ме ханических характеристик контактирующих тел, толщины покрытия, фрик ционных параметров и т.п.), а наличие слоя Винклера — учитывать качест во обработки поверхностей контактирующей пары.
Установлено, что при наличии тонкого защитного покрытия тела с уве личением жесткости покрытия уменьшается величина области контакта и повышается скорость износа. Увеличение сдвиговой жесткости и обжатия покрытия ведет к увеличению области контакта и уменьшению градиент ное™ распределения контактного давления.
На основании выполненных исследований можно математически моде лировать процесс износа тел с покрытиями, прогнозировать их ресурс и износостойкость.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Александров В. М, Мхитарян С. М. Контактные задачи для тел с тонкими по крытиями и прослойками. — М.: Наука, 1983. — 487 с.
2.Коваленко Е. В. О контакте твердого тела с упругим полупространством через тонкое покрытие // Прикл. математика и механика. — 1999. — Т. 63, вып. 1. —
С.119— 127.
3.Кио С. Я. and KeerL. М. Contact stress analysis of a layered elastic bodies with real
rough surfaces // Tribology. — 1991. — No. 11. — P. 502—511.
4.Максимук А. ВМахницкий Р. Н., Щербина Н. Н. Математическое моделиро вание и методы расчета тонкостенных композитных конструкций. — Львов: Ин-т прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украи ны, 2005. — 396 с. (Укр.)
5.Демкин Н. Б. Контактирование шероховатых поверхностей. — М.: Наука, 1970. — 227 с.
6.Максимук А. В. Износ тонких покрытий твердых тел с учетом промежуточно
го слоя // Физико-химическая механика материалов. — 2001. — Т. 37, № 1. —
С.121— 123.
7.Кит Г С., Максимук А. В. Износ тонкостенных элементов конструкций из композитных материалов с учетом тепловых эффектов // Механика композит, мате риалов. — 1999. — Т. 35, № 3. — С. 309—318.
8.Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. — М.: Наука, 1973. — 831 с.
9.Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произве дений. — М.: Наука, 1971. — 1108 с.
10.Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы: Справочное пособие. — Киев: Наук, думка, 1986. — 544 с.
11.Жигун И. Г., Поляков В. А. Свойства пространственно-армированных плас тиков. — Рига: Зинатне, 1978. — 216 с.
Поступила в редакцию 05.12.2005 Received Dec. 5, 2005
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ,— 2006,— |
Т. 42, № 3. |
— С. 331— 346 |
MECHANICS OF COMPOSITE MATERIALS. — 2006,— |
Vol. 42, No. 3. |
— P. 331— 346 |
К. С. Нумаир, M. А. Хаддад, А. Ф. Аюб
Civil Engineering Department, Jordan University o f Science and Technology, P.O. Box 3030,
Irbid, Jordan
ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫ Х КОЛЕБА НИ Й КОМ ПОЗИТНЫ Х БАЛОК М ЕТОДОМ КО НЕЧН Ы Х РА ЗН О СТЕЙ 1
К. S. Numayr, М. A. Haddad, and A. F. Ayoub
INVESTIGATION OF FREE VIBRATIONS OF COMPOSITE BEAMS
BY USING THE FINITE-DIFFERENCE METHOD
Keywords: beams, laminates, composite materials, free vibration, natural frequency, modal shape, shear deformation, rotary inertia
The free-vibration behavior of symmetrically laminated fiber-rein forced composite beams with different boundary conditions is exam ined. The effects of shear deformation and rotary inertia, separately and/or in combination, on the free-vibration properties of laminated composite beams are investigated. The finite-difference method is used to solve the partial differential equations describing the free-vi bration motion in each case. The effect of shear deformation on the natural frequencies is considerable, especially for higher frequen cies, whereas the influence of rotary inertia is less significant. The study includes comparisons with results available in the literature. In addition, the impact of such factors as the span/depth ratio, fiber orientation, stacking sequence, and material type on the free vibrations of composite beams is investigated.
Клю чевые слова: балки, композиты слоистые, материалы ком позитные, колебание собственное, частота собственная, форма колебаний, деформация сдвиговая, инерция вращения
Собственные колебания балок из симметричных слоистых во локнисто-армированных композитов исследованы при разных граничных условиях с учетом влияния деформации сдвига и инерции вращения. Для решения дифференциальных уравне ний в частных производных, описывающих собственные коле бания, использован метод конечных разностей. Установлено, что влияние деформации сдвига на собственные (особенно бо лее высокие) частоты существенно, тогда как инерция враще ния влияет в меньшей степени. Проведено сравнение получен ных результатов с ранее опубликованными. Также исследовано
'Перевод с англ.
влияние таких факторов, как отношение пролет/толщина балки, ориентация волокон, последовательность укладки слоев и тип материала, на собственные колебания композитных балок.
Введение
Благодаря хорошим свойствам, главным образом высокой удельной про чности и жесткости, композитные материалы во все возрастающем объеме используют в конструкционных приложениях. Балки из слоистых волокнис то-армированных композитов — важный класс конструкционных элементов, широко применяемый в качестве рук роботов, вращающихся деталей машин, лопастей вертолетов и турбин, для которых наряду с прочностью и другими конструкционными параметрами очень важное значение имеют характерис тики собственных колебаний, например собственные частоты и формы, тре буемые при решении динамических задач.
Любая непрерывная конструкция имеет бесконечное число степеней сво боды и, следовательно, бесконечное количество собственных частот и соот ветствующих форм колебаний. Если конструкция колеблется с частотой, равной собственной, то амплитуда колебаний быстро возрастает со време нем, требуя очень малого подвода энергии. В результате происходит либо ее разрушение вследствие перенапряжения, либо нелинейные эффекты огра ничат амплитуду колебаний величиной, приводящей к повреждению вследствие многоцикловой усталости. Таким образом, для любой конструк ции необходимо находить частоты ее собственных колебаний во избежание резонанса с частотами вынужденных колебаний.
В классической теории балок (КТБ) не учитывают деформацию сдвига и инерцию вращения при статическом и динамическом анализе слоистых композитов, хотя эти факторы влияют на анализ собственных колебаний слоистых композитных балок вследствие присущего им большого значения отношения модулей упругости при растяжении и сдвиге. Для выявления бо лее точного влияния этих факторов на динамическое поведение композит ных балок они учтены по отдельности и совместно, а полученные результа ты сравнены с предсказываемыми КТБ. Установлено, что для решения дифференциальных уравнений, описывающих собственные колебания ком позитных балок, особенно при совместном учете деформации сдвига и инерции вращения, весьма эффективен метод конечных разностей.
Для анализа динамических свойств слоистых балок выполнен ряд иссле дований [1— 15]. В [1] с помощью подробного аналитического подхода най дены собственные частоты балок из симметричных слоистых композитов при разных граничных условиях на основе уравнений типа Тимошенко с учетом деформации сдвига и инерции вращения, но без члена, описываю щего совместное действие этих факторов. В [2] представлен новый метод расчета колебаний слоистых балок с использованием динамической матри цы жесткости. Метод позволяет решить задачу для любого набора гранич ных условий с учетом упругого соединения разного сочетания конструкци