Тезисы докладов XXI Всероссийской школы-конференции молодых ученых и с

При решении системы уравнений Эйлера гармоническим методом полевые величины раскладываются в ряд Фурье по времени. При этом исходная система уравнений распадается на N систем уравнений относительно коэффициентов разложения, где N – количество гармоник. Для дискретизации по пространству используется метод контрольных объемов. Для учета колебаний лопаток система уравнений движения переписана в подвижной системе координат – используется деформируемая криволинейная структурированная расчетная сетка.

Представлены результаты численного моделирования течения воздуха через плоскую решетку профилей первой стандартной конфигурации. Наблюдается хорошее соответствие результатов расчетов экспериментальным данным.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗНОСА КОЛЕЦ ИЗ НАНОСТРУКТУРИРОВАННОГО ТЕРМОРАСШИРЕННОГО

ГРАФИТА В ПРОЦЕССЕ ЭКСПЛУАТАЦИИ В КРАНАХ С УПЛОТНЕНИЕМ ПО ШТОКУ

А.В. Зайцев, Д.М. Караваев, Д.С. Рогов, А.М. Ханов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь)

Терморасширенный графит (ТРГ) – уникальный наноструктурированный материал, который вне зависимости от условий эксплуатации (повышенные температуры, термоциклирование, время контакта с агрессивными средами) обладает высокой термохимической стойкостью, низким коэффициентом трения, высокими упругими свойствами. Уплотнительные кольца (УК) из ТРГ очень надежны, не требуют дополнительной герметизации при эксплуатации, работают при температурах до 560 °С и давлениях до 40,0 МПа в кранах с уплотнениями по штоку.

71

В работе исследовались режимы работы («приработка», квазистационарный с износом и без него) изготавливаемых крупносерийными партиями УК из ТРГ, которые используются в кранах с уплотнениями по штоку. Предполагалось, что УК является толстостенным, ограниченным по высоте линейно упругим однородным трансверсально-изотропным цилиндром, зафиксированным в сальниковой камере нажимной втулкой (во всех точках наружной поверхности исключены радиальные, осевые и окружные перемещения). На одной из торцевых поверхностей было задано давление герметизации со стороны нажимной втулки, а на другой – рабочее давление. На внутренней боковой поверхности были заданы перемещения в осевом направлении, что моделировало возвратно-поступательное движение штока в условиях «приработки» в направлении нажимной втулки и в противоположную сторону. Квазистационарный режим работы уплотнения предполагал отсутствие или наличие износа ТРГ, который моделировался заданием на поверхности контакта со штоком законов трения в виде условия пропорциональности радиальных и касательных напряжений или линейного закона изменения внутреннего радиуса цилиндра в зависимости от контактного давления и скорости движения штока. Для описанных выше условий на внутренней боковой поверхности толстостенного цилиндра были получены аналитические решения краевых задач и определены напряжения, деформации и перемещения в поперечных сечениях УК. Проведена оценка начальной прочности УК по совокупности критериев с учетом реальных механизмов разрушения (частичные потери несущей способности от растяжения и сжатия в радиальном, окружном и осевом направлениях, от продольного и поперечного сдвига). Полученные данные о местах расположения областей, в которых начинается разрушение ТРГ по различным механизмам, согласуются с результатами, наблюдаемыми при эксплуатации УК. Полученное аналитическое решение задачи об износе УК при возвратно-поступательном дви-

72

жении штока, в котором были использованы экспериментально определенные трибологические характеристики ТРГ, позволило установить, что сохранение всех эксплуатационных качеств УК возможно до 10000 циклов работы запорной арматуры.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ– Урал № 11–01–00910).

МНОГОМАСШТАБНАЯ МОДЕЛЬ ПОЛИМЕРБЕТОНА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ УТОЧНЕННОГО ПРОЧНОСТНОГО

АНАЛИЗА КОНТЕЙНЕРОВ ИЗ СТЕКЛОПЛАСТИКА И ПОЛИМЕРБЕТОНА

А.В. Зайцев, А.В. Кислицын, А.В. Кутергин, Ю.В. Соколкин, А.А. Фукалов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь)

Контейнеры для длительного хранения и транспортировки высокоагрессивных жидкостей (изготавливаются из стеклопластика и полимербетона – дисперсно-упрочненного композита на основе полиэфирных смол, наполненных молотым известняком, кварцевым песком, мраморной, диабазовой мукой или цементом и армированных диабазовым, мраморным или гранитным щебнем), имеющие форму соосных составных толстостенных тяжелых цилиндров, являются конструкциями ответственного назначения, которые работают в экстремальных условиях силового воздействия продолжительный период.

Отличительными особенностями полимербетонов являются высокая степень наполнения минеральными частицами (размер, форма и взаимное расположение которых случайны), а также ярко выраженная анизотропия свойств. Последнее является следствием технологических режимов получения этих ма-

73

териалов. Поэтому для прогнозирования эффективных модулей полимербетона была разработана многомасштабная модель, в которой было выделено три уровня, определяемых характерными размерами: неоднородностей случайных полей напряжений и деформаций в частицах наполнителя матрицы, представительных объемов матрицы, наполненной минеральной мукой и, наконец, пространственной гексагональной ячейки периодичности полимербетона, содержащей минеральные включения в наполненной матрице. На основе численного решения краевых задач на различных масштабных уровнях методом конечных элементов были определены эффективные свойства квазиизотропной полиэфирной смолы «Виналкид 550», наполненной мраморной мукой (представительный объем содержал случайно размещенные трансверсально-изотропные минеральные сферические частицы, концентрация которых составляла 0,26, а разброс диаметров описывался нормальным и логнормальным законами распределения), и полимербетона на ее основе, имеющего периодическую пространственно гексагональную структуру с объемным наполнением 0,60 и содержащего сферические включения диабаза.

Сравнение спрогнозированных эффективных упругих модулей с экспериментальными данными показало хорошее соответствие полученных результатов и позволило использовать эти характеристики для уточненного прочностного анализа цилиндрических контейнеров, в основу которого было положено новое точное аналитическое решение задачи об упругом равновесии тяжелых составных толстостенных анизотропных тел с осевой симметрией, полученное с использованием разложения компонент вектора перемещений по окружной и радиальной координате в тригонометрические и обобщенные степенные ряды и позволяющее оценить влияние собственного веса на характер распределения напряжений в поперечных сечениях контейнера с учетом изменения упругих свойств полимербетона при длительном контакте с агрессивными жидко-

74

стями. На основе анализа полученного точного аналитического решения и многокритериального подхода, который позволяет описать различные реальные механизмы разрушения анизотропных внутренних и внешних толстостенных соосных цилиндров (от растяжения или сжатия в окружном и радиальном направлении, от сдвигов по поверхности или в плоскости изотропии, а также в диаметральной плоскости), проведена оценка начальной прочности. Было обнаружено, что разрушение от растяжения или сжатия в окружном и радиальном направлении происходит в вертикальных сечениях, а потеря несущей способности от сдвига – в диаметральных горизонтальных плоскостях. На основе полученных результатов обоснованы рекомендации по внесению изменений в существующие конструкции контейнеров.

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПЕНАХ, ВЫСОКОПОРИСТЫХ ГУБКАХ, КЕРАМИКАХ И БИОКОМПОЗИТАХ

А.В. Зайцев, В.С. Кокшаров, Ю.В. Соколкин

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь)

Высокопористые материалы и биокомпозиты (пены, металлические губки, трабекулярная костная ткань) обладают стохастической структурой, проявляющейся в случайности характерных размеров, формы и взаимного расположения пор в объеме. При построении приближенных решений стохастически нелинейных краевых задач и определении статистических характеристик полей напряжений и деформаций используются различные гипотезы о характере многочастичного взаимодействия в ансамбле пор. В работах [1, 2] предложен новый метод аналитического построения условных и безусловных многото-

75

чечных моментных функций случайной полей напряжений и деформаций в однонаправленно армированных волокнистых и дисперсно-упрочненных композитах матричного типа, основанный на доказанных теоремах о геометрическом смысле условных вероятностей. Этот метод может быть использован для построения моментных функций случайных полей напряжений

идеформаций высокопористых материалов и биокомпозитов. В рамках полидисперсных моделей для композитов с круглыми в поперечном сечении туннельными и сферическими порами (2D и 3D высокопористые материалы) из решения вспомогательных геометрических задач определены меры пересечений подобластей матрицы, построены зависимости этих мер и их производных от расстояния между центрами, получены соотношения для условных и безусловных моментных функций, сформулирована и доказана следующая теорема об общих свойствах случайных полей напряжений и деформаций.

Теорема. Производные условных и безусловных моментных функций второго порядка случайных полей напряжений и деформаций в 2D и 3D высокопористых композитах в точках, соответствующих нулевому значению аргумента, отрицательны, их значения не зависят от направления, в котором ведется построение этих функций, и координационного числа случайной структуры, а величина обратно пропорциональна суммарному периметру (площади) межфазных границ пора–матрица.

Следствиями из этой теоремы являются следующие выводы: если распределенные внутри представительных объемов поры имеют одинаковый радиус, то искомые производные обратно пропорциональны этому радиусу; о существенном влиянии на значения производных фракционного состава, предопределяемого типом закона распределения характерных размеров пустот; о локальной изотропии случайных полей напряжений и деформаций для случаев, когда поры имеют одинаковый

ипроизвольный диаметры. Кроме того, эти производные могут рассматриваться в качестве одного из возможных условий для

76

верификации и отбраковки существующих и разрабатываемых моделей, используемых при построении приближенных решений стохастических краевых задач механики для высокопористых пен, губок и биокомпозитов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 11–01–00910).

Список литературы

1.Зайцев А.В., Кислицын А.В., Кокшаров В.C. Общие закономерности структуры, случайных полей напряжений и деформаций в волокнистых и дисперсно-упрочненных композитах // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лоба-

чевского. – 2011. – № 4, Ч. 4. – С. 1485–1487.

2.Зайцев А.В., Кокшаров В.C., Соколкин Ю.В. Производные моментных функций второго порядка случайных полей напряжений и деформаций в однонаправлено армированных и дис- персно-упрочненных композитах // Неравновесные процессы в сплошных средах (НПСС–2009): материалы всерос. конф. молодых ученых. – Пермь: Изд-во Перм. гос. ун-та, 2009. – С. 103–106.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ВОЗРАСТНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ ТРАБЕКУЛЯРНОЙ ТКАНИ БОЛЬШОЙ БЕРЦОВОЙ КОСТИ ЧЕЛОВЕКА НА ЭФФЕКТИВНЫЕ МОДУЛИ ОБЪЕМНОГО СЖАТИЯ

А.В. Зайцев, Ю.В. Соколкин, А.А. Фукалов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь)

Биологические костные ткани состоят из высокомодульных и высокопрочных неорганических волокон из кристаллов гидроксилапатита и матрицы в виде органических и коллагеновых волокон. Предполагая, что волокна из кристаллов гидроксилапатита и коллагеновые волокна образуют непрерывные

77

нити диаметром до 45 Å, расположенные вдоль продольной оси кости, будем считать, что костная ткань является трансвер- сально-изотропной пористой средой. Моделирование возрастного изменения деформационных характеристик может быть проведено с использованием эмпирической зависимости [1], полученной в результате обработки экспериментальных значений модулей нормальной упругости в различных возрастных группах от 28 до 95 лет. Пренебрегая наличием аморфных органических и минеральных веществ, которые присутствуют в объеме до 1 %, и принимая гипотезы о том, что, во-первых, в возрасте 28 лет костная ткань является «молодой», а при увеличении биологического возраста «старение» начинается на внутренних поверхностях и постепенно к 80 годам охватывает весь объем, и, во-вторых, перестройка ткани связана с увеличением пористости, которая изменяется в диапазоне от 0,6 до 0,9, исходная «стареющая» биологическая среда может быть заменена композитом с полыми соосными цилиндрически трансверсально-изотропными волокнами втрансверсально-изотропной матрице.

В рамках полидисперсных моделей механики композитов получены аналитические выражения для эффективных модулей объемного сжатия при плоской деформации многофазных материалов с трансверсально-изотропными полыми соосными волокнами [2]. На основе полученных выражений проанализировано изменение модулей объемного сжатия трабекулярной ткани большой берцовой кости с биологическим возрастом человека при различной объемной пористости. Эти характеристики находятся среди ключевых для описания движения вязких жидкостей (костный мозг, лимфа, кровь, тканевая жидкость) внутри кости [3]. Было обнаружено, что при «старении» наблюдается незначительное (от 2 до 8 %) снижение эффективных модулей, в то время как при увеличении объемной пористости до 0,9 значения этих характеристик в 5,2–5,7 раз ниже, чем в исходном состоянии.

Практическое значение полученных результатов состоит в следующем: спрогнозированное изменение модулей объем-

78

ного сжатия при плоской деформации связано с возрастной внутренней перестройкой структуры костной ткани и является основой для разработки новых методов предупреждения и лечения переломов, а также обоснования комплекса гимнастических упражнений и индивидуального подбора нагрузок для неподвижных и ограниченно подвижных больных.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 11–01–00910).

Список литературы

1.Возрастные изменения некоторых упругих характеристик механических свойств компактной костной ткани человека / Ю.Ж. Саулгозис, И.В. Кнетс, Х.А. Янсон, Г.О. Пфафрод // Меха-

ника полимеров. – 1974. – № 5. – С. 885–891.

2.Зайцев А.В., Соколкин Ю.В., Фукалов А.А. Эффективные модули объемного сжатия при плоской деформации двухфазных однонаправленно армированных композитов с анизотропными полыми и сплошными волокнами // Вестник ПНИПУ.

Механика. – 2011. – № 4. – С. 37–48.

3.Янсон Х.А., Кнетс И.В., Саулгозис Ю.Ж. Физиологическое значение изменения объема кости при деформировании //

Механика полимеров. – 1974. – № 4. – С. 695–703.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ

А.А. Звягин, Р.Г. Куликов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь)

Поведение современных материалов нельзя описать классическими линейными теориями механики. Это относится как к определяющим соотношениям, связывающим компонен-

79

ты тензоров деформаций и напряжений, так и к геометрическим соотношениям.

В общем случае вариационное уравнение, описывающее состояние тела, поставленное в рамках теории конечных деформаций, представляет собой существенно нелинейное соотношение относительно перемещений тела. В представляемой работе была проведена линеаризация геометрических и физических соотношений для случаев одномерного и плоского деформированных состояний. Линеаризация геометрических соотношений проведена путем разложения исходных перемещений на сумму малых перемещений. Линеаризация физических соотношений заключалась в их разложении в ряд Тейлора в окрестности компонент тензора накопленных деформаций относительно деформаций сij в актуальной конфигурации тела.

Таким образом, перемещения тела и компоненты тензора Пиола – Кирхгофа II рода в произвольный момент времени представляют собой сумму накопленных составляющих и малых текущих приращений. Важным преимуществом данного подхода является возможность учета температурной деформации как части приращиваемых на каждом шаге расчета малых деформаций.

Описанный подход позволяет свести решение исходной нелинейной задачи к последовательности решений краевых задач в рамках линейной теории. В результате в программной реализации алгоритма на каждом шаге итерационной процедуры проводится построение новой глобальной матрицы жесткости метода конечных элементов, что приводит к большому времени расчета. Для повышения скорости получения решения были применены технологии параллельных вычислений. Предлагается параллельно вычислять несколько различных локальных матриц различными процессами, что позволит быстрее получить глобальную систему уравнений МКЭ. Также многие процедуры различных методов решения системы линейных алгебраических уравнений МКЭ позволяют производить вы-

80