Вероятностные методы расчета конструкций
..pdfвсего 2,47 % от среднего значения, что значительно меньше первоначального производственного отклонения, равного 5 %.
В случае функциональной зависимости случайных величин ( y (x) ), если закон распределения аргумента x неизвестен, но
известны числовые характеристики случайной величины x, можно использовать приближенный способ определения числовых характеристик y.
Итак, пусть y (x) и известны числовые характеристики
случайной величины x. Чтобы найти числовые характеристики случайной величины y, разложим функцию (x) в ряд Тейлора
в окрестности x0 до первых трех слагаемых:
y (x0 ) (x x0 ) (x0 ) 12 (x0 )(x x0 ).
Возьмем математическое ожидание от этой суммы: my M (x0 ) (x0 )M x x0 12 (x0 )M (x x0 )2 .
Если x0 – среднее значение x, то M x x0 x0 x0 0, поэтому
m |
y |
(x ) |
1 (x )D . |
(1.23) |
||
|
0 |
2 |
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения дисперсии используем два члена при разложении в ряд. Тогда
Dy D (x0 ) D (x x0 ) (x0 ) (x0 ) 2 Dx . (1.24)
Пример 1.6. Радиус R круглого стержня имеет среднее значение mR 2,0 мм и среднее квадратичное отклонение R = 0,10 мм.
Найти среднее значение и среднее квадратичное отклонение площади поперечного сечения.
Решение. Задачу можно решить двумя методами, используя формулы суммы и произведения случайных чисел или разложение в ряд:
31
1. Площадь сечения F (R) R2 ( R) R , т.е. имеем
произведение двух случайных чисел, линейно связанных друг с другом. Тогда
mF mR mR ( R )2 4,01 мм2.
2. Используя разложение в ряд, по формуле (1.23) получим: mF (mR )2 12 2 ( R )2 4,01 мм2.
Определим дисперсию согласно (1.24):
DF (2 mR )2 DR (2 2)2 (0,1)2 1,5775 мм4.
Наконец, найдем среднее квадратичное отклонение:
F 0,4 1,256 мм2.
На практике обычно надо определить численные характеристики случайной величины, зависящей от нескольких случайных величин. Например, в механической системе распределение напряжения можно определить, зная распределение силы и площади. Например, при расчете балки на изгиб нас интересует максимальное напряжение, которое возникает на поверхности балки. Максимальное напряжение
MIc ,
где М – изгибающий момент; с – расстояние от нейтральной оси до наружных волокон; I – момент инерции поперечного сечения.
Если требуется рассчитать трубчатую балку с наружным радиусом R и толщиной стенок h, то I R3h , а потому
Mc .R3h
В реальных задачах проектирования М, с, R, h являются случайными величинами. Следовательно, для определения распреде-
32
ления или какого-либо статистического показателя напряжений необходимо знать показатели случайных величин М, с, R, h.
Поэтому рассмотрим следующую задачу: пусть задана функция f случайных величин х1, х2, …, хn:
у = f(х1, х2, …, хn). |
(1.25) |
Требуется найти численные характеристики случайной величины у как функции свойств случайных величин х. Даже если плотности распределения случайных величин х1, х2, …, хn известны, то найти плотность вероятности величины у часто довольно сложно, а иногда и невозможно. Однако найти числовые характеристики, такие, как математическое ожидание и дисперсия, можно, воспользовавшись тем же методом разложения в ряд. Обозначим через i среднее значение xi . Тогда, разлагая
функцию в ряд, получим:
y f 1, 2 |
,..., n f (x) |
|
xi i |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
xi |
|
xi i |
|
|
1 |
n n |
|
2 |
f (x) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
xi i xj j . |
(1.26) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
2! i 1 j 1 |
xi xj |
|
xi i |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если х1, х2, …, хn – независимые случайные величины, то
|
1 |
n |
2 |
f (x) |
|
|
|
|
my f ( 1 , 2 , ..., n ) |
|
|
|
|
D(xi ). |
(1.27) |
||
|
|
|
2 |
|||||
|
2! i 1 |
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
i |
|
xi i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Часто второе слагаемое в выражении (1.27) много меньше первого, а потому им пренебрегают [12].
Дисперсия случайной величины у
n |
|
f (x) |
|
|
2 |
|
|
|
|||||
Dy |
|
|
D(xi ). |
(1.28) |
||
i 1 |
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
xi i |
|
|
|
|
|
|
|
||
33
Пример 1.7. Растягивающая нагрузка q, действующая на стержень, имеет среднее значение mq 10 000 Н и среднее
квадратичное отклонение q 1000 Н. Среднее значение площади поперечного сечения стержня F составляет mF 5,0 см2, а ее среднее квадратичное отклонение F 0,4 см2. Найти
среднее значение и среднее квадратичное отклонение растягивающего напряжения.
Решение. Напряжение в растягиваемом стержне
f (q, F ) Fq .
Следовательно, среднее значение напряжения по форму-
ле (1.27)
m f (mq ,mF ) mq 10000 2000 Н/см2 = 20 000 кПа. mF 5
Дифференцируя, получим:
f |
|
1 |
; |
f |
|
q |
. |
q |
|
F |
|
F |
|
F 2 |
|
Дисперсия напряжения по формуле (1.28)
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
mq |
2 |
|
|
1 2 |
|
2 |
|
|
D |
|
|
Dq |
|
|
|
|
|
DF |
|
1000 |
|
|
||||
|
|
2 |
|
||||||||||||||
mF |
|
|
|
|
|
|
mF |
|
|
5 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
10000 |
2 |
|
2 |
65 600. |
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда среднее квадратичное отклонение напряжения
65600 256,1 Н/см2 = 2,561 кПа.
34
Задачи для самостоятельного решения
1. Призматическая балка постоянного поперечного сечения растягивается случайной нагрузкой q, характеризуемой нормальным законом распределения:
f (q) |
1 |
e |
q2 |
( q ). |
|
2 |
|||||
2 |
|||||
|
|
|
|
Площадь поперечного сечения F также случайна и характеризуется равномерным законом распределения:
|
8 F 12 см |
2 |
; |
1/ 4, |
|
||
f (F ) |
F 8 см2 ; F 12 см2 . |
||
0, |
|||
|
|
|
|
Определить плотность распределения напряжения, которое реализуется в балке.
2.Определить плотность распределения площади круглого призматического стержня, если значение его диаметра является величиной случайной и характеризуется нормальным законом распределения с известными математическим ожиданием и дисперсией.
3.К свободному концу консольного стержня длиной l приложена случайная сосредоточенная сила q с известными числовы-
ми характеристиками mq и Dq . Определить математическое ожи-
дание и дисперсию максимального перемещения и максимального момента МВ в стержне, если жесткостьстержня на изгибEI.
4. На рисунке представлена головка винта. Размеры, указанные на схеме, образованы таким образом, что между ними нет связи, т.е. они независимы друг от друга. Определить допуск для высоты головки винта Н, если заданы следующие размеры:
|
0,050) мм, |
d (10 0,025) мм. |
90 20 , D (20 |
35
5. Эффективный предел усталости стали определенного сорта вычисляется по формуле
Sn k1k 2 Sn
где k1 – коэффициент чистоты обработки поверхности; k2 – коэффициент концентрации напряжений; Sn – предел выносливо-
сти. По различным причинам все величины – случайные, имеющие следующие значения с допусками: k1 = 0,8 ± 0,12, k2 = 0,6 ±
± 0,21, Sn = (200 ± 60) кПа. Найти допуск для эффективного
предела усталости.
6. Найти математическое ожидание и дисперсию максимального напряжения сдвига τ в спиральной пружине путем разложения в ряд следующего выражения:
(1 d / (22D))dGy .
D N
Известна следующая информация о пяти случайных величинах, входящих в это выражение:
Случайная величина |
Среднее значение |
Среднее квадратичное |
|
|
отклонение |
Диаметр проволоки d, мм |
3,81 |
0,20 |
Диаметр витка D, мм |
20,32 |
0,38 |
Модуль упругости (сдвига) G, кПа |
7,83·107 |
1,38·106 |
Число витков N |
20 |
0,5 |
Прогиб y, мм |
24,3 |
0,76 |
36
7. К элементу приложены нагрузки, схема действия которых представлена на рисунке.
Четыре силы F1, F2, F3, F4 являются случайными величинами, распределения которых приводятся ниже:
Силы |
Распределение |
Параметры распределения |
F1 |
Экспоненциальное |
1/λ = 2,6 кН |
F2 |
Гамма-распределение |
1/λ = 2,6 кН, η = 18 |
F3 |
Нормальное |
mF = 37,5 кН, σ = 3,9 кН |
F4 |
Гамма-распределение |
1/λ = 2,6 кН, η = 15 |
Вычислить математическое ожидание и дисперсию суммарной нагрузки (указание: гамма-распределение можно аппроксимировать нормальным распределением с параметрами
mF / и / ).
8. Балка, изображенная на рисунке и имеющая постоянную изгибную жесткость EI , нагружена слу-
чайной поперечной силой q с известными значениями математического ожидания mq и дисперсии Dq . Балка имеет круглое
поперечное сечение, его радиус R – случайная величина с известными числовыми характеристиками mR и DR .
Определить математическое ожидание и дисперсию прогиба в точке k приложения силы.
9. Балка, изображенная на рисунке, нагружена поперечными силами q1 и q2 в точках D и B.
Силы q1 и q2 – случайные величины с известными характери-
стиками mx, my, Dx, Dy. Балка имеет круглое поперечное сече-
ние, а радиус его R – случайная величина с известными числовыми характеристиками mR и DR.
37
Определить математическое ожидание и дисперсию прогиба балки в произвольном сечении, а также математическое ожидание и дисперсию прогиба в точке D приложения силы q1.
10. Трубчатая балка, изображенная на рисунке, используется в одном из узлов автомобиля. Для вычисления напряжений необходимо вычислить момент инерции балки. Момент инерции балки относительно нейтральной
оси |
I R3h . Средний радиус R |
и толщина h трубчатой балки |
имеют следующие размеры: |
R = (2000 ± 60) мм, h = (110 ± 15) мм. Найти среднее значение момента инерции и его среднее квадратичное отклонение.
38
2. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
До сих пор мы рассматривали статические модели работы конструкции с помощью случайных величин, которые в результате опыта принимают некоторое заранее неизвестное единственное значение. Такие модели соответствуют случаю однократного приложения нагрузки при неизменяющихся предельных характеристиках материала. Однако такой элементарный подход к изучению случайных явлений в ряде практических задач является явно недостаточным.
На практике часто приходится иметь дело со случайными величинами, непрерывно изменяющимися в процессе опыта. Нагрузки и прочностные характеристики меняются во времени, например нагрузки на самолет в полете или нагрузки на подвеску автомобиля, вызванные неровностями дороги. Прочностные характеристики меняются вследствие старения или накопления повреждений. Определение подобных величин составляет особый класс задач. К нему относятся также задачи исследования колебаний упругих систем, находящихся под действием случайных сил, например пульсаций акустического давления вблизи работающего двигателя, расчеты высотных сооружений, находящихся под действием ветра, судовых и ограждающих конструкций, находящихся под действием нерегулярного волнового давления и т.д. Все эти и подобные им вопросы относятся к широкому классу задач статистической динамики, в которых случайный элемент вносится разбросом геометрических и физических свойств самой конструкции (а не только случайным характером внешних воздействий) [6]. При постановке и решении подобных задач случайность проявляется в форме процесса, описание которого ведется с помощью теории случайных функций.
В настоящее время аппарат теории случайных функций стал неотъемлемой частью основ анализа механических конструкций. Использование теории случайных функций при расче-
39
тах механических систем является необходимым условием для создания обоснованных методов проектирования долговечных и рациональных конструкций.
2.1. Случайные функции
Случайными функциями называются случайные величины, зависящие от непрерывно изменяющихся неслучайных аргументов, например от времени или координат. Другими словами, случайной называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, заранее неизвестный. Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции. Если провести группу опытов, то получим группу или семейство реализаций этой функции. От опыта к опыту вид реализаций меняется.
Чаще всего аргументом случайной функции является время, поэтому будем в дальнейшем обозначать случайные функции большими буквами X (t) . Если проведено n независимых опытов,
в результате которых получено n реализаций, то будем их обозначать соответственно номеру опыта x1 (t), x2 (t), ..., xn (t) (рис. 2.1).
При изучении случайных процессов исследуются не свойства отдельных функций xj (t) , а свойства всего множе-
ства функций в целом. Это позволяет при анализе движения, например, механической системы, на которую действуют случайные возмущения, иссле-
довать ее поведение не по отношению к какому-либо одному воздействию, а по отношению к целой совокупности возможных случайных воздействий.
Отличие детерминированного динамического процесса от случайного состоит в том, что реакция детерминированной системы на внешнее детерминированное воздействие всегда может
40