Тезисы докладов XXI Всероссийской школы-конференции молодых ученых и с

В настоящей работе рассматриваются упругие двумерные тела в условиях плоскодеформированного или плосконапряженного состояния при наличии на границе тела особых точек, в которых имеют место смена типа краевых условий, нарушение гладкости поверхности или контакт различных материалов.

При определении численным методом характера сингулярности напряжений будем исходить из условия, что найдена окрестность особой точки, где с достаточной точностью напряжение вдоль прямой, проходящей через особую точку, описывается зависимостью

σ = Arλ−1,

где λ – показатель сингулярности напряжений, r – расстояние до особой точки, A – некоторая постоянная.

Для численного анализа поведения напряжений в окрестности особых точек в настоящей работе используется метод конечных элементов.

Получены численные решения для двумерных задач

врамках симметричной и несимметричной теорий упругости

вокрестности особых точек, порождаемых различными типами граничных условий (свободная граница, смешанные краевые условия) и составными разномодульными материалами. На основе полученных решений проведено исследование характера сингулярности напряжений в рамках симметричной и несимметричной теорий упругости.

141

МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ В ЗАДАЧЕ РАСПОЗНАВАНИЯ ТЕКСТУР

Е.В. Павлюк

(Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург)

В работе представлены алгоритмы распознавания текстур, основанные на марковских случайных полях. Отыскание сегментации с наибольшей апостериорной вероятностью является решением одной из байесовских задач распознавания. Эти алгоритмы весьма близки к алгоритмам стохастической релаксации из работы [1], но при этом «температуры». Задачи распознавания скрытых марковских полей, в частности текстурной сегментации изображений, оказались погруженными в более общую проблему моделирования и генерирования марковских случайных полей [2]. Представлены некоторые результаты решения задач распознавания текстур и ряда техногенных и природных объектов на аэрофотоснимках. Кроме этого проведена оценка эффективности работы алгоритмов для представленных задач.

Список литературы

1.Geman S., Geman D. Stochastic relaxation, Gibbs distribution and the Bayesian restoration of images // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. – 1984. – 6. – Р. 721– 741.

2.Stan Z. Li Markov random field modeling in image analysis. Advances in Pattern Recognition. – Springer-Verlag London Limited, 2009.

142

ДВУХСЛОЙНОЕ ТЕЧЕНИЕ НАМАГНИЧИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ, СВЯЗАННОЕ С ДВИЖЕНИЕМ ФЕРРОМАГНИТНЫХ ЦИЛИНДРОВ

Д.А. Пелевина1,2, С.А. Калмыков2

(1Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, г. Москва, 2НИИ механики МГУ, г. Москва)

Неоднородное «бегущее» магнитное поле вызывает волнообразные изменения поверхности магнитной жидкости и течение магнитной жидкости с ненулевым средним расходом. Зависимость формы поверхности и среднего расхода магнитной жидкости от приложенного поля исследована*. В данной работе теоретически исследована возможность создания расходного течения ненамагничивающейся жидкости на основе волнообразного изменения поверхности магнитной жидкости в поле, возникающем при движении ферромагнитных цилиндрических тел в однородном приложенном магнитном поле. Исследуется плоское течение двух тонких слоев вязких несжимаемых жидкостей, нижняя из которых – магнитная жидкость, а верхняя, более легкая, не намагничивается. При решении учитываются сила тяжести, поверхностное натяжение и влияние магнитного поля на намагниченность магнитной жидкости. Задача решается в длинноволновом и безындукционном приближениях. По заданному магнитному полю аналитически вычисляются форма поверхности контакта жидкостей, скорости, давления и средние расходы жидкостей. Исследованы зависимости средних расходов жидкостей от параметров задачи. Получены немонотонные зависимости средних расходов от скорости движения тел и расстояния между их центрами, а также

*Hydrodynamics of a magnetic fluid layer in a traveling magnetic field / V.A. Naletova, V.A. Turkov, D.A. Pelevina, S.A. Kalmykov // Magnetohydrodynamics. – 2008. – 44 (2). – P. 149–154.

143

от толщины слоя магнитной жидкости. Это позволяет определить оптимальные значения параметров, при которых ненамагничивающаяся жидкость течет с максимальным средним расходом.

Целью работы является исследование возможности создания перистальтических перекачивающих устройств на основе магнитной жидкости в бегущих периодических приложенных магнитных полях.

О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ РАВНОКАНАЛЬНОЙ УГЛОВОЙ ЭКСТРУЗИИ ПОЛИМЕРОВ

А.В. Периг1, Н.Н. Голоденко2

(1Донбасская государственная машиностроительная академия, г. Краматорск, Украина,

2Донбасская национальная академия строительства и архитектуры, г. Макеевка, Украина)

Основные закономерности плоских вязких ньютоновских течений несжимаемых полимерных материалов при интенсивном деформировании посредством твердофазной равноканальной угловой экструзии (РКУЭ) в первом приближении оценены посредством численного конечно-разностного решения краевых задач для уравнений Навье–Стокса (УНС) в формах уравнений переноса количества движения и уравнений переноса вихря (УПВ) [1, 2]. В применении к технологическим задачам РКУЭ УПВ имеет вид ∂ζ/∂t=─Re▪((∂(uζ)/∂x)+(∂(vζ)/∂y))+

+(∂2ζ/∂x2+∂2ζ/∂y2), где Re=U0aρ/η – число Рейнольдса, характерный размер a – ширина канала, U0 – скорость заготовки во

входном канале штампа, ρ и η – плотность и вязкость модели деформируемого полимерного материала, x=x/a и y=y/a – безразмерные координаты, u=u/U0 и v=v/U0 – безразмерные составляющие скорости вдоль осей x и y, безразмерная функция

144

вихря ζ=∂u/∂y–∂v/∂x, а t=tη/ρa2 – безразмерное время. Предложенный вязкостный подход к описанию РКУЭ позволяет эффективно проанализировать сдвиговые течения вязких моделей полимерных материалов через следующие угловые штампы: 2θ-штампы простой геометрии Сегала (Segal); 2θ-штампы с внешними закруглениями в зоне сопряжения пересекающихся каналов Ивахаши (Iwahashi); многоугловые экструзионные штампы; а также через 2θ-конфузорные штампы, частными случаями которых являются угловые штампы с углами 2θ между входным и выходным каналами и переходными параллельными симметричными скосами на ширину канала в зоне очага деформирования.

В рамках численного интегрирования УПВ построены расчетные эпюры для линий тока, функций тока и вихря, полей скоростей вязкого потока, касательных напряжений и давления угловой экструзии. Обнаружены застойные зоны и зоны интенсивной ротации при РКУЭ. Предложенная методика для анализа РКУЭ аморфных вязких материалов найдет дальнейшее применение в рамках описания интенсивных сдвиговых течений частично кристаллических [3] и аморфно-кристаллических полимеров.

Список литературы

1.Perig A.V., Laptev A.M., Golodenko N.N., Erfort Yu.A., Bondarenko E.A. // Materials Science and Engineering: A. – 2010. – Vol. 527, № 16–17. – Р. 3769–3776.

2.Периг А.В., Голоденко Н.Н., Жбанков Я.Г., Бойко И.И., Ситник А.А. // Письма о материалах. – 2011. – Т. 1, № 4. –

С. 217–221.

3.Нечаева Е.С., Трусов П.В. // Вычислительная механика сплошных сред. – 2011. – Т. 4, № 2. – С. 82–95.

145

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПАКЕТА ANSYS CFX ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА С СУЩЕСТВЕННО ПОДВИЖНОЙ ГРАНИЦЕЙ

Н.П. Поносов, О.Ю. Сметанников

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь)

Задачи о движении непроницаемых твердых тел в потоке жидкости/газа часто встречаются в технике. Такие задачи являются нестационарными и, как правило, нелинейными, что делает их аналитическое решение трудно реализуемым. В связи с этим возникает необходимость в численном решении подобных задач, для чего разработано множество коммерческих программных продуктов.

При численном описании движения твердого тела в жидкости/газе требуется исключить объем, занимаемый твердым телом, из расчетной области (среды). Это приведет к образованию у нее дополнительной границы, положение которой меняется со временем. Таким образом, исследователь неизбежно столкнется с необходимостью обновления сетки на каждом шаге по времени.

Можно описать движение границы, сдвигая узлы сетки так, чтобы получить необходимые перемещения границы, но при этом оставаясь в рамках исходного множества элементов. Такой подход вполне законно называют деформацией сетки (Mesh deformation). В некоторых случаях, когда перемещения узлов сетки не слишком велики по сравнению с размерами элемента, возможно получить достаточно точное численное решение, используя только деформацию сетки. При этом следует внимательно следить за качеством сетки, особенно в задачах, где моделируется пристенный слой.

Для случая, когда перемещения границы значительны, и описать ее движение, используя только лишь деформацию сет-

146

ки, не удается, выглядит естественным придавать границе перемещения последовательно, перестраивая сетку после каждого этапа. Такой подход подразумевает интерполяцию решения на новую сетку на каждом этапе движения границы, внося таким образом дополнительную погрешности.

При расчетах в ANSYS CFX наибольшая погрешность получается именно на этапе интерполяции решения на новую сетку. В связи с этим представляется целесообразным попытаться определить факторы, влияющие на величину этой погрешности, и подобрать параметрырешателя, минимизирующие её.

В работе рассмотрена задача о движении непроницаемого твердого тела в потоке газа. Для получения эталонного решения задача решалась в стационарной постановке, т.е. в системе отсчета, жестко связанной с телом. Использованная для получения стационарного решения сетка рассматривалась как исходная для задачи в нестационарной постановке. При решении нестационарной задачи использовались различные способы определения критического качества сетки, различные разностные схемы и способы интерполяции, применяемые в CFX. Для каждого из вариантов проведена оценка влияния погрешности, возникающей при перестроении сетки, на конечное решение нестационарной задачи.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ НЕСИММЕТРИЧНОЙ МЕХАНИКИ РАЗУПРОЧНЯЮЩИХСЯ СРЕД

Е.Ю. Просвиряков

(г. Казань)

При решении краевых задач механики деформируемых сред всегда используется теорема Гельмгольца, которая позволяет раскладывать непрерывно дифференцируемые поля на два вида: потенциальное и соленоидальное. Каждое из полей ха-

147

рактеризуется своим набором групп симметрий, позволяющих интегрировать дифференциальные уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние различных механических систем. Наибольший интерес, вплоть до начала XX столетия, представляли потенциальные поля, поскольку в таких теориях операторы являются самосопряженными (симметричные теории). Этот интерес можно объяснить достаточно наглядной интерпретацией материального континуума: любая бесконечно малая частица реального тела отождествляется с геометрической точкой в трехмерном пространстве. Такая идеализация позволяет учитывать только поступательные движения любой точки относительно осей выбранной системы отсчета. При этом не учитывается вращение элементарных частей относительно осей. В 1903 году французскими учеными Коссера была предложена модель, в которой при описании на- пряженно-деформированного состояния использовалась сфера достаточно малого радиуса (для учета характерных масштабов), но не нулевого. Несмотря на более чем вековую историю использования этой модели, все еще отсутствует ее влияние на механику разупрочняющихся тел, механику разрушения.

Предложено решение одномерной задачи разупрочнения с приведением конкретных примеров: растяжение, кручение полых цилиндрических образов. Приведена методика аппроксимации диаграмм деформирования для каждой составляющей полей напряжений и деформаций. Развита одномерная теория определяющих соотношений несимметричной механики разупрочнения, которая должна быть подтверждена соответствующими экспериментами.

Работа выполнена при финансовой поддержке фонда содействия развитию малых форм предприятия в научнотехнической среде (программа У.М.Н.И.К.)

148

ТОЧНЫЕ МНОГОСОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ ТИПА ЦЕПОЧКИ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДЕНГЕРА

Е.Ю. Просвиряков

(г. Казань)

Солитонные решения нелинейных уравнений математической физики представляют большой теоретический и практический интерес. Наиболее полно изучены точные решения уравнений Бюргерса, Кортевега де Фриза, Sine-Гордона, в которых решения принадлежат вещественным функциональным пространствам. Естественным обобщением указанного выше класса решений уравнений является построение комплексных решений для нелинейного уравнения Шреденгера. Известно*, что нелинейное уравнение Шреденгера является точно интегрируемым в рамках метода обратной задачи рассеяния. Искомое уравнение проинтегрировано посредством вспомогательной переопределённой системы линейных уравнений. Достаточно очевидным следствием точной интегрируемости является наличие точных многосолитонных решений.

Важным классом решений является система типа цепочки, которая на больших временах при сформулированной задаче Коши (заданном начальном условии) как сумма односолитонных решений, вычисленных для нулевого момента времени. В настоящем сообщении описан класс многосолитонных решений типа цепочки, который найден из решений уравнений Лагранжа и Гамильтона. В качестве образующей цепочки была использована система Манакова* (двумерный случай уравнения Шреденгера).

Работа выполнена при финансовой поддержке фонда содействия развитию малых форм предприятия в научнотехнической среде (программа У.М.Н.И.К.)

*Теория солитонов. Метод обратной задачи / В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский. – М.: Наука, 1980.

149

ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОПЕРЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

А.М. Реков

(Филиал Уральского федерального университета им. первого Президента России Б.Н. Ельцина в г. Первоуральске)

Экспериментально, методом делительных сеток, определены статистические характеристики главных микродеформаций при плоской деформации. Построены функции плотностей распределения случайных коэффициентов поперечной деформации микрообъемов (зерен) металла.

Условия плоской деформации получали при прокатке пластинок с размерами 14×75×2 мм из стали Х18Н10Т. База делительной сетки – 10 микрометров, что соответствует среднему размеру зерна. Для защиты сетки от истирания между образцом и валками прокладывали полоски папиросной бумаги. Степень деформации εи = 12,5 %. Измерение координат узлов деформированных делительных сеток проводили на микроскопе «Неофот-2» при увеличении 1000х. Измеряемый массив 20×20 ячеек. Рассчитывали главные микродеформации ε1, ε2 и ε3. Величину третьей составляющей находили из условия несжимаемости (ε1 + ε2 + ε3 = 0)*. Коэффициенты поперечной деформации ηij определяли по со-

отношениям (ε2/ε1 и ε3/ε1).

Приближенно распределения коэффициентов поперечной деформации соответствуют распределению Коши. Значения моды коэффициентов поперечной деформации η21 и η31 составляют 0 и –1.

*Реков А.М., Вайнштейн А.А., Березин В.В. Распределение главных микродеформаций // Вестник УГТУ-УПИ. Механика микронеоднородных материалов и разрушение: cб. науч. тр. – Екатерин-

бург: Изд-во УГТУ-УПИ, 2004. – № 22 (52). – С. 85–88.

150