Вероятностные методы расчета конструкций

ной работы данной системы и вероятность ее безотказной работы

втечение 100 ч. Предполагается, что оба насоса начинают работать

вмомент времени t 0.

Решение. С помощью формулы (5.9) находим вероятность безотказной работы заданной системы в течение 100 ч:

Pc (t) e ( 1 2 )t →Pc (100) e 0,0003 100 0,97045.

Используя формулу (5.10), получим среднюю наработку до отказа:

5.4.2.Параллельное соединение

Вслучае параллельного соединения (рис. 5.8) вероятность от-

каза каждого i-го элемента равна (1–Рi), а вероятность отказа всей системыравнапроизведениюотказоввсехнезависимыхэлементов.

Такая система выходит из строя только в случае отказа всех ее элементов при условии, что все элементы системы функционируют и находятся под нагрузкой, а отказы элементов статистически независимы. Вероятность без-

где n – число элементов; Pi – безотказность i-го элемента.

Если вероятность безотказной работы каждого из элементов постоянна, то будем опять иметь простейшую задачу надежности. Например, если мы имеем 5 одинаковых элементов

181

и надежность каждого известна: Рi = 0,6, то надежность всей

системы Рс = 1 – (1 – Р1)(1 – Р2)(1 – Р3)(1 – Р4)(1 – Р5) = = 1 – 0,01024 = 0,99. Как видно на примере, надежность систе-

мы, состоящей из параллельно соединенных элементов, больше надежности любого из ее элементов. Это означает, что можно существенно повысить надежность системы, если вместо одного малонадежного элемента включить в общую систему блок из нескольких параллельно соединенных элементов.

P3 0,3672 .

Если включить в систему вместо P21 блок из трех таких же

параллельно соединенных элементов (рис. 5.9, в), то надежность среднего звена

P23 1 (1 P21 )3 0,657.

182

Общая вероятность безотказной работы системы Pc P1 P23P3 0,47. Таким образом, надежность системы увеличилась су-

щественно.

В случае, когда надежность элементов меняется во времени, но интенсивность отказов постоянна, получим:

i 1

В случае одинаковых элементов среднее время безотказной работы

Пример 5.5. Два одинаковых двигателя работают в системе с резервированием, причем если один из них выходит из строя, то другой способен работать при полной системной нагрузке. Найти безотказность системы в течение 400 ч (продолжительность выполнения задания) при условии, что интенсивности отказов двигателей постоянны (λ = 0,0005 1/ч), отказы двигателей статистически независимы и оба двигателя начинают работать в момент времени t = 0.

Решение. В случае одинаковых элементов безотказность работы

n

Pc (t) 1 (1 e it ) 1 (1 )2 2e t e 2 t ,

i 1

183

Pc (400) 2e 0,2 e 0,4 0,9671.

Средняя наработка до отказа

Простые комбинации подсистем с параллельным и последовательным соединениями элементов легко проанализировать путем последовательного объединения подсистем в группы параллельно или последовательно соединенных эквивалентных элементов. В качестве примера [12] рассмотрим последовательное соединение подсистем с параллельными элементами, представленное на рис. 5.10, а.

Рис. 5.10

Для вычисления надежности системы вначале объединим параллельное соединение элементов подсистем, а затем будем рассматривать последовательное соединение эквивалентных элементов. Допустим, что известны показатели надежности этих элементов: PA 0,9, PB 0,8, PC 0,7, PD 0,6. Тогда найдем

вероятности безотказной работы последовательно соединенных эквивалентных элементов:

PAB 1 0,1 0,2 0,98; PCD 1 0,3 0,4 0,88.

Безотказность работы всей системы Pс 0,98 0,88 0,8624.

Теперь рассмотрим случай (рис. 5.10, б), когда подсистемы с последовательным соединением элементов соединены параллельно. Сначала объединим последовательно соединенные эле-

184

менты подсистем, а затем рассмотрим параллельно соединенные эквивалентные элементы. Предположим, что в данном случае элементы имеют такую же надежность, как и в предыдущем примере. Тогда найдем вероятности безотказной работы параллельно соединенных эквивалентных элементов:

PAC 0,9 0,7 0,63; PBD 0,8 0,6 0,48.

Следовательно, вероятность безотказной работы всей системы:

Pс 1 (1 PAC )(1 PBD ) 1 0,37 0,52 0,8076.

Различие в значениях показателей надежности систем обусловлено различным соединением подсистем.

Можно рассматривать и более сложные соединения, например соединение элементов по мостиковой схеме, или решать задачи с ненагруженным резервом, когда при резервировании один элемент находится под нагрузкой, а остальные n используются как ненагруженный резерв.

Задачи для самостоятельного решения

1. Блок состоит из 4 элементов, соединенных так, как показано на рисунке. Для каждого элемента известна вероятность отказа:

Q1 = 0,3; Q2 = 0,2; Q3 = 0,4; Q4 = 0,1.

Определить вероятность безотказной работы системы.

2. Невосстанавливаемое устройство состоит из 2000 последовательно соединенных элементов, средняя интенсивность отказов которых равна 0,2·10–6 1/ч. Определить вероятность безотказной работы устройства за время 200 ч и среднее время безотказной работы устройства.

185

3. Система состоит из четырех элементов, соединенных так, как показано на рисунке. Определить вероятность безотказной работы в течение 100 ч,

среднее время безотказной работы системы, а также частоту отказов и интенсивность отказов системы в момент времени 100 ч, если интенсивность отказов элементов 1 = 0,2·10–3 1/ч

2 = 0,8·10–3 1/ч.

4. Были подвергнуты испытаниям ведущие валы 46 автомобилей. В данном случае отказ регистрировался, когда ведущий вал изнашивался настолько, что появлялся избыточный шум. Были получены следующие данные: при пробеге от 0 до 20 000 км отказало 19 валов, при пробеге от 20 000 до 40 000 км отказало 11 валов и т.д.

Определить вероятность безотказной работы автомобиля к моменту пробега 20 000 км, а также определить интенсивность отказов.

5. Блок состоит из 5 элементов, соединенных так, как показано на рисунке. Для каждого элемента известнавероятностьотказа:

Q1 = 0,3; Q2 = 0,2; Q3 = 0,4; Q4 = 0,1; Q5 = 0,5.

Определить вероятность безотказной работы системы.

6. Блок состоит из 4 элементов, соединенных так, как показано на рисунке. Для каждого элемента известна вероятность безотказнойработы:

Р1 = 0,7; Р2 = 0,9; Р3 = 0,8; Р4 = 0,95.

Определить вероятность отказа системы.

186

7. Блок состоит из 4 элементов, соединенных так, как показано на рисунке. Для каждого элемента известно время безотказной работы:

Т1 = 100 ч, Т2 = 300 ч, Т3 = 200 ч, Т4 = 150 ч.

Определить среднее время безотказной работы системы.

8.Система состоит из 3 устройств, среднее время безотказ-

ной работы которых равно соответственно Т1 = 100 ч, Т2 = 300 ч, Т3 = 200 ч. Для устройства справедлив экспоненциальный закон распределения надежности. Определить среднее время до первого отказа системы.

9.Система состоит из 20 одинаковых элементов, соединенных последовательно. Какова должна быть вероятность безотказной работы каждого из элементов, если вероятность безотказной работы системы равна 0,999?

10.Система состоит из трех блоков. Для каждого блока из-

вестна интенсивность отказов: 1 0,2 10 3 1/ч, 2 0,4 10 5 1/ч,3 0,3 10 7 1/ч. Определить вероятность безотказной работы

системы в течение 100 ч.

11. Было испытано 1000 однотипных клапанов для штангового насоса. За 3000 ч отказало 80 клапанов, а за интервал времени 3000–4000 ч отказало еще 50 клапанов. Определить вероятность безотказной работы и вероятность отказа клапанов в течение 3000 ч, а также интенсивность отказов в промежутке времени 3000–4000 ч.

12. В течение некоторого периода времени велись наблюдения за работой насосной установки. За весь период наблюдений было зарегистрировано 15 отказов. До начала наблюдения насосная установка проработала 258 ч, а к концу наблюдений наработка насосной установки составила 1233 ч. Определить среднюю наработку до отказа.

187

6. ОПТИМИЗАЦИЯ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ И СИСТЕМ

Требования достижения высокой надежности зачастую находятся в противоречии с другими необходимыми характеристиками, такими, как уменьшение размеров, получение высокой точности, низкая стоимость и т.д. Эксплуатационная надежность оборудования закладывается уже на стадии его проектирования и изготовления. Очевидно, что чем более высококачественный металл, тем больший запас прочности и износостойкости отдельных узлов; чем больше резерв вспомогательного оборудования, тем меньше вероятность аварийного нарушения работоспособности конструкции и величина внешнего ущерба. Но при этом возрастают капиталовложения и затраты, связанные с обеспечением надежности (рис. 6.1).

Рис. 6.1

Простейшая оптимизационная задача в теории надежности конструкций может рассматриваться как вероятностная модификация обычного критерия оптимальности. Конкретная постановка задачи оптимизации надежности системы определяется видом и сложностью технической системы, характером и важ-

188

ностью выполняемых функций, числом и видом возможных состояний, тяжестью последствий отказов, а также стратегией ее технического обслуживания.

По сути дела, при оптимальном проектировании перед исследователем стоит одна из двух задач:

–минимизировать затраты при условии, что будет достигнут требуемый уровень надежности;

–максимизировать надежность при некоторых ограничениях на количество ресурсов, расходуемых на достижение нужных значений этих параметров.

Допустим, при проектировании мы имеем возможность распоряжаться некоторым набором конструктивных параметров, характеризующих форму и размеры элементов, тип и структуру соединений и т.д. Обозначим вектор конструктивных параметров через u, а область его допустимых значений через U. Целевую функцию (стоимость, массу либо объем) обозначим С(u), тогда оптимизационную задачу можно записать в следующем виде: найти такие значения составляющих вектора u, при которых критерий качества (затраты, стоимость) минимален, т.е.

где Н – надежность; H * – минимально допускаемое нормативное значение надежности.

Если ставится задача создания конструкции с некоторой оптимальной степенью надежности, то получим двойственную по отношению к (6.1) постановку:

где C* – максимально допустимое значение стоимости. Задачи(6.1) и (6.2) обычно нелинейныи многоэкстремальны.

Если система допускает разбиение на подсистемы, взаимодействующие между собой (в смысле теории надежности) по закону последовательного соединения, то оптимизация может быть проведена в пределах каждой из подсистем. В связи с этим воз-

189

никает задача о некотором распределении показателей надежности для системы в целом между подсистемами. В этом случае возможно два подхода. Первый заключается в расчленении системы на подсистемы с раздельной оптимизацией по стоимости или по надежности каждой из подсистем. Второй подход состоит в том, чтобы заменить строгие критерии оптимальности некоторыми квазиоптимальными критериями. Именно таким критерием является принцип равной надежности для подсистем равной ответственности и стоимости одинакового порядка.

Некоторые задачи допускают оптимизационные постановки без экономических показателей. Например, если высокая надежность системы может быть обеспечена чисто техническими мероприятиями, не приводящими к высоким затратам, то критерий максимальной надежности освобождается от ограничений по стоимости. Примером такой задачи является задача оптимального проектирования виброзащитных систем при действии на систему случайных сил.

6.1. Оптимизация виброзащитной системы

Вопросы защиты приборов и оборудования от вибрационных воздействий рассмотрены во многих работах. Если внешние нагрузки являются гармоническими, то такая задача решается сравнительно просто. Решение же задачи об оптимальной защите при случайных внешних воздействиях встречает ряд аналитических и принципиальных трудностей, связанных с постановкой задачи.

Известно, что при решении задач оптимальной виброзащиты в вероятностной постановке часто используют критерии минимума среднеквадратической ошибки. Например, ставится условие, чтобы средний квадрат перемещения защищаемого объекта относительно основания, средний квадрат абсолютного ускорения объекта и т.д. принимали минимальные значения. Однако при такой постановке задачи возникают существенные затруднения.

Рассмотрим, например, широко известную задачу виброзащиты основания от колеблющегося объекта.

190