А |
f i k Аl = w |
(5.23) |
Ар=1
Для двух четырехполюсников, соединенных по каскадной
схеме,
А |
\4][4] А |
(5.24) |
- |
АА
Эквивалентная матрица для двух четырехполюсников, соединенных каскадно,
М И - |
4 \ |
4 2 |
4 , |
Л12 |
А\\А\\ + А\2А2\ |
А\\Ап + А\2А22 (5.25) |
||
|
а 2] |
4.2 |
4 . |
42 |
А2\А\\ А22А2\ |
А2\А\2 ^22^22 |
||
|
|
|
|
5.4. |
Пример расчета |
|
|
|
Схема, |
подлежащая |
расчету, |
Rx |
Lx |
||||
представлена |
на |
рис. 5.38. Пара |
||||||
|
|
|||||||
метры элементов цепи:
Z, =30 + у'15 Ом,
Z , =40 + уЮОм,
Z 3 = 3 0 - у 20 Ом,
Z 4 = 2 0 - у 80 Ом.
Определение А-параметров
Найдем параметры холостого хода и короткого замыкания:
Z,x = Z 3+ ^ 1+~ 4^ - 2 =61,8202-723,8876 = 37,933e~j2ll3° Ом; Z, + Z4+ Z 2
0,9529 + у'0,1862 |
29,3206 + у'9,4084 |
0,0124 + у‘0,0078 |
1,3724 + у0,0943 |
0,9709е7'1,0565 30,7931еу'7,7904" 0,0147е;32’1712” 1,3757еА930Г
Определение параметров эквивачентной Т-образной схемы замещения
Воспользуемся формулами (5.3):
у 0 = л 21 = 0,0147е'32,171Г =0,0124 + уО,0078 Ом'1 =>
Z 0 = — = 57,7819-у36,3467 Ом, Но
Z, = 4 ^ — !- = 13,110 9 ^ 72,0243‘ =4,0462 + у12,4709 Ом, Но
Z 2 = ^ 2 — = 26,2235е--'17’9614” = 24,9455 - у8,0867 Ом.
А2 \
Полученная Т-образная схема замещения представлена на
рис. 5.39 (сопротивления указаны в омах). |
|
||
4,0462 |
12,4709 |
24,9455 |
8,0867 |
|
|
H = M |
I — j |
57,7819
■36,3467
«г
Г
Рис. 5.39
Определение параметров эквивалентной П-образной схемы замещения
В соответствии с формулами (5.4):
Z 0 = Л21 =30,7931еЛ7-7904° =29,3206 + у9,4084Ом,
У, - — — - = 0 ,0 1 2 4 е“-/3,6914" = 0,0 1 2 4 - у'0,0008 О м '1 =>
Z, = — = 80,0154 + у'5,0025 Ом,
Хл
У2 =4 l z l =o,006ej86'30S6° =0,0004 + у0,0062 Ом'1=>
?LO
Z 2 = - = 10,1339-yi 60,6511 Ом. —2
Полученная П-образная схема замещения представлена на рис. 5.40 (сопротивления указаны в омах).
29,3206 9,4084
Определение характеристических параметров четырехполюсника Z ir , Z 2C, Г
Способ 1. Использование ^-параметров четырехполюсника. По формулам (5.6) получим:
АпАп |
_ l(0,9529 + у0,1862)-(29,3206 + у9,4084) |
А2]А22 |
“ V (0,0124 + у'0,0078)-(1,3724 + у'0,0943) |
Vl 471,7306 - yl 87,3595 = V1483,6083*fу7’255”
= 38,5116e'jX6275° =38,4404- у 2,437 Ом,
_ р 22Д 2 _ |
/(1,3724 |
+ у'0,0943)-(29,3206 + у'9,4084) |
- 2С~ ] А 2,А„ |
(0,0124 |
+ у'0,0078)-(0,9529 + у'0,1862) |
^2770,8709- y l 091,8424 =д/2978,2285е"у2|-5066° -
= 54,5732е”;10,75зг = 53,6148 - у10,1823 Ом.
Из формулы (5.8):
ег =е е} = ^А иА22 +^]Ап А21 = = ^/1,2902 + у‘0,3454 + ^/0,2902 + у0,3454 -
= -\/l,3356e714’9872" + 7 0,4511е749,9635’ |
= 1,1556^ 7-4936” + |
+ 0,6716е;24-9818” = 1,7545 + у0,4344 - |
1,8075еу139063"; |
еА = 1,8075, А = In 1,8075 = 0,592 Нп = 201gl ,8075 - 5,1416 дБ; е;В = е»з,90бз“ ^ в = j 39063° = 0,2427 рад;
Г = А + уВ = 0,592 + уО.2427.
Способ 2. Использование параметров холостого хода и короткого замыкания. По формулам (5.7) найдем характеристические сопротивления:
Z,c =V Z,xZiK= V(61,8202 - у23,8876) - (21,7319 + у‘5,3615) = = Vl 471,5438 - у1 87,6739 = Vl483,463<T77>268°
38,515 8e"A634’ = 38,4384-y'2,4412 Ом,
Z 2C = J Z 2xZ 2K =V(82,7191 - 744,4494) • (31,4965+./3,7189) =
=^2770,665-71092,3764 = 54,5732<Г710’7588° =
=53,6139-jlO ,1874 Ом,
мера передачи
th Г = |
31,4965 + y'3,7189 |
VO,2767 + 70,1937 = |
||||
82,7191-744,4494 |
||||||
|
'Z 2x |
|
|
|||
= 0,5812f?717’4927’ =0,5543 + 70,1747 |
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
th Г = |
21,7319 + 75,3615 |
= VO,2767 + 70,1937 = |
||||
|
|
61,8202-723,8876 |
|
|
||
= 0,5812e7l7>4927“ =0,5543 + 70,1747. |
|
|
||||
Отсюда для определения меры передачи Г поступим |
||||||
следующим образом: |
|
|
|
|
||
|
|
shT |
ег -е~г |
ег |
е2Г-1 |
|
|
|
ch Г |
ег + е_г |
е_г |
е2Г +1 ’ |
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
е2г = e 2Ae;2B |
1 + th Г |
1 + 0,5543 + 70,1747 |
||||
6 |
^ 6 |
1 -th Г |
1-0,5543-70,1747 |
|||
= ^5543 + 70,1747 = |
7 + |
6 =Ъ2 т е Л1*ш' |
||||
|
0,4457-70,1747 |
|
|
|
||
|
е2А = 3,2673, |
2А = In3,2673 = 1,184, |
А = 0,592Нп; |
|||
|
е;2В = |
, 2В = 27,8166°, |
В = 13,9063° = 0,2427 рад. |
|||
Определение передаточных коэффициентов
Определим передаточные коэффициенты при условии, что четырехполюсник работает в согласованном режиме, т.е. в качестве нагрузки используется характеристическое сопротивление:
Z m = Z 2C =53,6139- у'10,1873 Ом .
Способ 1. Использование Л-параметров четырехполюсника. По формулам (5.19)- (5.22) получим:
кии |
= |
-----А |
7----------- |
. |
A |
= 0,6281 —у0,1977 = 0,6585е~717'469’; |
’ |
|||
и\иг |
|
|
|
J |
’ |
|||||
|
|
|
Л 11~2Н ^ |
л \2 |
|
|
|
|||
к,, |
= ----------------- |
А |
7 |
л- А |
= 0,4572 - уО.0834 = 0,4647е'7'°’3379‘; |
|||||
у|у2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
^*21—2Н |
' |
**22 |
|
|
|
|
||
к ,,, |
= |
|
------А |
7----------- |
. |
A |
= 23,6632 - у‘9,1303 = 25,3635e~j2'm |
r ; |
||
71^2 |
|
|
|
J |
’ |
’ |
||||
|
|
|
Л 21^-2Н |
' |
^22 |
|
|
|
|
|
ки . = |
А-------- |
7 --------- |
Л- А |
= 0,012 - |
/0,0014 = 0,012 1<ГА7|03‘. |
|
||||
и'12 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Л\\ZZ-2H^ |
Л \2 |
|
|
|
|
||
Аналогично рассчитываются передаточные функции для —2н = 2Z2C .
Способ 2. Передаточные параметры также можно определить через вторичные (характеристические) параметры:
k |
~ |
1Ш^е-г - |
154>5732е~у,0’7™г |
1 |
U,Ul |
|
\ Z lc e |
\ 38,515 8е_у3’634" |
1,8075е^|3 9063‘ |
= 0,6586е'л1'ш г ; |
|
|
||
ки,12 |
~ |
ге г = |
|
|
|
|
У—1С^2С |
|
|
-\/54,5732е';|0’7588° -38,5158е“у3 б34° 1,8075е7’3,9063°
= 0,0121е“76,7099°;
к,, = |
- |
38,515 8e_A634° |
|
hh |
54,5732e_7l0,758r l,8075e7'3,9063" |
||
|
|||
' h e |
|
||
= 0,4648e-710,3439 |
|
; |
|
ki,u2 ~ 4 —\cZ.2ce |
~ |
||
1
= д/з8,5158e_73,634° • 54,5732e-710,7588’
l,8075e713,9063’
= 25,3645e_72l'l027°.
Определение действующих значений входных и выходных токов и напряжений Iь 1ъ Ui
Определяем действующие значения входных и выходных
токов и напряжений при |
условии, что четырехполюсник нагружен |
|
на характеристическое |
сопротивление |
Z 2H= Z 2C=53,6139- |
—у10,1874 = 54,5732е~-/10,7588 Ом и на вход четырехполюсника
подано напряжение w,(/) = 350sin(100/ + 7i/6).
Перейдем от мгновенного значения входного напряжения к соответствующему комплексному действующему значению:
|
й х= |
= 247,487е730’ В. |
|
Тогда вычислить действующие значения входных и |
|||
выходных токов |
и напряжений |
/ ь /2, С/2 можно |
следующими |
способами. |
|
|
|
Способ |
1. При помощи |
характеристических |
параметров |
можно определить:
- выходное напряжение,
й 2 = й х Щ |
2 4 7 ,4 8 7 ^ |
______ 1_____ |
|
V—ic |
|
V 38,4384-72,4412 1,8075еу|3’906Г |
|
= 162,9786е-'12,5322 |
В, |
|
|
- мгновенное значение выходного напряжения |
|
||
и2 (/) = 162,9786л/2 sin(l 00/ +12,5322°) = 230,4744sin(l 00/ + 0,2187) |
В. |
||
Действующее значение |
U2 = 162,9786 В можно было также |
||
вычислить по формуле |
|
|
|
U2 =U, | £ - е - \
U , c
Входной ток
|
А |
|
247-487g73°° = 6,4256еу33,634‘ А; |
||
|
|
2 1С 38,515 8е-73'634” |
|
||
- мгновенное значение входного тока |
|
||||
ij (/) = 6,425V2 sin(l 00/ + 33,634°) = 9,0872 sin(l 00/ + 0,587) А; |
|||||
- действующее значение /, = 6,425 А. |
|
||||
Выходной ток |
|
|
|||
/ = / ^ |
- |
г |
=М 256вУЗЗ.б34- |
З8,5158е-А634‘ |
|
'— |
2С |
|
|
54,573<Гу10-76’ |
1,8075е>13'9063' |
= 2,9862еу23’290Г |
А |
|
|
||
или по формуле |
|
|
|
||
|
0 |
, |
162,9786е;12,5322 |
= 2,9864еу23,2922 |
А ; |
|
— |
2С |
54,573е_у|0,76" |
|
|
- мгновенное значение выходного тока
/2(0 = 2,9862-^2 sin(l 00/ + 23,2907°) = 4,2231 sin(l 00/ + 0,4063) А; - действующее значение / 2 = 2,9862 А.
Способ 2. При помощи передаточных коэффициентов:
U2 =UtkUiUt =247,487ер0° -0,65S5e-jn ’m ' = 162,97е7'2,52Г В.
/ 2 = Щ и, = 247,487е;30° • 0,0121е^6'7099“ = 2,9946<?у23,2901° А.
- |
2 - |
2,994е;23'2901" |
/, = |
*/,/, |
г = 6,4415е733,634° А. |
|
0,4648е-710,3439 |
Исследование каскадного соединения двух заданных одинаковых четырехполюсников
^-параметры определим по формуле (5.25) с учетом того, что каскадно соединены два одинаковых четырехполюсника:
^ |
_ ^11+^12^21 |
А\Л2+Л2^22_ |
|
A21AU +А22А2] |
A2 IAI2 + А22 |
|
1,368е731,0434" 72,1224е724,1шг = |
|
|
0,0343е738,9725" |
2,2475<?715,5945° |
_ |
1,1635 + j0 ,7003 |
65,5402 + у30,1018 |
_ 0,0267+ у0,0216 |
2,1648 + 70,6042 |
|
Проверим правильность расчетов:
det(^) = АЭАЭ- А ЭАЭ=0,9959 + у'0,0004 * 1.
V 7 |
И |
22 |
12 21 |
J |
’ |
Определение выходных тока, напряжения, активной и полной мощности
Определяем выходные ток и напряжение при условии, что в качестве нагрузки используются сопротивления Z 2C и Z 2H = 0,5Z2( .
а входной ток /, = Ю+ уЮ = 10л/2е745 = 14,142еу45 А. Для решения поставленной задачи можно воспользоваться передаточными коэффициентами, которые необходимо определить заново, поскольку изменилась нагрузка, или по следующим формулам:
0 . |
= А э й 2 + А э 12 , |
|
1 |
И 1 |
12 |
I |
=Аэ0 2 + Аэ1 . |
|||
1 |
21 |
1 |
22 |
1 |
Поскольку U2 ~ ^2—2Н ’ |
|
|
|
|
А - АМЭ т +A\h = |
|
А\ ), + |
||
тогда |
|
|
|
|
А = |
А |
э * |
|
|
|
|
|
||
А% н +Л |
22 |
|
|
|
По условию четырехполюсник находится в согласованном режиме, т.е. в качестве нагрузки используется характеристическое сопротивление, которое необходимо определить по формуле (9.27):
г э = 1(2,1648 + у0,6042) ■(65,5402 + у30,1018)
~2С~У (0,0267 + у0,0216)-(1,1635 + у0,7003)
=58,9548е"-/14’87б3° = 56,9788-у ! 5,1357 Ом.
Аналогично можно определить:
г э _ )(1,1635+,/0,7003)-(65,5402+у30,1018) _1С (0,0267+у0,0216)*(2,1648+у0,6042)
= 35,6214е7°'572б° =35,6196 + У0,3560м.
Тогда выходной ток
■ ___________________ 14,142gy45*____________________ _
2" (0,0267 + y‘0,0216) • (56,9788 - j\ 5,1357) + 2,1678 + y'0,6042 "
=2,999 + y'1,4226 = 3,3193ej25,31ir A.
Мгновенное значение выходного тока при согласованной нагрузке /2(0 = 3,3193V2sin(co/ + 25,3777°) А.
Выходное напряжение
U2 = i2Z lс =(2,999 + у'1,4226)-(56,9788-у'15,1357) |
|
||||
= 192,412 + у‘35,6661 =195,6897е-,|°'5013 |
В. |
|
|
||
Мгновенное |
значение |
выходного |
напряжения |
при |
|
согласованной нагрузке |
|
|
|
|
|
и2 (/) = 195,6897V2 sin(co/ +10,5013°) В. |
|
||||
Аналогичным образом определяются выходные ток и |
|||||
напряжение при нагрузке Z 2H = 0,5Z2C. |
Комплексное значение |
||||
выходного тока |
|
|
|
|
|
j =_______________________ Ю + ,/10________________________ =
2(0,0267 + 70,0216) 0,5 -(56,9788-у 1 5,1357) + 2,1678 + у0,6042
=3,8786 + 71,9579 = 4,3448е726-7844” А,
мгновенное значение /2(/) = 4,3448V2sin(co/ + 26,7844°) А.
Комплексное значение выходного напряжения
и2 = / 2-0,5Z2C =(3,8786 + у1,9579) - 0,5 - (56,9788 - yi 5,1357) =
=125,316 + у'26,4267 = 128,072 \eJ'1-9081° В.
Мгновенное значение и2(/) = 128,072h/2sin(co/ + 11,908Г) В.
Можно выходные ток и напряжение при согласованной нагрузке рассчитать с помощью передаточных коэффициентов, что и будет продемонстрировано ниже. Для чего определим меру передачи и коэффициент передачи по току,
е э —у]Ап • А22 + -\jА\2 •А21 —
7(1,1635 + у-0,7003)-(2,1648 + у0,6042) + + 7(65,5402 + у'30,1018)-(0,0267 + у0,0216) = = 2,9416 + Д5214 = 3,3111е]21'т У ;
kf, |
^ |
_ГэI=35,62 lej0’572~ |
1 |
0,2347е”719’6237". |
|
z 2c. 6 |
~ V58,9548еГ714’8763 |
3,31 1 7е727'3481 |
|
Тогда комплексное значение выходного тока
/ 2 = 0,2347е"7,9-62зг -1072в>45' = З,3192е725'3763' =2,999 + у1,4225,
мгновенное значение /2 (/) = 3,3192^2 sin(co/ + 25,3763°). |
|
||||
Для |
определения |
выходного |
напряжения |
можно |
|
воспользоваться передаточным сопротивлением: |
|
||||
,Э |
э |
-г, |
л/з5,621е^0’5726' •58,9548^714-8763' |
|
|
~ ^ L \c L ic e |
~ |
3 З17е727,348|° |
|
||
= 13,8155е~734,5°. |
|
|
|
|
|
Тогда комплексное значение выходного напряжения |
|
||||
2 = |
^ / 1 = 13,8155е-734’5 •юТг’е7'45' |
= 195,3807е7|°’5' = |
|||
= 192,412 + у'35,661 В, |
|
|
|
||
мгновенное значение м2(Г) = 195,380772 sin(со/ + 10,5°).
Определим полную, активную и реактивную мощности при согласованной нагрузке для каскадного соединения двух одинаковых четырехполюсников.
Полная комплексная мощность
*
S2 =U2 I2 =(192,102 + /35,6053)(2,999 - у1,4225) = |
|
|
|||||
= 626,7624 - j\ 66,4848 = 648,497е";|4-8758" ВА. |
|
|
|
||||
Таким |
образом, |
активная |
мощность |
Р2 = 626,7624Вт, |
|||
реактивная |
мощность |
Q2 = 166,4848 вар, |
полная |
мощность |
|||
S2 = 648,497 ВА. |
|
|
|
|
|
|
|
Зная |
разность |
начальных |
фаз |
напряжения |
и |
тока |
|
Ф2 = ф„2 - |
= 10,5° - 25,3763° = -14,8763°, |
можно |
определить |
||||
мощности следующим образом: |
|
|
|
|
|
||
Р2 ~U 2I2 cosср2 = 195,3807*3,3192• cos(—14,8763°) = 626,7711 Вт, |
|
||||||
Q2 = t/2/ 2sin(p2 =195,3807-3,3192• sin(—14,8763°) = -166,4933 вар, |
|||||||
S2 =<JP 2 + Q2 |
= V(626,7711)2+(-166,4933)2 = 648,5075 BA, |
|
|||||
S2 =U2I2 =3,3192-195,3807 = 648,5076 BA. |
|
|
|
|
|||
Согласованная нагрузка Z 2C = 56,9788-y'15,1357 Ом, |
тогда |
||||||
R2C = Re(Z2c) = 56,9788; |
X 2C - Im(Z2c) = -15,1357 , |
а |
мощности |
||||
можно определить третьим способом:
р 2 = J2 R2с =3’3 1922 • 56,9788 = 627,7405 Вт,
Q2 ^ Il X 2c = 3,31922-(-15,1357) = -166,7514 вар.
Мгновенную мощность определим по следующей формуле:
p 2 (t) = и2 (t)i2 (0 -195,3 807-\/2 sin(co/ +10,5°) х
/г • , |
195,3807-3,3192-2 |
х 3,3192у2 sin(со/+ 25,3763 |
) = -------------------------х |
х [cos(l 0,5° - 25,3763°) - cos(2co/ +10,5° + 25,3763°)] =
= 648,5076cos(-14,8763°) - 648,5076cos(2otf + 35,8763°), где 648,5076cos(-l4,8763°) = 626,7712 = P2, S2 =648,5076.
Аналогично рассчитываются мощности на входе каскадного соединения.
|
Таким же образом рассчитываются мощности при |
7 Э - 0 |
57 Э |
±L2H ~ |
2С * |
|
S2 =U2 12 =(125,316 + у26,4267)(3,8786 - у1,9579) = |
|
= 537,7915-у142,8576 = 556,4423<Г;|4'8764’ ВА. |
Используя формулы определения мощности, изложенные выше, можно определить активную, реактивную, полную и мгновенную мощности несколькими способами, что и предлагается проделать студентам самостоятельно. По результатам расчета следует проверить выполнение баланса мощности.