О кончание табл. 8.1

этом данное воздействие может быть представлено в виде суммы некоторых тестовых обобщенных функций, каждая из которых начинает действие в момент th а амплитуда ее зависит от приращения входного воздействия Д/. В этой связи для линейных систем, подчиняющихся принципу суперпозиции, справедливо следующее утверждение: поскольку возможна интерпретация входного сигнала в виде суммы (наложения) тестовых сигналов, выходной сигнал, в свою очередь, также интерпретируется в виде суммы (наложения) реакций на данные тестовые сигналы.

Переходные и импульсные характеристики

К обобщенным (тестовым) функциям относят единичное

ступенчатое возмущение 1(/) (рис. 8.4, а) и Ъ-функцию (всплеск)

Дирака 5(О (рис. 8.4, б). Единичная функция аналитически

записывается как

Единичное ступенчатое воздействие и 8-функция связаны между собой соотношением

Реакцией системы на единичное ступенчатое возмущение является переходная характеристика h(t), а реакцией на 8-функцию - импульсная характеристика Щ) (рис. 8.5).

Введем понятие обобщенных переходной и импульсной характеристик.

Функция h{t) определена на всем диапазоне изменения абсциссы t, однако переходная характеристика может появиться на выходе системы только после подачи на вход единичного ступенчатого возмущения, в то время как весь предыдущий промежуток времени она должна равняться нулю. Для удобства аналитических преобразований над исследуемыми функциями времени обобщенной характеристикой будем называть функцию

Л(/)=Л(г)1(г). (8.6)

Тогда обобщенная импульсная характеристика определяется

как

Во втором слагаемом запишем й(0), так как 5(/) обладает фильтрующим действием (она не равна нулю только в момент t = 0).

Определение переходных и импульсных характеристик

основано на расчете переходных процессов, возникающих в цепи при подключении источников с единичными входными воздействиями. Следует отметить, что переходная и импульсная характеристики для одной и той же системы при различных входных и выходных сигналах могут быть различны, а следовательно, иметь различную размерность. Поэтому удобно сопровождать запись этих характеристик двойным индексом (первый указывает на выбранное входное воздействие, второй - на реакцию).

Если в качестве входного сигнала выбран ток, схемно подача на вход такой системы единичного ступенчатого возмущения реализуется в виде подключения источника тока с J - 1 А. Если входной сигнал - напряжение, расчет переходных и импульсных характеристик ведется при подключении источника ЭДС с Е = 1 В (рис. 8.6).

1.Классический метод

1)Запишем правило коммутации:

мс (0-) = «с(0+) = 0-

2) Составим характеристическое уравнение цепи методом входного сопротивления:

Z {P ) = - [- + R = 0-

рС

Корень данного уравнения:

Р= - RC

3)Искомое полное решение:

« С ( ' ) = " С п р + “ Сев = « С п р + А е R C •

4) Принужденная составляющая:

wCnp “ Е *

5) Постоянная интегрирования определяется с помощью правила коммутации:

мс(о+)=£+ Л= 0, А = - Е .

соответственно определяются как:

методом необходимо определить передаточную функцию системы.

Передаточной функцией системы называют отношение операторного изображения выходного сигнала к операторному изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях:

Передаточная функция зависит только от параметров цепи и ее конфигурации и не зависит от вида входных воздействий.

Получим связь передаточной функции и переходной характеристики. По определению передаточной функции и переходной характеристики

Таким образом, через обратное преобразование Лапласа находим

W{p)

( 8. 10)

Для нахождения оригинала h(t) возможно использование теоремы разложения. Для рассматриваемого примера

W(p) =Ч М

Е(Р) '

Выразим Udp) через Е(р) с помощью операторной схемы замещения (рис. 8.9):

Переходную характеристику определим с помощью теоремы разложения:

Для получения необходимых формул представим входное воздействие, в общем виде описываемое любой кусочно-гладкой функцией J{t), совокупностью элементарных дельтаобразных составляющих (рис. 8.11), возникающих во все моменты времени от нуля до момента наблюдения /. Составляющая j{t) является импульсной функцией, отличной от

нуля в точке t = т, с площадью импульса /(т)Д т:

Для получения «полного» входного и выходного сигнала применим принцип наложения:

При устремлении At -> dt осуществим переход от суммы к интегралу. В результате получим полную реакцию системы к моменту наблюдения, учитывающую все импульсные компоненты воздействия, возложенные на интервал [0...0* Применим к полученному выражению теорему о свертке:

Раскрывая значение k{т) с помощью (8.7), получаем:

1(т) можно опустить, так как в пределах интервала интегрирования

(т > 0) 1(т)= 1; а также в силу фильтрующего действия 8-функции второй интеграл упрощается. Окончательно получим:

Формулы (8.16), (8.17) соответствуют так называемым третьей и четвертой формам записи интеграла Дюамеля. Они позволяют рассчитать реакцию линейной цепи на произвольное воздействие j{t\ когда задана импульсная характеристика. Необходимо иметь в виду, что входящая в первое слагаемое функция

выражает значение воздействия в момент наблюдения t. Выполним в третьей форме (8.16) интегрирование по частям:

= m m +m m - m m + {A * - m ^ x .

о

В результате необходимых преобразований получим первую (8.19) и с применением теоремы о свертке вторую (8.20) формы записи интеграла Дюамеля:

Эти формулы позволяют рассчитывать реакцию системы на произвольное входное воздействие fit), когда задана переходная характеристика.

Если рассматривается кусочно-гладкое воздействие / ( т), которое на интервале наблюдения 0 .../претерпевает разрывы, то производная /'( /) во всех точках разрыва t, будет содержать

импульсную составляющую Д/’(/,)8 (/-/,). Из последнего интеграла

извлекутся слагаемые вида Af(tt)h(t-t'), к которым относится и

первое слагаемое при t = 0. Интеграл при этом разобьется на сумму интегралов с соответствующими пределами:

Afitj) - приращение входного сигнала в момент разрыва

q - число разрывов или нарушений гладкости; t - момент наблюдения.

Последовательность расчета переходных процессов при помощи интеграла Дюамеля

Порядок расчета переходных процессов при помощи интеграла Дюамеля может быть следующим:

1. Определить переходную характеристику цепи с помощью классического или операторного метода;