Механика композитных материалов N3 2006

онных элем ентов, Н айдены собственны е частоты , при которы х динамическая матрица жесткости становится сингулярной.

Консольную балку из композита с общей ортотропией свойств исследо­ вали в [3] с помощью двух конечно-элементных моделей, учитывающих как деформацию сдвига, так и инерцию вращения в деформационной теории первого порядка. В [4] использован уточненный конечный элемент гибкой балки, введенный в теорию сдвигового деформирования высокого порядка при разработке определяющих уравнений балок, учтен эффект Пуассона, часто игнорируемый при одномерном анализе слоистых балок, и представ­ лены частоты и соответствующие формы колебаний симметричных балок из ортотропного композита. Метод конечных элементов с использованием принципа максимума потенциальной энергии, учитывающий непрерывность межслойного сдвигового напряжения, использован в [5] для анализа напря­ жений и колебаний композитных многослойных балок.

Частоты и формы собственных колебаний композитных балок найдены в [6] посредством решения уравнений движения двумя методами: аналити­ ческим и конечно-элементным.

Конечно-элементный анализ изгиба и собственных колебаний балок из слоистых композитов с учетом сдвиговых деформаций выполнен в [7] на основе теории сдвигового деформирования высокого порядка и обычной тео­ рии первого порядка, примененной при разработке конечно-элементной мо­ дели с использованием 9-узлового изопараметрического элемента. Исследо­ вано влияние разных факторов, таких, как ориентация волокон, отношение длина пролета/толщина балки и граничных условий на безразмерные собственные частоты и прогибы. Установлено, что в случае балок из слоис­ тых композитов различие между значениями частот и прогибов, рассчитан­ ных исходя из теорий сдвигового деформирования первого и высокого по­ рядков, незначительно. Аналогичный результат получен в [8] для собственной частоты при использовании балочной теории третьего порядка.

Собственные колебания балок прямоугольного поперечного сечения из ортогонально армированного композита с произвольными граничными условиями изучены в [9], где представлены аналитические решения, полу­ ченные исходя из уточненных теорий балок. Установлено, что расхождение с разными теориями сдвигового деформирования мало. В [10] использовали символьные вычисления для интегрирования уравнений свободных колеба­ ний (схема прямого интегрирования) балок из слоистых композитов на основе теории сдвигового деформирования первого порядка. Исследовано влияние коэффициента Пуассона, ширины и последовательности укладки слоев, граничных условий на собственные частоты.

В [11] представлены аналитические решения задачи колебаний балок из слоистых композитов с защемленными и защемленно-опертыми краями. Для выведения динамических уравнений собственных колебаний применен принцип Гамильтона. В энергетическую формулировку включены как де­ формация сдвига, так и инерция вращения. Метод множителей Лагранжа,

используемых для наложения ограничений, применен для нахождения аналитических решений задачи о собственных колебаниях.

В [12, 13] получены точные решения задачи о собственных колебаниях балок из симметричных слоистых композитов с использованием теории сдвигового деформирования первого порядка и учетом инерции вращения. В [14] представлено аналитическое решение для нахождения собственной частоты балок из симметричных слоистых ортотропных композитов со сво­ бодным опиранием краев для трех случаев: с учетом деформации сдвига, инерции вращения и обоих факторов одновременно. В [15] для решения свя­ занных уравнений изгиба и кручения, описывающих свободные колебания ортотропной консольной балки {L/h = 60) с учетом изгибно-крутильного взаимодействия, но без учета деформации сдвига и инерции вращения, применен метод Галеркина.

Ни одно из перечисленных приближенных или точных решений не учи­ тывает все возможные граничные условия, геометрические факторы (отно­ шение пролет/толщина, последовательность укладки слоев и ориентация волокон) и разные типы композитных материалов. Кроме того, до сих пор не рассматривали раздельное и совместное влияние деформации сдвига и инерции вращения в сочетании с перечисленными факторами на собствен­ ные частоты композитных балок. Таким образом, настоящая работа посвящена применению метода конечных разностей для

•выполнения динамического анализа композитных балок с разными параметрами; нахождения частот и форм собственных колебаний балок из симмет­

ричных слоистых волокнисто-армированных композитов при разных граничных условиях; изучения четырех случаев влияния деформации сдвига и инерции

вращения: без учета обоих факторов (а); с учетом только деформации сдвига (б) и только инерции вращения (в); с учетом обоих факторов

(г).

изучения влияния ориентации волокон и последовательности уклад­ ки слоев на собственные частоты.21

1. Постановка задачи

Для лучшего понимания влияния деформации сдвига и инерции враще­ ния на решение динамической задачи для балок из слоистых композитов при построении дифференциальных уравнений движения рассмотрены все перечисленные случаи. Кроме того, приняты следующие предположения.

1. Балка имеет произвольное количество идеально связанных ортотроп­ ных слоев, главные оси ортотропии которых могут не совпадать с геометри­ ческими осями балки.

2. Применима изгибная теория Бернулли— Эйлера; при изгибе попереч­ ные сечения балки остаются плоскими и перпендикулярными к нейтраль­ ной оси балки (поперечная сдвиговая деформация у ^ не учитывается).

3.Влиянием изгибно-крутильного взаимодействия можно пренебречь. Изменение ориентации волокон по отношению к геометрической оси х бал­ ки влияеттолько на изгибную D jjи сдвиговуюЛ55 компоненты жесткости.

4.Балка имеет постоянную толщину, которая мала по сравнению с ее

длиной.

5.Перемещения, повороты и деформации малы по сравнению с толщи­ ной балки.

6.Поперечной нормальной деформацией ег можно пренебречь.

7.Всеслои балки линейно-упругие.

Случай а: деформация сдвига и инерция вращения не учитываются.

Динамическое равновесие бесконечно малого элемента балки (рис. 1—а) сводится к дифференциальному уравнению движения в частных производ­ ных [1]

Рис. 1. Схемы бесконечно малого дифференциального элемента свободно опертой балки, подверженной собственным колебаниям (а), и нумерации сетки для метода конечных разностей (б).

К. С. HvMaHD. М. А. Хаддад. А. Ф. Аюб

Табл. 4

Значения безразмерной первой собственной частоты o>i свободно опертой балки из эпоксидного углепластика для случая г

но опертыми краями имеют более высокие значения первой частоты по сравнению со свободно опертыми балками. Учет деформации сдвига сущес­ твенно снижает значение безразмерной первой собственной частоты, тогда как влияние инерции вращения мало.

Значения первых трех безразмерных собственных частот свободно опер­ тых балок из однонаправленного [0°/0°]5 и ортогонально армированного [О0/ ^ 0]^ эпоксидных углепластиков приведены в табл. 4. В настоящей рабо­ те достигнута большая точность при оценке низшей (первой) собственной частоты по сравнению с данными, полученными в [1,2, 12,14]. Деформиро­ ванные формы балок, соответствующие более высоким модам колебаний, имеют точки перегиба, которых нет у первой моды. В настоящей работе при решении задачи о собственных колебаниях композитных балок использо­ ван линейно-упругий анализ первого порядка.

Влияние деформации сдвига и инерции вращения по отдельности и вмес­ те на значения первых шести безразмерных собственных частот свободно опертой балки из ортогонально армированного углепластика AS/3501-6 по­ казано на рис. 3. По данным рисунка степень влияния этих факторов прямо пропорциональна номеру моды. При этом влиянием инерции вращения можно пренебречь.

3.3. Отношение пролет/толщина. Влияние отношения L/h (длина про-

лета/высота балки) на безразмерную первую собственную частоту свободно опертых и защемленных балок из ортогонально армированного углепласти­ ка AS/3501-6 для случаев в и г иллюстрирует рис. 4. Из данных рисунков видно, что в случае г частота увеличивается с ростом отношения L/h, но ско­ рость ее роста при L/h > 30 быстро уменьшается, а при L/h > 45 прекращает­ ся вовсе. В случае в влиянием отношения пролет/высота на безразмерную