Механика композитных материалов N3 2006

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Varelis D. and Saravanos D. A. Coupled buckling and postbuckling analysis of active laminated piezoelectric composite plates // Int. J. Solids Struct. — 2004. - Vol. 41. —

P.1519—1538.

2.Vel S. S., Mewer R. C, and Batra R. C. Analytical solution for the cylindrical bending

vibration of piezoelectric composite plates // Int. J. Solids Struct. — 2004. - Vol. 41. —

P.1625—1643.

3.Lammering R. and Mesecke-Rischmann S. Multi-field variational formulations and related finite elements for piezoelectric shells // Smart Mater. Struct. — P. 904— 913.

4.Brei D. and Cannon B. J. Piezoceramic hollow fiber active composites // Compos. Sci. Technol. — 2004. — Vol. 64. — P. 245—261.

5.Tauchert T. R. Piezothermoelastic behavior of a laminated plate // J. Therm. Stresses. — 1992. — Vol. 15. — P. 25—37.

6.Noda N. and Kimma S. Deformation of a piezothermoelectric composite plate considering the coupling effect// J. Therm. Stresses. — 1998. — Vol. 21. — P. 359—379.

7.Ootao Y and Tanigawa Y. Three-dimensional transient piezothermoelasticity in functionally graded rectangular plate bonded to a piezoelectric plate // Int. J. Solids Struct. — 2000. — Vol. 37. — P. 4377—4401.

8.Chen W. Q. and Shioya T. Fundamental solution for a penny-shaped crack in a piezoelectric medium // Journal of Mechanics and Physics of Solids. — 1999. — Vol. 47. — P. 1459— 1475.

9.Huang J. H. A fracture criterion of a penny-shaped crack in transversely isotropic piezoelectric media // Int. J. Solids Struct. — 1997. — Vol. 34. — P. 2631—2644.

10.Karapetian E., Sevostianov /., and Kachanov M. Penny-shaped and half-plane cracks in a transversely isotropic piezoelectric solid under arbitrary loading // Archive of Applied Mechanics. — 2000. — Vol. 70. — P. 201—229.

11.Zhang T. Y., Zhao M. H., and Tong P. Fracture of piezoelectric ceramics // Adv. Appl. Mech. — 2002. — Vol. 38. — P. 147—289.

12.Wang Z. К Penny-shaped crack in transversely isotropic piezoelectric materials // Acta Mech Sinica. — 1994. — Vol. 10. — P. 49—60.

13.Kogan L., Hui C. Y., and Molkov V Stress and induction field of a spherical inclusion or a penny shaped crack in a transversely isotropic piezoelectric material // Int. J. Solids Struct. — 1996. — Vol. 33. — P. 2719—2737.

14.Ueda S. Impact response of a piezoelectric layered composite plate with a crack // Theor. Appl. Fract. Mech. — 2002. — Vol. 38. — P. 221—242.

15.Ueda S. Thermally induced fracture of a piezoelectric laminate with a crack normal to interfaces // J. Therm. Stresses. — 2003. — Vol. 26. — P. 311—331.

16.Lin S., Narita F., and Shindo Y. Electroelastic analysis of a piezoelectric cylindrical fiber with a penny-shaped crack embedded in a matrix // Int. J. Solids Struct. — 2003. — Vol. 40. — P.5157—5174.

17.Liu H. Y., Qin Q. H., and Mai Y.-W. Theoretical model of piezoelectric fiber pull-out // J. Solids and Structures. — 2003. — Vol. 40. — P. 551 1—5519.

18.Gradshteyn I. S. and Ryzhik I. M. Tables of Integrals, Series and Products. — Acadeimic Press, San Diego, CA., 1965.

Поступила в редакцию 08.02.2006 Received Feb. 8, 2006

СЗт = С44Хт0\т ~ с44а2т ~ е\5а3т<

С 4т = с \ \ а \т + с \3^ т а 2т + е 31*-та 3т>

С5т = e15^ma lm ~ e\5a2m + e U а3т-

Константы Djm (J = 1, 3, 4; т= 1, 2) выражены как

Приложение В

Условие непрерывности перемещения и на поверхности раздела г = Ь, использо­ ванное в уравнениях (6) и (8), дает

Подставив уравнения (12) и (14) в уравнение (В1), получим уравнение (15), где

Подставляя интегральные тождества [18]

(где [0<t <b, Re(s)> О, -1 < Re(v)< 1,5]) и

(B3)

(где [0 < t < b, Re(s) > 0, -1 < Re(v) < 0,5]) в уравнение (B2), получим

Приложение C

Условие непрерывности перемещения w на поверхности раздела r = b вместе с уравнениями (6) и (8) дает

Подставив уравнения (12) и (14) в уравнение (С 1), получим уравнение (16), где

Приложение D

Из условий непрерывности напряжений а 2Гна поверхности раздела г = Ьимеем

= I > 3 m J” ^/) № mb)Cm +K l (s^mb)Dm]sin(sz)ds.

(Dl)

Применяя обратное синусоидальное преобразование Фурье к уравнению (D1) и учитывая уравнения (12) и (14), получим уравнение (17), где

,« з

Приложение Е

Условие непрерывности напряжения о гг на поверхности раздела г = b дает

X c 4m J” sJо(sb)ехр(skmz)Amds+ т- 1

Применяя обратное преобразование Фурье по косинусам к этому уравнению и рассматривая уравнения ( 12) и (14), получим уравнение (18), где

Подстановка уравнений (ВЗ) в уравнение (Е1) дает

Приложение F

При условии Dr = 0 на границе раздела г - Ъзапишем

з

YCbm Jo sJ](sb)exp(s\mz)Amds =

т-1

Применяя обратное синусоидальное преобразование Фурье к уравнению (F1) при учете уравнений (12) и (14), получим уравнение (19), где

Приложение G

Интегрирование по частям внутреннего интеграла в первом члене левой части уравнения (23) дает

Подставляя уравнение (G1) в уравнение (23) и используя интегральное тождест­ во [18]

1

, х > 1,

Jo°°cos(s/>/o (sx)ds = 4 Т 7 2

О, х < 1,

запишем

Хорошо известно, что интегральное уравнение Абеля

имеет решение

. 2 d V xf(x) g(,t) = - - \ - ^ = = d x .

n d t l 4 t 2 - x 2

Отсюда можно показать, основываясь на уравнении (G2), что

(G3)

Подстановкой уравнения (24) в уравнение (G3) и использованием соотношения

может быть получено уравнение (25).

А. В. Максимук, H. H. Щербина

Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача Национальной академии наук Украины, Львов, Украина

ИЗНОСОСТОЙКОСТЬ ТЕЛ, ЗАЩИЩЕННЫХ т о н к и м КОМПОЗИТНЫМ ПОКРЫТИЕМ

А. V Maksymuk and N. N. Shcherbyna

WEAR RESISTANCE OF BODIES PROTECTED BY A THIN COMPOSITE

COATING

Keywords: wear resistance, coating, composite material, contact in­ teraction

The mechanical contact interaction of bodies with a thin composite coating is investigated with account of wear. The thermal effects are not considered. The coating is modeled by a thin plate. Between the body and the coating is an interlayer, which is modeled by Winkler’s body with one modulus of subgrade reaction. Under the action of a rigid stamp on the coating, the process of abrasive wear proceeds. The contact interaction of the coating with the base is described by using the model of an intermediate layer. To determine the stress-strain state of the coating, equations of the generalized theory of plates including the shear strains and the compression of normal are utilized. For the contact wear problem formulated, the basic inte­ gral equation with a Fredholm-type kernel is derived, and its solution algorithm is proposed. Numerical results are presented.

Ключевые слова: износостойкость, пркрытие, материал композит­ ный, взаимодействие контактное

Исследовано механическое контактное взаимодействие тел с тонким композитным покрытием в виде тонкой пластины с учетом их износа. Тепловые эффекты не учитывали. Между телом и покрытием нахо­ дится промежуточный слой, моделируемый телом Винклера с одним коэффициентом постели. Предполагали, что при взаимо­ действии жесткого штампа и покрытия имеет место абразивный из­ нос. Контактное взаимодействие покрытия с основанием описано моделью промежуточного слоя. При определении напряженно-де­ формированного состояния покрытия использованы уравнения об­ общенной теории пластин, учитывающей сдвиговые деформации и обжатие нормали. Для сформулированной износоконтактной зада­ чи построено основное интегральное уравнение с ядром типа Фредгольма и предложен алгоритм его решения. Представлены численные результаты.

Введение

Для повышения износостойкости контактирующих тел используют раз­ личные подходы. К наиболее эффективным относятся технологические ме­ тоды, в которых применяются укрепляющие покрытия и соответствующие технологии их нанесения (гальванические, химические покрытия, нанесе­ ние покрытий в вакууме, покрытия пластмассами, напыление и др.). Мате­ матическое моделирование покрытий тонкостенными элементами пред­ усматривает исследование особенностей деформирования и контактного взаимодействия их с массивными упругими телами [1— 3].

В работе рассмотрены плоские износоконтактные задачи о взаимодей­ ствии жестких штампов с массивными телами, защищенными тонким по­ крытием из композитного материала. Покрытие моделируется обобщенной теорией трансверсально-изотропных пластин [4]. Представлены математи­ ческая модель износоконтактной задачи и построение основного интеграль­ ного уравнения сформулированной задачи при наличии промежуточного слоя и без него.

1. Износ тонких покрытий твердых тел с учетом промежуточного слоя

Применение тонких защитных покрытий является эффективным техно­ логическим способом повышения износостойкости деталей машин. До­ стичь идеального контакта между покрытием и основанием практически не­ возможно. Поэтому для математического описания взаимодействия системы покрытие— основание применяют модель промежуточного „треть­ его тела” [5,6]. Промежуточное тело моделируется слоем Винклера с одним коэффициентом постели К% = /?в (1 + ув )Л ^ в О - 2vB)], где Ав , G B, vB — толщина слоя, модуль сдвига, коэффициент Пуассона соответственно.

Рассмотрим плоскую контактную задачу об износе тонкой бесконечной пластины на жестком основании. Между пластиной и основанием находит­ ся промежуточный слой. Штамп прижимается силой Р к пластине толщи­ ной 2Ии движется с усредненной скорое \ью v (рис. 1). Пластина вследствие трения со штампом изнашивается. Скорость износа /dt пропорциональ­ на силе трения с коэффициентом K w = JKv, где величину w* находим по формуле

w J \ . , ) = J v K \p{x,t)dt.

Здесь / — коэффициент трения; К — коэффициент пропорциональности; p ( x , t ) — контактное давление; t — время работы.

Напряженно-деформированное состояние пластины описывается обоб­ щенной теорией пластин с учетом сдвиговых деформаций и обжатия нормали [4]. Согласно этой теоретической модели уравнение равновесия покрытия в перемещениях имеет вид

u3( x , - h ,t ) = K Bq (x,t )

и второе соотношение (3), получаем выражение для контактного напряже­ ния

q = ( K B +h/E'0)-'w.

Подставив величину q в уравнение (2), а затем применив прямое и обратное преобразование Фурье по х, определим нормальное перемещение ж Выпол­

После подстановки (5) в (4) получим основное интегральное уравнение сформулированной износоконтактной задачи в виде

а(0

Отсюда легко получить следующие частные случаи:

•для покрытия, описываемого теорией пластин типа Тимошенко, в уравнении (6) следует принять

для классической теории Кирхгофа—Лява

£ '-> о о , G '-> оо, х 2 =0;