Вероятностные методы расчета конструкций

щих изделий достигла высоких значений, и дальнейшее ее повышение требует больших финансовых затрат. Поэтому данный способ во многих случаях стал экономически нецелесообразным. Второй способ связан с введением в систему избыточности и имеет различные направления.

Повысить безотказность работы системы можно, используя следующие методы [11]:

1)методы, связанные с рациональным выбором системы построения объекта, характеристик, режимов работы и числа его элементов;

2)методы, защищающие элементы объекта от вредного воздействия различных факторов (вибрации, удары, тепло, влага, неправильные действия обслуживающего персонала) за счет амортизации, герметизации, охлаждения и др.;

3)методы, связанные с увеличением безотказности комплектующих элементов и деталей;

4)методы, основанные на отбраковке ненадежных элементов при выходном и входном контроле;

5)методы предупреждения (прогнозирования отказов);

6)методы избыточности.

Рассмотрим метод структурной избыточности – метод повышения надежности систем, предусматривающий использование избыточных (резервных) структурных элементов. Резервирование – одно из основных средств обеспечения заданного уровня надежности (особенно безотказности) объекта при недостаточно надежных элементах. Цель резервирования – обеспечивать отказоустойчивость объекта в целом, т.е. сохранять его работоспособность, когда возник отказ одного или нескольких элементов. Различают разные виды резервирования: временное, информационное, функциональное, нагрузочное и структурное.

Структурное резервирование реализуется с применением резервных элементов структуры. Различают постоянное и динамическое резервирование, включающее резервирование замещением и резервирование по схеме скользящего резерва.

211

Постоянное резервирование – резервирование с применением резервных элементов структуры. В простейшем случае это резервирование представляет собой параллельное соединение элементов без переключающих устройств (рис. 6.9).

Элементы 1 и 2 работают параллельно на один потребитель каждый в облегченном режиме. В случае отказа любого из них второй продолжает работу, воспринимая нагрузку на

Рис. 6.9 себя, отказавший элемент восстанавливается и включается в работу.

При наличии переключающих устройств, реагирующих на отказы элементов, имеет место динамическое резервирование, которое часто представляет собой резервирование замещением отказавшего элемента.

На рис. 6.10, а показана схема резервирования замещением. В случае отказа рабочего элемента 1 включается резервный элемент 2, который обычно полностью обеспечивает работу системы, а отказавший элемент восстанавливается. Резервирование с кратностью m = 1 называется дублированием. Некоторые системы имеют несколько резервных элементов (рис. 6.10, б). При таком резервировании характеристики резервного элемента могут не совпадать с характеристиками основного элемента.

Рис. 6.10

На рис. 6.11, а приведена схема скользящего резерва двух одновременно последовательно работающих элементов 1 и 3. В случае отказа одного из них в работу включается резервный элемент 2, который вместе с работоспособным элементом пол-

212

ностью обеспечивает работу системы. Отказавший элемент восстанавливается и ставится в резерв.

На рис. 6.10, б показана схема скользящего резерва двух параллельно работающих элементов 1 и 3. При отказе одного из них включается резервный элемент 2, который заменяет отказавший. В случае отказа двух элементов работоспособность обеспечивается частично.

Рис. 6.11

Структурное резервирование позволяет повысить надежность технической системы практически до любого уровня. Однако на практике часто возможности резервирования ограничиваются имеющимися ресурсами (числом элементов, их стоимостью, весом, объемом объекта и т.д.). Поэтому чаще всего ставится задача не максимального увеличения надежности, а обеспечения максимально возможной или заданной надежности системы при минимальных или предельно допустимых затратах.

Задачи оптимального резервирования отличаются большим разнообразием по постановке, числу и виду наложенных ограничений, однако, как правило, все они сводятся к задачам двух типов: определению числа резервных элементов, обеспечивающих заданную надежность при минимальном расходовании ресурсов (прямая основная задача оптимизации) или обеспечивающих максимальную надежность системы при ограниченных ресурсах (обратная основная задача оптимизации). При этом в качестве показателей надежности могут использоваться вероятность безотказной работы, коэффициент готовности, средняя наработка и другие характеристики, а в качестве ресурса – стоимость, масса, габаритные размеры или число элементов.

213

Наличие ограничений усложняет задачу оптимизации, поэтому для ее решения применяются более сложные и трудоемкие методы, в том числе ориентированные на применение средств вычислительной техники: метод простого перебора, метод неопределенных множителей Лагранжа, градиентные методы (метод наискорейшего покоординатного спуска), метод максимального элемента, метод динамического программирования, метод уравновешивания чувствительности системы по отдельным элементам и др.

Метод простого перебора сводится к расчету и сравнению друг с другом всех возможных в рамках наложенных ограничений вариантов резервирования, из которых затем выбирается оптимальный. При большом числе вариантов и для схем со сложной структурой и большим количеством элементов этот метод становится очень трудоемким и требует слишком большого объема вычислений.

Метод неопределенных множителей Лагранжа при решении задач оптимизации достаточно прост и удобен. Однако в более сложных случаях (например, при ненагруженном или облегченном резервировании, при наличии нескольких ограничений и т.д.) его использование не всегда позволяет найти аналитическое решение, поэтому для этого часто приходится использовать численные методы, из-за чего преимущества метода множителей Лагранжа теряются [3].

В этих случаях целесообразно воспользоваться методом наискорейшего спуска, хорошо приспособленным для нахождения целочисленных решений и использования средств вычислительной техники.

Нахождение оптимальной структуры резервированной системы по методу наискорейшего спуска представляет собой многошаговый процесс, на каждом шаге которого добавляется резервный элемент, который обеспечит наибольшее удельное приращение надежности в расчете на единицу затрат. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто требуемое значение вероятности безотказной работы или другой характе-

214

ристики надежности (при решении прямой задачи оптимизации) или не будет достигнута предельная стоимость технической системы (при решении обратной задачи оптимизации). В качестве начального может рассматриваться как исходное состояние системы, так и какое-либо приближенное к оптимальному, выбранное по дополнительным соображениям исходя из конкретных условий задачи.

Метод уравновешивания чувствительности можно использовать для оптимального распределения требований к надежности между элементами сложной системы, которую в общем случае нельзя представить в виде последовательной цепи, т.е. когда отказ отдельных элементов не обусловливает полного отказа всей системы, а приводит лишь к снижению эффективности ее функционирования.

Чувствительностью системы li по i-му элементу называют

отношение изменения показателя надежности системы Рс (вероятность безотказной работы системы) к изменению надежности i-го элемента Pi в зависимости от изменения ее стоимости С при условии изменения этих величин только за счет надежности i-го элемента:

где Pc / Pi – чувствительность надежности системы Рс к изменению надежности i-го элемента; C / Pi – чувствительность

стоимости системы к изменению надежности i-го элемента. Оптимальным распределением надежности между элемен-

тами будет такое, при котором чувствительности системы по этим элементам будут одинаковыми и равными оптимальной чувствительности.

215

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Критерии прочности и расчет механической надежности конструкций / В.Н. Аликин [и др.]; Перм. гос. техн. ун-т. –

Пермь, 1999. – 158 с.

2.Антонов А.В., Никулин М.С. Статистические модели

втеории надежности: учеб. пособие. – М.: Абрис, 2012. – 390 с.

3.Арасланов А.М. Расчет элементов конструкций заданной надежности при случайных воздействиях. – М.: Машинострое-

ние, 1987. – 128 с.

4.Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний: учеб. пособие для втузов. – М.: Высшая школа, 1972. – 416 с.

5.Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин. – М.: Машиностроение, 1979. – 702 с.

6.Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежностей в расчете сооружений. – М.: Стройиздат,1981. – 351 с.

7.Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. –

М.: Наука, 1979. – 336 с.

8.Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учеб. для вузов. – 6-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 1999.– 576 c.

9.Гусев А.С. Вероятностные методы в механике машин и конструкций: учеб. пособие / под ред. В.А. Светлицкого. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 224 с.

10.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов. – 8-е изд., стер. – М.: Выс-

шая школа, 2002. – 479 с.

11.Калявин В.П. Основы теории надежности и диагностики: учебник. – СПб.: Элмор, 1998. – 172 с.

12.Капур К., Ламберсон Л. Надежность и проектирование систем. – М.: Мир, 1980. – 351с.

13.Кузьмин Ф.И. Задачи и методы оптимизации показателей надежности. – М.: Советское радио, 1972. – 224 с.

216

14.Маланин В.В., Полосков И.Е. Методы и практика анализа случайных процессов в динамических системах / НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». – М.; Ижевск, 2005. – 296 с.

15.Николаенко Н.А. Вероятностные методы динамического расчета машиностроительных конструкций. – М.: Машино-

строение, 1967. – 368 с.

16.Никозаков Д.Д., Перлик В.И., Кукушкин В.И. Статистическая оптимизация конструкций летательных аппаратов. – М.: Машиностроение, 1977. – 240 с.

17.Острейковский В.А. Теория надежности: учеб. для вузов. – М.: Высшая школа, 2008. – 463 с.

18.Райзер В.Д. Теория надежности в строительном проектировании. – М.: Изд-во АСВ, 1998. – 304 с.

19.Ржаницын А.Р. Теория расчета строительных конструкций на надежность. – М.: Стройиздат, 1978. – 239 с.

20.Светлицкий В.А. Статистическая механика и теория надежности. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 504 с.

21.Светлицкий В.А. Случайные колебания механических систем. – М.: Машиностроение, 1976. – 216 с.

22.Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. – Ленинград: Судпромгиз, 1961. – 252 с.

23.Селянинов А.А. Статистическая механика и теория надежности: конспект лекций. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн.

ун-та, 2008. – 201 с.

24.Синюков А.М., Бородавкин П.П., Литвин И.Е. Основы расчета механической надежности и оптимизации коэффицентов запаса прочности основных несущих элементов магистральных трубопроводов. – М.: Нефть и газ, 2002. – 216 с.

25.Тихонов В.И. Выбросы случайных процессов. – М.:

Наука, 1970. – 392 с.

26.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее при-

ложение. – М.: Мир, 1984. – Т. 1. – 527 с.

217

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Законы распределения случайных величин

Нормальное распределение

Экспоненциальное распределение

e x при x ; f (x)

0 при x ; mx 1 / ; Dx 1 / 2

218

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Наиболее распространенные случайные функции, их корреляционные и спектральные функции

220