Механика композитных материалов N3 2006
..pdf
где а, е, D и Е — напряжение, деформация, электрическое смещение и векто ры электрического поля соответственно:
<7 ( a rr, a 00, a zz |
8 = ди и |
dw |
ди |
dw T |
|
|
d r ’ г ' |
dz |
’ dz |
dr |
(3) |
|
|
|
|
|
в-<д'-в*)Т- E=( ^ t ) T
Здесь и и w — радиальная и осевая составляющие вектора перемещения. Для пьезоэлектрической среды, в которой направление поляризации совпадает с положительным направлением оси z, матрицы констант материала с, е и е имеют вид
’ с 11 с 12 с 13 |
0 ' |
■ 0 |
е 31 ~ |
|
|
С = с 12 |
с и |
с \3 |
0 |
0 |
е 3\ |
GU |
о |
|
, е = |
О |
е 33 |
||||
с \3 |
с 13 |
с 33 |
0 |
0 |
е 33 |
||
_ 0 |
0 |
0 |
с 44_ |
_е 15 |
0 |
_ |
(4) |
|
|
|
|
|
где Су, ву и е ц — упругие константы, пьезоэлектрические константы и ди электрические проницаемости соответственно. При отсутствии массовых сил и массовых зарядов уравнения равновесия пьезоэлектрической среды запишем как
rr _|_dfrrz |
стп. —су00 _ Q |
д с к |
^ д о ^ |
^ Сrz _ Q dD r ^ d P z |
^.Q |
|||
dr |
dz |
г |
dr |
dz |
г |
dr |
dz |
г |
(5)
они могут быть выражены в терминах перемещений и электрического по тенциала после подстановки в них уравнений (2)— (4).
3.Электроупругие поля в пьезоэлектрическом волокне
Всилу симметрии среды достаточно рассмотреть лишь ее верхнюю по ловину. Решение определяющих уравнений (2) может быть получено путем использования преобразования Ханкеля по отношению к переменной г [16]:
и '
<W ►=
. ф .
~з
п
т= 1
a l/n/ l('sA m ,') cos(-yz) a 2 m ^0 (s r ) >ехр( s k m z ) A m +■ a 2ra/ o ( A m '') sin('sz)
a 3mJ o(s r ), "3m/ o('sA m /') sin( ^ ) .
где У, (/= (0,1) — функции Бесселя / -го порядка первого рода; /, (/ = (0,1) — модифицированные функции Бесселя / -го порядка первого рода; Am(s) и
Bm(s)— неизвестные функции s. После подстановки уравнения (6) в уравне ния (2) и (5) получим
c \ 1 _ c 44^w |
( c 13 c 44 Я т |
( e 3i Ч - е ^ Я /и |
a l/n |
|
( c 13 + c 44 Я т |
C3 3 A,„, |
- C 4 4 |
e 33^»i _ e 15 |
' a 2 m ’ |
( e 31 + e l 5 ^ m |
e 33^m |
- e l5 |
e ll - 6 33 ^/n |
|
Для задачи о собственных значениях, состоящей из трех уравнений, не тривиальные значения a jm (J= 1, 2, 3) существуют, если X является корнем детерминанта. В этом случае -X тоже является корнем детерминанта. В по следующем анализе корни Хт (т= 1,..., 6) расположены таким образом, что Re(A.|)<0, R e(^2)< 05 Re(A,3)<0, Re(A.4 = -^ ])> 0 , Re(A,5 =-A,2)>0, Re(A,6 = -A,3 )>0. Поскольку характеристики поля должны быть конечными при любых положительных величинах г и z, то используются лишь корни
Х\,Х2 иА,3.
Поля напряжений и электрических смещений из уравнения (6) могут быть получены из уравнений состояния (2):
D z( r ,z ) k |
r |
a zr( r ,z ) |
W=1 |
X — г %
La.\ Jo
т=\^-т
C 2mJ 0 ( s r ) exp(sXmz)Amds +
►
f |
S |
' |
cos(sz) |
О |
----г |
|
|
1 |
у |
||
V |
m |
||
f |
s |
' |
cos(sz) B mds, |
С 2т1 0 |
----г |
|
|
\ ^ т |
J |
||
|
|
|
\ |
—С 3m1 11 — |
r sin(sz) |
||
|
\ K m |
|
J |
v rr{ r , z ) = XJ7 C 4ms J 0(sr) +^ — Jc l a UnJ x{sr) exp(sX, mz)Amds +
m- 1
►If
m- 1
|
|
f |
s |
^ . |
c 12 - |
C4m 5/n |
---- r |
+ |
|
||
__ |
§ |
5 |
|
j |
r |
1 |
|
|
|
|
|
c ll
,{ J
----r cos (sz)Bmds,
(7)
D,.(r,z)
3 i
- Z —
Z c 5w J^° sJl(sr)exp(sXmz)Amd s - m=1
\
Г sin(sz)Bmds
m=\K m |
J |
(константы С Jm (J = 1 , 5 ; т = 1, 2, 3) даны в Приложении А).
4. Решение для упругой матрицы
Рассмотрим здесь конечную трансверсально-изотропную матрицу, по скольку задача о пьезоэлектрическом волокне в бесконечной матрице уже была рассмотрена в [16]. Присвоим нижний индекс "е" величинам, относя щимся к упругой матрице. Перемещения в упругой матрице могут быть вы ражены как
ме = Г Y , b Xm[Ix(s^mr)Cm + K ^ mr)Dm ]cos{sz)ds,
т=1 |
(8а) |
we = Г |
о № т г)Ст - K Q(s%mr)Dm]s\n(sz)ds, |
т=1 |
(86) |
где Kj (/= 0, 1) — модифицированная функция Бесселя второго рода поряд ка /; (Ст, D m) — неизвестные коэффициенты; 't)Yn (т= 1,2) — собственные значения с положительными действительными частями характеристическо го уравнения
с \\е&т с 44е |
(^13е ^ с 4 4е)^т |
|
2 |
_(с 13е с 44еУът |
с 3 3 е ~ с 44е^т |
(*1«> Ь2т) — соответствующие собственные векторы. Напряжения в упру гой матрице из уравнения (8) имеют вид
®zze = l L D \m Г s \.C mI ^ m |
r ) - D mK 0{ s ^ mr)}cOS{sz)ds, |
|
т=1 |
|
(9а) |
CTzre — |
т С° s[^ |
D тК \(s^mr)]sin(sz)ds, |
т=1 |
° |
(96) |
2
® гге ~~ X D4т Jj° s[CmI (i(s'£,mr ) - D mK Q(sZ>mr)}cos{sz)ds +
■Г |
с 12е _ с 11е |
2 |
|
Y Jb\m[CmI x{st>mr) +D mK ^ s l , mr))co^sz)ds |
(9в) |
||
|
т=1 |
||
|
|
(константы D Jm (J = 1, 3, 4; т= 1, 2) приведены в Приложении А).
Теперь неизвестными являются десять коэффициентов А т , В т (т= 1,2, 3) и С т, D m (т = 1, 2). Они определяются из граничных условий, соответ ствующих отсутствию напряжений на внешней поверхности, условий не прерывности на поверхности раздела между пьезоэлектрическим цилин дром и упругой матрицей и граничных условий на поверхностях трещины.
5. Удовлетворение условиям непрерывности и условиям на поверхности
Используем граничные условия (1) в плоскости z = 0. Для этого опреде лим функцию g как
з |
|
£ lC *)= £ |
А т*2 nr |
m=l |
(10) |
Из симметрии условий в плоскости z = 0 следует, чтоа,^ = 0 иф(г,0) = 0.
Отсюда |
|
|
^"1С Зт^т |
Q ^ |
а3т^т |
т=1 |
т=1 |
(11) |
На основе уравнений (10) и (11) величину Ат свяжем с величинами g\ и
&2' |
|
(m= 1 ,2,3) |
(12) |
(константы материала x m (m = 1, 2, 3) приведены в Приложении А). |
|
Из граничных условий (16) следует, что |
|
jJ°g(s)-/o(jr )<k = Q, г > а . |
^ |
Тогда |
|
£(•*) = J*°O(0sin(^)^ |
(14) |
|
|
при условии lim Ф (0 =0. |
|
г->0 |
|
Можно убедиться, что уравнение (14) удовлетворяет уравнению (13). Чтобы связать неизвестные константы В т (т= 1, 2, 3) и C m, D m (т= 1, 2) с величиной g, необходимо использовать условия непрерывности на по верхности раздела и условия на наружной поверхности композитного ци линдра.
Из условий непрерывности перемещений и и w на поверхности раздела г - Ь получаем (см. Приложения В и С)
t , b Xm\ J № mb)Cm +K\{s'£smb)Dm] - |
|
s |
> |
|
|
— |
ь |
В т |
|
т=1 |
т=1 |
\ ^ т |
) |
о |
(15)
2 |
3 |
|
в п |
I ^2т Uo(s^mb)Cт —K 0(s$mb)Dm ] ~ У .а2т^С\ |
|
||
т=1 |
/я=1 |
Ч ^ т J |
о |
(16)
(коэффициенты /,• (/ = 1, 2, 3, 4, 5) в (15) и (19) получены в Приложениях В— F).
Условие непрерывности по напряжению cxzr на поверхности раздела г = b (см. Приложение D) дает
j ^ D ^ ms[Ix{s^mb)Cm + K x( s ^ nb)Dm ] + т~\
|
|
и |
|
\ ^ т ) |
в т = \ h { s , t m t ) d t . |
т=\ |
(17) |
Условие непрерывности перемещения а гг на поверхности г ~Ь приводит к соотношению (см. Приложение Е)
j ^ D 4ms[I0(si,mb)Cm - K 0(s$mb)Dm ] +
т- 1
+ — -- Clie t b\m[ I № mb)Cm + K № mb)Dm ] -
О__ 1
S |
' |
5 m_ £ l2 e _ file |
^ а Хт1х\ ^ ~ b |
\Bm= j f 4(s,tyHt)dt. |
|
— |
b |
||||
т = \ К т |
) |
|
' |
о |
(18) |
Из условия отсутствия электрических смещений D r на границе раздела г = b получаем (см. Приложение F)
|
|
S |
^ |
|
№ . |
X ; — C 5mI |
1 |
— |
Ь Вт= \ м * , Ф |
||
'1 |
\ ^ т |
J |
|
(19) |
|
т=\^т |
О |
||||
|
|
|
|
|
|
Наконец, рассмотрим два разных варианта условий на наружной по верхности матрицы:
• напряжения на поверхности отсутствуют —
Gzre(c,z)=0, |
Grre(c,z)=0, |
(20) |
|
поперечные напряжения отсутствуют, но |
радиальные напряжения |
||
стеснены — |
|
|
|
Gzre(c,z) =0, |
ue(c,z) = |
0. |
(21) |
Уравнение (20) может быть выражено через неизвестные константы С т и D m подстановкой (8а), (96) и (9в).
Алгебраические уравнения (15)— (19) и (20) или (21) могут быть исполь зованы для нахождения семи неизвестных В т (т= 1, 2, 3) и С D m (т= 1, 2). В случае единичного волокна, наружная поверхность которого свободна от напряжений и электрических зарядов, константы С т и D m (т= 1,2) рав ны нулю, а значения В т {т = 1,2, 3) определяем из уравнений (17)— (19).
6. Интегральные уравнения и коэффициент интенсивности поля
Из линейных алгебраических уравнений (15)— (19) и одного из уравне ний (20) и (21) неизвестные функции В т (т= 1,2, 3) и С m, D m (т= 1,2) мо гут быть выражены через величину g. Функции В т , используемые далее, равны
а
B m(s) = } /б т ( 5> 0 Ф у (0 ^ (Ю= 1 .2,3),
0
(22)
где / 6т — известный коэффициент. Заметим, что единственной неизвест ной в пьезоэлектрическом волокне является Ф(г), поскольку функции А т и Вт (т = 1 ,2 , 3) связаны с функцией Ф уравнениями (12), (14) и (22). Функция Ф может быть определена из граничных условий на поверхности трещины при использовании интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Это интегральное уравнение может быть получено подстановкой уравнений (12), (14) и (22) в уравнение (7) с использованием граничного условия (1а). В результате получаем
где
3
т=1 |
(24а) |
Уравнения (23) могут быть далее упрощены (см. Приложение G):
Л оФ (')+ Г аг( /,г)Ф(г) ^ = 1 |
г |
' d |
|
0 |
я |
JoV /2 - г 1 |
|
где
r) = - Y , C lm £° f6m (s, Osinh |
' 8 |
' |
-----1 |
ds. |
|
71 т=1 |
\ ^ т |
(26) |
Решая уравнение (25), найдем функцию Ф. Из уравнений
k\ = lim j 2 ( r - a y a a ( r , 0), |
k D = Нш ф ( г - d)Dz {r, 0) |
r->a |
r^>a |
получим коэффициенты интенсивности напряжений и электрических сме щений
* 1 = - т 1 л 1уФ / 4 |
* 0 = 4 ^ ' ’ |
d a j-\ |
А0 |
где |
|
з |
|
Л<ю = |
w |
W=1 |
|
Нормальное перемещение верхней поверхности трещины может быть определено из уравнений (10), (14) и (6), а именно:
М.Г, 0) |
Ф (0Л . |
7. Трещина в бесконечной пьезоэлектрической среде
Задача существенно упрощается в случае бесконечно малой трещины. Ядро интеграла К в уравнении (26) обращается в нуль. При использовании условий /70 = -с г о и ^ = 0 находим функцию Ф из уравнения (25):
ф( ( ) = 2 — г '_ ^ о Щ = Л .
яЛ 0 k J t 2 - x 2
Коэффициенты интенсивности напряжений и электрических полей опреде лены как
1 2 |
кD - |
Л 0Р |
к \ = ~ |
к 1- |
|
4 а л J° V a 2 - * 2 |
|
Л 0 |
Перемещение и электрический потенциал верхней поверхности трещи ны могут быть найдены в замкнутой форме, если р 0/ — константы. Для перемещений имеем
Цг,0 ) = - л / а 2 - г 2 i X
лЛ0
8.Численный пример
Рассмотрим в качестве примера пьезоэлектрическую керамику PZT-4,
запрессованную в эпоксидную матрицу. Константы керамики: |
= 13,9х |
хЮ10 Н/м2, с 13 = 7,43 1010 Н/м2, с33 = 11,3 -Ю10 Н/м2, с44 = 2,56 -Ю10 Н/м2,
с12 = 7,78-1010 Н/м2, е31 = -6,98 Кл/м2, е33 = 13,84 Кл/м2, е15 = 13,44 Кл/м2,
€ ,, = 60,0 • 10_ 10 Кл/В м, е 33 = 54,7-10“ 10 Кл/В м.
Эпоксидная матрица — изотропна, ее модуль Юнга и коэффициент Пуассона равны Е е = 0,338 -1010 Н/м2 и о е = 0,215 [16]. Упругие константы
эпоксидной матрицы рассчитаны по формулам
_ |
п |
* е(1 -»е) |
с 11е с 33е ~ |
п v» |
|
|
(1 + о е)(1-2ие) |
|
и еЕ е |
Е е |
с 12е = с \3е = ----------------------------’ |
с 44е ------------------• |
(1 + о е)(1 -2 о е) |
2(1 + и е) |
Отметим, что разработанная аналитическая модель применима лишь для трансверсально-изотропной матрицы. Поэтому константа с44е принимается несколько меньшей (на 0,01%), чем ее действительная величина. Такое изменение слабо влияет на результат.
Исходя из приведенных данных находим, что А0 = -4,328 -1010 и A0D =
= -10,96. Положим, что напряжение внутри волокна а 0 определено в нерастрескавшейся пьезоэлектрической композитной среде. Затем были получе ны результаты для чистого пьезоэлектрического волокна, пьезоэлектричес кого композита с 10% содержанием волокон и волокна в бесконечной упругой матрице. Поскольку трещина является проницаемой для электри ческого поля, прикладываемые электрические нагрузки не оказывают влия ния на сингулярность в вершине трещины. Однако приложенная нагрузка может вызвать электрические смещения. Это иллюстрирует рис. 2, на кото ром приведены коэффициенты интенсивности напряжений и электрических смещений для трещин разной длины при действии механического напряже ния а 0.
Рис. 2. Зависимость нормализованных коэффициентов интенсивности напряже ний Л:] /А:о и электрических смещений &D /&DO пРи действии механического на пряжения ст0 от относительного радиуса трещины a/b: 1 — чистое волокно; 2 — объемное содержание волокон / = 0,1; 3 — бесконечная матрица.
Трещина располагается в центре волокна (см. рис. 1). Результаты норма лизованы к величинам к 0 = (2 /я )а 0л/я H /:DO = (A DO/A o)^o — коэффициен там интенсивности напряжений и электрических смещений в бесконечной среде под воздействием механического напряжения а 0. Как видно, интен сивности уменьшаются с уменьшением относительной длины трещины. Эти интенсивности также всегда превышают аналогичные величины для бесконечной пьезоэлектрической среды. Результаты, полученные для пье зоэлектрического волокна в конечной матрице, располагаются между их значениями для чисто пьезоэлектрического волокна и для пьезоэлектричес кого волокна в бесконечной матрице. Нулевые напряжения и нулевые пере мещения на внешней поверхности матрицы (см. рис. 1) соответствуют двум границам решения. Однако установлено, что эти границы для поля в верши не трещины различаются слабо. В силу симметрии условий нагружения и геометрических условий вершина трещины свободна от сингулярности сдвиговых напряжений, т. е. к2 - 0.
Заключение
Теоретически исследована внутренняя электрически проницаемая тре щина в пьезоэлектрическом цилиндрическом волокне, размещенном в упругой матрице. Различные частные случаи, такие, как чисто пьезоэлек трическое волокно и пьезоэлектрическое волокно в бесконечной матрице, могут быть легко проанализированы на основе предложенной аналитичес кой модели. Коэффициенты интенсивности напряжений и электрических смещений выражены через приложенные нагрузки и параметры материала. Механические нагрузки могут вызывать электрические смещения в верши не трещины, но электрические нагрузки не влияют на поле в вершине трещ ины . У пругая матрица стремится уменьш ить коэффициенты интенсивности полей.