Расчетно-графическая работа № 6

РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

6.1.Задание

1.На отдельном листе изобразить электрическую цепь, подлежащую расчету, привести численные значения параметров и задающих источников цепи.

2.Рассчитать закон изменения указанного преподавателем тока классическим методом на двух интервалах времени: t\ < t < t2, t > t2, определяемых последовательным срабатыванием ключей К\ и К2 соответственно в моменты времени t\ и t 2. Предполагается, что до момента t\ срабатывания первого ключа цепь находилась в

установившемся режиме. Момент t 2 выбираем из условия: t 2 = 2ii, где х\ - постоянная времени цепи, образованной в результате первой коммутации.

3. Построить график зависимости тока /(/), заданного преподавателем, на всех интервалах времени.

6.2. Выбор варианта и расчет параметров элементов цепи

1. Расчетная цепь выбирается с помощью табл. 6.1 и рис. 6.1 в соответствии с номером варианта, задаваемым преподавателем. В таблице: Т С - тип срабатывания, К\ - первый ключ, К2 - второй ключ.

2. Параметры элементов цепи выбираются в соответствии со следующими правилами:

а) для четных номеров вариантов L = 60 мГн, С = 200 мкФ; б) для нечетных номеров вариантов L = 20 мГн, С = 100 мкФ: в) величины сопротивлений R для всех вариантов равны:

где AR - сумма цифр номера варианта.

6.3. Основные теоретические сведения

Расчет переходных процессов в цепях I порядка классическим методом основан на решении дифференциального уравнения цепи.

Дифференциальное уравнение цепи может быть получено методом исключения из системы уравнений Кирхгофа для мгновенных значений, описывающей послекоммутационную цепь.

Связь между током и напряжением на реактивных элементах цепи задается дифференциальными зависимостями:

- на емкости

В полученном неоднородном дифференциальном уравнении коэффициенты левой части зависят только от параметров пассивных элементов цепи и связей между ними, а коэффициенты правой части - от задающих воздействий (параметров) источников.

Решение дифференциального уравнения цепи ищут в виде суммы принужденной (частное решение неоднородного дифференциального уравнения) и свободной составляющей (общее решение неоднородного дифференциального уравнения):

дифференциального уравнения определяется как сумма экспонент с различными коэффициентами (постоянными интегрирования), для цепей I порядка свободная составляющая /св = Aept, где р - корень характеристического уравнения цепи.

Характеристическое уравнение цепи может быть получено путем алгебраизации (с применением преобразований Лапласа)

однородного дифференциального уравнения, полученного из неоднородного дифференциального уравнения цепи путем приравнивания его правой части к нулю1.

Характеристическое уравнение также может быть получено путем применения метода входного сопротивления. В данном случае из цепи исключаются источники традиционным в теоретической электротехнике способом (ветви с источниками тока разрываются, источники напряжения замыкаются накоротко) и осуществляется замена усо —»р. При этом сопротивление индуктивности условно приравнивается pL, а емкости \/(рС). Далее в произвольной ветви цепь размыкается, и относительно точек разрыва записывается входное сопротивление Z(p). Выражение Z(p) = О является искомым характеристическим уравнением.

Корень характеристического уравнения цепи I порядка моэюет быть найден с помощью постоянной времени цепи т, которая численно равна промежутку времени, в течение которого свободная составляющая изменяется в е раз.

где R3 - входное сопротивление цепи, из которой удалены все источники, относительно зажимов реактивного элемента.

Связь между постоянной времени т и корнем характе­ ристического уравнения р задается зависимостью р = —1/х.

Принуждённая составляющая совпадает со значением искомой величины тока (напряжения) в новом установившемся

1Что эквивалентно приравниванию нулю задающих воздействий (параметров) источников, т.е. исключению источников из цепи.

(стационарном) режиме, наблюдающемся в послекоммутационной цепи после окончания переходного процесса. Таким образом, расчет принужденной составляющей производится любыми известными методами расчета стационарных режимов в линейных электрических цепях постоянного или переменного тока в зависимости от вида источников. При расчете цепей на постоянном токе следует помнить, что сопротивление идеальной емкости постоянному току бесконечно, а сопротивление идеальной индуктивности постоянному току равно нулю.

Расчет постоянной интегрирования А ведется с учетом начальных (граничных) условий.

Согласно правилам коммутации:

(6.6)

Значения //,(0”)или ис{(Г) в докоммутационной цепи (считается, что до коммутации в цепи был установившийся режим) и определяют независимые начальные условия.

Прочие величины не подчиняются правилам коммутации, поскольку в момент коммутации / = О возможно их скачкообразное изменение. Поэтому необходимо также остановиться на правилах определения значений таких величин в момент t = 0+, являющихся

зависимыми начальными значениями.

Существуют два способа определения значений величин, не подчиняющихся правилам коммутации, в момент t = 0+.

Первый способ связан с составлением системы уравнений Кирхгофа для послекоммутационной цепи. В полученную систему подставляется момент t = 0+, и искомая величина выражается через известные независимые начальные условия: емкостное напряжение ис{0+), если расчетная цепь содержит емкость, или через индуктивный ток //Х0+), если цепь содержит индуктивность. В случае разветвленной цепи путь довольно трудоемкий.

Второй способ основан на построении схемы замещения2 в 0+ в

(/7X0") = 0) заменяются на обрыв цепи; с ненулевыми начальными

источники напряжения с задающей ЭДС Ес = = ис{0").

В результате получается простая резистивная цепь, в каждой ветви которой течет ток, значение которого совпадает с соответствующим током /(0+), а между любыми точками приложено напряжение и(0+). Расчет данной цепи любым известным методом позволит определить значение искомой величины в момент 0+.

Полученное значение искомой величины в момент t = 0" позволяет определить неизвестную постоянную интегрирования. Для этого записывается полное решение

В правой части уравнения (6.8) подставляется значение /(0+), полученное при помощи системы уравнений Кирхгофа в / = 0+ или

2 Схемная реализация системы уравнений Кирхгофа, составленной для момента t = 0+

В завершение работы следует построить график изменения искомой величины во времени. Единица масштаба по временной оси выбирается в соответствии с величиной постоянной времени переходного процесса:

При этом принимается во внимание то обстоятельство, что время переходного процесса tnn« (З...5)т.

Таким образом, алгоритм расчета переходных процессов в цепях первого порядка следующий:

1. Расчет докоммутационного режима (t = 0'): определение в RC-цепи напряжения ис{(Г), а в /?£-цепи тока ii(0‘), значения которых находятся любыми известными методами расчета цепей постоянного

*( 0 = * Пр + *св = * п р + Л е р'-

3.Определение принужденной составляющей jcnp=x(oo) по

виду цепи в новом стационарном (установившемся) режиме любыми известными методами расчета цепей постоянного или переменного тока.

4. Определение корня характеристического уравнения любым из перечисленных методов:

-алгебраизация дифференциального уравнения цепи;

-входного сопротивления (проводимости);

-главного определителя;

-с помощью постоянной времени.

5. Определение постоянной интегрирования А = /(0+) - /пр

при помощи

-системы уравнений Кирхгофа в 0+;

-схемы замещения в 0+.

6.Запись окончательного решения.