Вероятностные методы расчета конструкций

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

А.А. Лежнева, И.В. Домбровский

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебно-методического пособия

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2016

1

3

4

ВВЕДЕНИЕ

Расчет любой конструкции основан на выборе определенной модели или расчетной схемы. При этом выделяют существенные факторы и отбрасывают несущественные, второстепенные. При оценке напряженного состояния конструкции возможны два подхода к анализу: детерминированный и вероятностный. При детерминированном подходе все факторы, влияющие на поведение модели, считают вполне определенными.

Использование детерминированных математических моделей оправдывает себя при решении многих задач механики деформируемого твердого тела. Однако эти модели не способны описать все многообразие реальных задач. Дело в том, что во всякой реальной системе существуют случайные флуктуации различного характера (внешних силовых и кинематических параметров, внутренних параметров и др.). Случайный разброс начальных положений и скоростей может возникать из-за неточности измерений, ошибок изготовления и других причин. Эти флуктуации могут быть в том или ином смысле малыми по сравнению с неслучайными факторами, но оказывать определенное отрицательное воздействие на работу системы. Поэтому задачи вероятностного исследования систем относятся к числу важнейших как в теоретическом, так и в практическом плане.

Необходимость решения подобного класса задач актуальна при изучении различных явлений: анализе движения транспортных средств по неровной дороге, оценке перемещений и напряжений высотных сооружений при ветровых и сейсмических воздействиях, расчете летательных аппаратов под действием атмосферной турбулентности и т.д. Поведение строительных и машиностроительных конструкций в эксплуатации также описывается факторами случайной природы. Статистической изменчивостью обладают свойства конструкционных материалов (прокат, бетон, стальная арматура). Действующие нагрузки представляют собой

5

случайные процессы, развертывающиеся во времени. Таким образом, возникают новые задачи, аналогичные задачам строительной механики, теории упругости, теории пластичности и других разделов механики твердого тела. Это задачи о нахождении вероятностных характеристик поведения конструкций по заданным вероятностным характеристикам случайных внешних сил и случайных параметров конструкции. Именно решением этих вопросов и занимается статистическая механика.

В развитии классической техники был период, когда случайность рассматривалась как досадная помеха, от которой, в принципе, можно избавиться, если более аккуратно поставить опыт. Считалось, что разбросы начальных данных и разбросы сил принципиального значения не имеют и их можно сделать сколь угодно малыми, воспользовавшись более точными средствами измерения. Если случайность и допускалась, то только в микромире, а в макромире случайность рассматривалась как следствие нашего не очень глубокого понимания законов природы.

Многие физики и механики считали, что учет случайности является временным отступлением от классической теории, что по мере накопления знаний роль случая будет сведена к нулю. Познавая в будущем более глубокий уровень физических процессов, можно будет объяснить явления, ныне для нас случайные, как проявление полностью детерминированных процессов, которые в настоящее время скрыты от нашего взора.

Сторонники противоположной точки зрения на случайность считают, что только вероятностные методы анализа процессов могут дать правильный ответ. По мнению сторонников вероятностной трактовки законов природы, классическая механика является частным случаем статистической механики, так как абсолютно точное знание начальных условий и сил принципиально невозможно не только в микромире, но и в макромире. По мнению этих ученых, детерминизм есть математическая условность, позволяющая упрощать исследования многих сложных процессов, в которых можно ограничиться изучением одних лишь средних значений.

6

Во многих прикладных задачах пренебрежение случайными возмущениями, особенно когда они действительно являются малыми, вполне допустимо, и решение таких задач не требует привлечения статистической механики. Если же случайные возмущения соизмеримы (по вероятностным характеристикам)

сизвестными силами и, особенно, если на систему действуют только случайные возмущения, то классические методы расчета становятся неприемлемыми и для получения численных результатов надо использовать вероятностные методы.

Например, защита от вибраций и ударов была и остается одной из наиболее плодотворных приложений механики. Вместе

сразвитием техники эта область выдвигает перед наукой все новые проблемы. Раньше круг ее проблем устойчиво был ограничен задачей определения собственных частот упругих конструкций, оценкой расположения «критических» зон, вычислением реакций линейных систем на периодические или типовые импульсные возмущения, т.е. задачами, которые ставились перед механикой ведущей отраслью техники того времени – энергетическим машиностроением. Однако с развитием автомобилестроения, авиации, ракетно-космической техники периодические воздействия перестали быть основными. Воздействие вибраций ракетных двигателей, акустических возмущений, воздействие профиля дорог и других факторов заставили ученых

иинженеров искать новую математическую модель для описания внешних возмущений, действующих на конструкции и оборудование. Такая модель была построена в рамках теории случайных процессов.

Вкачестве дополнительных примеров можно указать задачу о влиянии случайного микрорельефа и случайных включений на концентрацию напряжений, задачу о деформировании конструкций, лежащих на упругом основании со случайными свойствами, и др. К тому же классу принадлежат в сущности и проблемы микронеоднородных сред: поликристаллов, стохастически армированных материалов и т.д. Назначение этой теории – предсказание поведения микронеоднородных сред на основании

7

известных свойств композитов из известных законов их вероятностного распределения. Эта теория является составной частью теории упругости и пластичности.

Внедрение вероятностных методов исследования, как наиболее прогрессивных и современных, в практику инженерных расчетов является очень важным делом, так как эти методы позволяют правильно определять действующие нагрузки и оценить прочность и долговечность конструкций.

При изучении механических и других подобных систем при случайных внешних воздействиях и (или) случайном изменении свойств системы на первый план выходят такие вопросы, как формулировка основных задач и методы их решения.

Рассмотрим [6] некоторую систему, находящуюся во взаимодействии с окружающей средой. Для простоты вначале предположим, что как свойства системы, так и ее взаимодействие со средой являются чисто детерминированными. Пусть внешнее воздействие характеризуется элементами q из пространства Q, а поведение системы – элементами u из пространства U. Математическая природа элементов обоих пространств, вообще говоря, произвольна. Это могут быть числа, векторы, тензоры, функции одной или нескольких переменных и т.д. Структура и свойства системы характеризуются оператором Н, посредством которого каждой реализации внешнего воздействия q Q

приводится в соответствие реализация поведения u U , т.е.

Примером такой системы может быть, например, любая упругая система, нагруженная внешними силами q. Параметрами поведения системы могут быть перемещения, напряжения, деформации. Оператор Н задается уравнениями сопротивления материалов, теории упругости, пластичности или теории колебаний. При этом известны начальные и граничные условия.

В статистической механике внешние воздействия часто называют входными параметрами, а параметры поведения систе-

8

мы – выходными параметрами. Указанную связь можно проиллюстрировать простейшей блок-схемой (рис. В.1).

Рис. В.1

Выбор пространств Q и U и, следовательно, оператора Н может быть разным, ибо понятия системы и окружающей среды являются в значительной степени условными в силу неоднозначности выбора схематизации системы. Кроме того, одни и те же внешние факторы могут быть отнесены как к самой системе, так и к окружающей среде. Естественно, что и выходные параметры также можно выбирать различными способами. Все эти факторы будут изменять форму оператора Н.

Если пространство U является исчерпывающим, т.е. при помощи его элементов можно описать любое возможное поведение системы, то в этом случае существует обратный оператор L, такой, что

Именно в такой форме обычно формулируются задачи определения напряженно-деформированного состояния элементов конструкций.

Введенные выше понятия о пространствах входных и выходных параметров и об операторном задании системы полностью сохраняют смысл и при рассмотрении вероятностных задач. Однако изменяется способ описания указанных параметров, а в случае стохастических систем – и способ описания системы.

Пусть входной параметр q является случайным, т.е. представляет собой случайное число, случайную функцию и т.д. Тогда каждому элементу q Q приводится в соответствие некото-

рая вероятностная мера. Например, если входной параметр есть

9

случайное число, то оно характеризуется функцией распределения (плотностью распределения). Если входной параметр – случайный вектор, то он задается многомерным совместным распределением для компонент. Случайная функция времени может быть задана, например, через полную систему совместных функций распределения ее значений в произвольно выбираемые моменты времени. Вместо полного описания нередко используется частичное описание. При этом широко используются интегралы по вероятностной мере: математические ожидания, дисперсии, моментные и корреляционные функции от случайных процессов.

Соотношения (В.1) и (В.2) устанавливают связь между реализациями входных и выходных параметров детерминированной системы. Если входные и (или) выходные параметры системы являются случайными, то возникает вопрос о связи между соответствующими вероятностными мерами или некоторыми характеристиками параметров. Установление этой связи при заданной связи между реализациями и является предметом статистической механики. В зависимости от того, какие параметры являются заданными, а какие – искомыми, различают четыре типа задач [6].

Первая, основная, задача состоит в нахождении характеристик выходных параметров при известных характеристиках входных параметров и параметров системы. В теории упругости этой задаче соответствует прямая задача определения напря- женно-деформированного состояния при заданных условиях нагружения и известных свойствах самой системы.

Вторая задача является обратной по отношению к первой. Она состоит в нахождении характеристик входных параметров по характеристикам выходных параметров. Свойства системы при этом также предполагаются известными. Решение подобных задач требуется, например, при определении характеристик внешних сил по известным статистическим данным, относящимся к перемещениям, напряжениям и другим параметрам поведения конструкции.

10