7.4. Пример расчета

Дана цепь (рис. 7.3) с параметрами: Е = 30 В, J = 2 А, R\ = 20 Ом, Т?2=10 Ом, С = 100 мкФ, L = 50 мГн.

Определить закон изменения тока /](/) после коммутации классическим и операторным методом.

Классический метод 1. Правша коммутации:

/,(0 ) = //.(0+) = 0 А, uc(0') = uc (0+) =JR2 =20 В.

2. Составление характеристического уравнения цепи.

Составляем систему дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по законам Кирхгофа:

i4 R2 -Li) - и с =0,

i4 R2 = и ,.

Методом исключения получаем из данной системы дифференциальное неоднородное уравнение

Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет

вид

Подставим значения параметров цепи:

р2 + 700р + 300 000 = 0.

Корни характеристического уравнения

р х=- 350 +у421,308, р2 = - 350 —/421,308

являются комплексными сопряженными, следовательно, переходный процесс в цепи имеет колебательный характер.

3. Определение принужденной составляющей.

Рассматриваемая цепь в принужденном режиме имеет вид (рис. 7.4):

Рис. 7.4

4. Определение свободной составляющей. Для цепей, характеристические числа которых имеют комплексные сопряженные значения, свободная составляющая определяется в виде

которые определяются через корни характеристического уравнения

P i a =-8±у'сосв.

Таким образом, в выражении /’iCB необходимо найти постоянные интегрирования А\ и А2. Вычисление их ведется с

помощью системы уравнений, составленных для момента времени t = 0+:

А ( 0 + ) = /,пР + 4 .

}[(0+) = -8Л, + ®СВЛ •

АЛ. Определение значений /,(0+) и /|(0+) с использованием системы уравнений Кирхгофа. В данном случае составляется система уравнений Кирхгофа для момента времени / = 0+, и методом исключения выражается значение тока /,(0+) через известные

значения 0+) и /ДО*):

Дифференцируя выражение для i\(t\ получим

Произведя необходимые преобразования и подстановки в системе уравнений Кирхгофа, получим

Подставив соответствующие значения ис и iL в момент / = О", рассчитаем

/•'(0+) = -250А/с.

4.2.Определение /’i(0+) и zf(0+) с использованием резистивных

схем замещения в момент t = 0 .

Схема замещения в / = 0+ для величин токов и напряжений изображена на рис. 7.5,

Ес =ис(0+), J = iL{0+).

По II закону Кирхгофа получим

ных токов и напряжений необходимо определить начальные значения скорости изменения напряжения на емкости и тока в индуктивности:

Таким образом, следует определить /с{0+) и м/.(0+) с помощью уже полученной схемы замещения (см. рис. 7.5):

б) /с(0+) = /|(0+) = 0,5 А, следовательно, и'с (0 +) = 5000 В/с.

При построении схемы замещения в 0+ для производных воспользуемся правилами, изложенными в п. 7.3.

В нашем случае, когда в цепи действуют источники постоянных воздействий, источники ЭДС заменяются короткозамкнутыми участками (так как £ ' = 0), а ветви с источниками тока размыкаются (так как J' = 0).

Таким образом, искомый ток изменяется по закону /,(/) = 1/3 + 0,485е350' sin(421,308/ + 2,788).

График изменения /§(/) представлен на рис. 7.7.

0, 1-

Рис. 7.7

Операторный метод

Решение. С учетом независимых начальных условий (индуктивный ток /i(0") = О А, емкостное напряжение м({0") = 20 В) изобразим операторную схему замещения (рис. 7.8).

Рис. 7.8 Решение получается проще при использовании метода

контурных токов. Контурные токи выберем так, как показано на рис. 7.8.

Ток /33(/>) = —, тогда система уравнений имеет вид:

Р

Определим оригинал искомого тока с помощью теоремы разложения. Многочлен второй степени знаменателя приравняем

которые совпадают с полученными при решении классическим методом.

Оригинал тока определяем по формуле (7.9). Вычислим производную F3(p) и значение производной, а также значение многочлена Fx(p) при корне рх=-350 + у421,31, подставим в (7.9):

F;(p) =0,2/7 + 70, F3'(A ) = 0,2(-350 + у421,31)+ 70 = у84,262;

Fx ) = М О4 +10(—350 + у'421,31) + 0,05(-350 + у421,31)2 = = 3749,894 -yi 0532,75;

= j + 2 • 0,242e“350' Re[e769’8V 421 •3I' ]=

=1 + 0,484e“350' cos(421,31/ + 69,88°) =

=j + 0,484e"350' sin(421,31/ +159,88°) =

=j + 0,484e~350' sin(421,311+ 2,79).

Данное решение совпадает с решением, полученным классическим методом.

Метод пространства состояний

Матричная схема уравнений в переменных состояния для произвольной цепи имеет вид (7.10), (7.11). В этой системе уравнений переменными состояния для электрической цепи (см. рис. 7.3) являются индуктивный ток //, и емкостное напряжение иг. входными функциями - напряжение источника ЭДС Е и ток источника тока J, выходная величина - искомый ток i\, т.е.

В соответствии с вышеизложенным матричная система уравнений принимает следующий вид:

/[ = aui, + апис +bnE + t\2J,

\ и'с = a2xi, + а22ис + b2lE + b22J,

/, = с,// + с2ис +dxE + d2J.

2. Получение коэффициентов матриц А, В, С, D с помощью канонической процедуры. В процессе решения заполняется табл. 7.3 по изложенным выше правилам.

Искомые коэффициенты определяются в результате рассмотрения вспомогательных резистивных цепей (рис. 7.9 - 7.12).

а) i\ =0, следовательно, d2= 0; б) /с = 0, следовательно,

и'с = 0 = Ь22\

в) ui = JR2= /?2, следовательно, = R2/L и Ь\2 = R2/L.

Рис. 7.12