1.3. Основные теоретические сведения

Алгоритм расчета цепи методом уравнений Кирхгофа сле­ дующий:

1.Произвольно обозначить узлы, токи ветвей, напряжение на источнике тока и произвольно выбрать их положительное направле­ ние.

2.Произвольно выбрать опорный узел и совокупность р =

=т - п + 1 независимых контуров, указав направление их обхода.

3.Для всех узлов, кроме опорного, составить уравнения по I закону Кирхгофа:

Алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю. Токи, направленные от узла, следует принять условно отрицательными, а направленные к узлу - положительными (или на­ оборот).

По I закону Кирхгофа составляется (п - 1) уравнение.

4. Для каждого выбранного контура составить уравнения по II закону Кирхгофа:

кк

Алгебраическая сумма падений напряжения на потребителях замкнутого контура равна алгебраической сумме напряжений источ­ ников в нем. При записи левой части положительными будут паде­ ния напряжения на тех потребителях, в которых выбранное положи­ тельное направление тока совпадает с обходом контура (падение на­ пряжения положительно). При записи правой части ЭДС Е и Uj со­ действующих источников ЭДС (тока), потенциал на которых возрас­ тает в направлении обхода контура, принимаются положительными. Противодействующие источники дают отрицательные слагаемые в сумме ЭДС и Uj.

По II закону Кирхгофа составляется р уравнение.

Уравнения, записанные по I и II законам Кирхгофа, образуют систему, число уравнений которой равно числу неизвестных величин токов ветвей и напряжений на источниках тока Uj , т.е. числу ветвей

т.

5.Систему т уравнений Кирхгофа решить совместно и опре­ делить численные значения т неизвестных величин токов и напря­ жений на источниках тока Uj.

6.Если необходимо, рассчитать с помощью обобщенного за­ кона Ома напряжения ветвей или разность потенциалов узлов.

7.Проверить выполнение баланса мощности.

Примечание. Если в цепи есть q источников тока, то рекомен­ дуется выбирать независимые контуры так, чтобы каждый источник тока входил только в один контур. При таком выборе соответствую­ щее Uj войдет только в одно уравнение по II закону Кирхгофа, и ко­ личество совместно рассматриваемых уравнений в системе сокраща­ ется на число источников тока q и становится равнымp - q .

Метод контурных токов (МКТ)

Применение метода к расчету электрической цепи позволяет уменьшить общее количество уравнений системы до числа р (незави­ симых контуров).

Алгоритм расчета методом контурных токов электриче­ ской цепи следующий:

1.Произвольно обозначить токи всех ветвей и указать их по­ ложительное направление.

2.Произвольно выбрать совокупность р независимых конту­ ров, нанести на схему положительное направление контурных токов, протекающих в выбранных контурах.

3.Для определения контурных токов составить систему уравнений в общем виде:

7.Определить токи ветвей через контурные токи по I закону Кирхгофа или как алгебраическую сумму контурных токов, создаю­ щих искомый ток ветви, при этом если направления контурного тока

итока ветви совпадают, соответствующий контурный ток входит в сумму со знаком «+», в противном случае - со знаком «-».

8.В случае необходимости с помощью обобщенного закона Ома определить потенциалы узлов.

9.Проверить баланс мощности.

Примечание. Если в цепи содержится q источников тока, следует выбирать такую совокупность независимых контурных то­ ков, при которой часть из них стала бы известной. Для этого необхо­ димо, чтобы каждый источник тока входил только в один контур. Поскольку токи в ветвях, содержащих источники тока, заданы усло­ вием задачи, становятся известными и контурные токи, протекающие

вэтих ветвях /„ = J. В этом случае количество совместно рассматри­ ваемых уравнений для определения контурных токов в системе (1.4) сокращается на q и становится равным р - q. Напряжения Uj источ­ ников войдут в качестве неизвестных в правые части уравнений, т.е.

всостав контурных ЭДС.

Применение этого расчетного метода позволяет уменьшить количество уравнений системы до (п - 1), где п - число узлов элек­ трической цепи.

Алгоритм расчета методом узловых потенциалов электри­ ческой цепи следующий:

1.Произвольно обозначить токи всех ветвей и указать их по­ ложительное направление.

2.Произвольно выбрать опорный узел (ср„) и пронумеровать оставшиеся (п - 1) узел.

Примечание: при расчете цепей, содержащих ветви с идеаль­ ными источниками ЭДС (сопротивление ветви равно нулю RBCTви = 0), опорный узел выбирается на концах этой ветви (подробная инфор­ мация рассмотрена ниже в п. Частный случай 1).

3.Записать систему уравнений в общем виде:

^(ИФ1+ ^*2Ф2 + •■• + Gkk(Pk =Jkk-

4. Определить собственные и общие проводимости узлов, а также узловые токи, т.е. рассчитать численные значения коэффици­ ентов в системе уравнений (1.6) по правилам:

собственная проводимость i-го узла (G,,) представляет собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, соединенных в /-м узле;

общая проводимость i-го иj -го узлов (Gu = GJt) представляет собой взятую со знаком «-» сумму проводимостей ветвей, присоеди­ ненных одновременно к /-му и у-му узлам. Следует отметить, что знак «-» не несет никакого физического смысла и является матема­ тической особенностью метода.

6.С помощью обобщенного закона Ома рассчитать неиз­ вестные токи ветвей и напряжения на источниках тока.

7.Проверить выполнение баланса мощности.

Частный случай 1. Цепь содержит ветвь с идеальным источ­ ником ЭДС. Порядок расчета не зависит от вида источников, дейст­ вующих в цепи. Однако расчет упрощается в случае, когда между одной или несколькими парами узлов включены идеальные источни­ ки ЭДС. Тогда напряжения между этими парами узлов становятся известными величинами, определенными условиями задачи. Для ус­ пешного решения подобных задач необходимо правильно обозна­ чить опорный узел, в качестве которого может быть выбран только один из узлов, к которым присоединена ветвь с идеализированным источником ЭДС. Если таких ветвей q, то количество уравнений в системе сократится до к = п - 1 - q.

Токи в ветвях с идеальным источником ЭДС определяются по I закону Кирхгофа.

Частный случай 2. Метод двух узлов. Для разветвленной це­ пи, имеющей только два узла и произвольное количество ветвей, ме­ тод узловых потенциалов вырождается в метод двух узлов. Решение сводится к отысканию значения потенциала одного из узлов, так как потенциал другого узла может быть принят равным нулю.

Система уравнений сводится к одному уравнению:

(1.9)

при условии, что ср2 = 0.

Метод наложения

Линейная электрическая цепь описывается системой линей­ ных уравнений Кирхгофа. Это означает, что она подчиняется прин­ ципу наложения (суперпозиции), согласно которому совместное дей­ ствие всех источников в электрической цепи совпадает с суммой действий каждого из них в отдельности.

Метод наложения опирается на принцип наложения и заклю­ чается в следующем: ток или напряжение произвольной ветви или участка разветвленной электрической цепи постоянного тока опре­ деляется как алгебраическая сумма токов или напряжений, создавае­ мых каждым из источников в отдельности.

Метод может применяться для определения тока в какойлибо одной ветви сложной электрической цепи.

Алгоритм расчета методом наложения линейной электри­ ческой цепи:

1.Произвольно задать направление токов в ветвях исследуе­

мой цепи.

2.Исходную цепь, содержащую п источников, преобразовать

вп подсхем, каждая из которых содержит только один из источни­ ков, а прочие источники исключаются в соответствии с правилом: источники напряжения замыкаются накоротко, а ветви с источника­ ми тока обрываются. При этом необходимо помнить, что внутренние сопротивления реальных источников играют роль потребителей, и поэтому они должны оставаться в подсхемах.

3.Определить любым из известных методов токи ветвей в каждой из подсхем, задавшись их направлением в соответствии с по­ лярностью источника. В большинстве случаев расчет ведется по за­ кону Ома с использованием метода эквивалентных преобразований пассивных цепей.

4.Полный ток в любой ветви исходной цепи определяется как алгебраическая сумма токов вспомогательных подсхем, причем при суммировании со знаком «+» берутся токи подсхем, направление которых совпадает с направлением тока в исходной цепи, со знаком

«-» - остальные.

Метод эквивалентного источника напряжения (генератора)

Применение метода целесообразно для определения тока в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи.

Метод строится на теореме об активном двухполюснике, в соответствии с которой любая z-я ветвь сложной цепи может рас­ сматриваться как выходной контур активного двухполюсника, а со­ противление ветви R, - нагрузочным сопротивлением активного двухполюсника. При этом активный двухполюсник может быть за­ менен (эквивалентирован) реальным источником ЭДС - эквивалент­ ным генератором, электродвижущая сила которого равна напряже­ нию на разомкнутых зажимах активного двухполюсника Uxx (режим холостого хода), а внутренне сопротивление - входному сопротивле­ нию /?вх пассивного двухполюсника, полученного из активного путем удаления всех источников (правило исключения источников приве­ дено в параграфе, рассматривающем метод наложения). Таким обра­ зом, искомый ток h определяется по закону Ома:

( 1.10)

Кх + R,

Алгоритм расчета методом эквивалентного генератора ли­ нейной электрической цепи:

1.Произвольно задается направление искомого тока в рас­ сматриваемой ветви.

2.Моделируется режим холостого хода (XX) активного двухполюсника, для чего отключается потребитель R, в рассматри­ ваемой ветви с искомым током /, и на разомкнутых зажимах обозна­

чается Uxx согласно направлению тока. Поскольку количество ветвей в таких цепях сокращается, сокращается и количество контуров, по­ этому схема в значительной степени упрощается, что облегчает дальнейший расчет.

3.В полученной цепи определяется Uxx с помощью II закона Кирхгофа, записанного для любого контура, содержащего Uх*. Токи в ветвях упрощенной схемы в режиме XX (с разомкнутой /-й ветвью и исключенным Л,) находятся любым известным методом.

4.С помощью правил эквивалентного преобразования по­ требителей определяется Лъх на входных зажимах пассивного двух­