Вероятностные методы расчета конструкций

Исследовать чувствительность надежности к следующим параметрам: среднее квадратичное отклонение прочности (изменяется в пределах 10–80 МПа), среднее квадратичное отклонение нагрузки (изменяется в пределах 500–4000 Н), допуски для размеров прямоугольного сечения(изменяютсяв пределах 1–10 %).

3. Трубопровод диаметром d = 5 см с толщиной стенок h = 0,2·10–2 см выполнен из стали, несущая способность которой случайна, и нагружен внутренним давлением q, являющимся случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами mq = 10 МПа, q = 1 МПа. Закон распределения несущей способности – усеченный нормальный с параметрами mS = 200 МПа, S = 20 МПа, параметрусечения слева S1 = 180 МПа. Определить надежность трубопровода. Провести сопоставление результатов со случаем, когда усечением закона распределения несущей способности можно пренебречь. Проанализировать влияние величины усечения на надежность.

Замечание: усеченное нормальное распределение используют, когда физические случайные величины меняются в ограниченных пределах от х1 до х2 (как показано на рисунке). Плотность распределения в этом случае имеет вид:

тематическое ожидание и дисперсия исходного неусеченного нормального распределения.

151

4. Оценить вероятность безотказной работы тяги сцепления автомобиля. Анализ видов отказа тяги показал, что наиболее вероятным является отказ вследствие разрушения при приложении растягивающей нагрузки. Нагрузка, характеристики материала и геометрические параметры тяги являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону.

Предел прочности на растяжение для материала, из которого изготовлена тяга, имеет среднее значение 100 МПа и среднее квадратичное отклонение 10 МПа. Тяга имеет круглое поперечное сечение, радиус которого равен 0,18 см, и производственный допуск для диаметра D составляет 2 %, исходя из пределов, равных 4 (т.е. D = 0,5 %). Нагрузка, действующая на тягу, имеет среднее значение 10 000 Н при среднем квадратичном отклонении 1000 Н.

Исследовать чувствительность надежности к изменению среднего квадратичного отклонения прочности от 20 до 400 МПа и к изменению допусков для диаметра от 0,5 до 10 %, исходя из пределов, равных4 .

5. Оценить вероятность безотказной работы системы, представленной на рисунке, если размеры круглых поперечных сечений стержней и нагрузка являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону.

Принять, что ферма симметричная, т.е. стержни 1 и 3 одинаковые, материал всех стержней одинаковый, длины L1 = L2 = = L, угол = 30º. Радиусы поперечных сечений распределены по нормальному закону ( mr 1см, r 0,1 см). Для нагрузки

mq = 30 кН, q = 1,0 кН. Предельные характеристики материала:

S = т = 10 МПа, S = 0,3 МПа.

152

Исследовать чувствительность надежности к следующим параметрам: среднее квадратичное отклонение прочности (изменяется в пределах 10–60 МПа), среднее квадратичное отклонение нагрузки (изменяется в пределах 10–50 кН), допуски для размеров сечения (изменяются в пределах 1–10 %).

6. Оценить вероятность безотказной работы круглой пластинки, шарнирно опертой по контуру, которая деформируется под действием нагрузки, равномерно распределенной в центральной части по площади круга радиусом d, как показано на рисунке, если нагрузка, радиус пластинки и радиус площади круга приложения нагрузки являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону.

Предел прочности материала пластинки имеет среднее значение 50 МПа и среднее квадратичное отклонение 5 МПа. Радиус пластинки b равен 40 см, и производственный допуск для диаметра D составляет 2 %, исходя из пределов, равных 4 (т.е. D = 0,5 %). Радиус площади круга приложения нагрузки равен 0,1 радиуса пластинки. Нагрузка, действующая на пластинку, имеет среднее значение 1250 Н при среднем квадратичном отклонении 100 Н.

Исследовать чувствительность надежности к изменению среднего квадратичного отклонения прочности от 2 до 10 МПа и к изменению допусков для диаметра от 0,5 до 10 %, исходя из пределов, равных 4 .

7. Прямоугольная пластина (см. рисунок), два края которой шарнирно оперты, один защемлен, а один свободен, нагружена по шарнирным сторонам продольной сжимающей на-

грузкой q, величина которой случайна и распределена по закону равной вероятности в

153

пределах (15 … 25)·105 Н/м. Размеры пластины: а = 2 м, b = 1 м. Примем = 0,25; Е = 2·1011 Па. Найти толщину пластины, при которой ее надежность по устойчивости Н = 0,99.

8. Балка круглого поперечного сечения (радиус – величина случайная) нагружена случайной поперечной силой, как показано на ри-

сунке. Известны значения математического ожидания и дисперсии каждой из случайных величин. Материал балки – сталь.

1)Определить математическое ожидание и дисперсию максимального прогиба.

2)Считая случайной только нагрузку (нормальное распределение, mq = 2·104 Н, σq составляет 10 % от mq), определить радиус поперечного сечения из условия, что надежность конструкции по жесткости равна 0,98, если известно, что прогиб не

должен превышать y0 500l (l = 1 м; a = 0,25 м).

9. Балка прямоугольного профиля с размерами h и b, имеющая постоянную изгибную жесткость, нагружена случайной нагрузкой q, как показано на рисунке.

Размер балки также является величиной случайной. Известны значения математического ожидания и дисперсии каждой из случайных величин.

1)Определить математическое ожидание и дисперсию максимального напряжения.

2)Считая случайной только нагрузку (нормальное распределение, mq = 4·103 Н, σq составляет 10 % от mq), определить высоту h поперечного сечения балки (h/b = 1,5) из условия, что надежность конструкции по прочности равна 0,99 (материал – сталь), если известно, что l = 2 м.

154

10.Балка квадратного сечения, имеющая постоянную изгибную жесткость, нагружена, как показано на рисунке. Длина балки l и размер a являются

величинами случайными. Известны значения математического ожидания и дисперсии каждой из случайных величин.

1)Определить математическое ожидание и дисперсию реакций в опорах.

2)Считая случайной только нагрузку (нормальное распре-

деление, mq = 2 МПа, σq составляет 10 % от mq), определить высоту h поперечного сечения балки из условия, что надежность конструкции по прочности равна 0,99 (материал – сталь), если известно, что l = 1 м.

11.Круглая пластинка радиусом 1 м нагружена в центре сосредоточенной силой q, действие которой представляет собой стационарный нормальный случайный процесс с корреляцион-

пластины защемлены по всему контуру. Подобрать толщину пластины так, чтобы ее надежность по жесткости равнялась 0,99,

при этом wзад = 0,5·10–2 м; T = 10 лет = 315·106 с; mq 10 Н;q 1 Н; 0,1 c 1; 0,7 c 1; E 2 1011 Па.

155

5. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ НА СТАДИИ ЭКСПЛУАТАЦИИ ИЗДЕЛИЙ (СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ)

Сложность современных систем и оборудования, необходимость поддержания высокого уровня их функциональной готовности выводят на первый план вопросы обеспечения качественной и эффективной эксплуатации. Особое место среди характеристик эффективной эксплуатации занимают показатели надежности.

Напомним, что надежность можно определить как свойство объекта выполнять заданные функции, сохраняя во времени значения его эксплуатационных показателей в заданных пределах, соответствующих заданным режимам и условиям применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортировки.

Надежность – сложное свойство, которое включает в себя более простые свойства (составные части надежности или стороны надежности). На стадии эксплуатации чаще всего выделяют следующие:

1.Безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторого времени или некоторой наработки. Под работоспособностью же понимается такое состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, удовлетворяя требованиям нормативно-технической документации. Таким образом, работоспособность – это характеристика состояния объекта в некоторый момент времени, а надежность – свойство сохранять работоспособность на некотором отрезке времени или при выполнении некоторого объема работы.

2.Долговечность – свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния, т.е. до наступления такого состояния, когда объект должен быть либо направлен на ремонт (средний или капитальный), либо изъят из эксплуатации.

156

3.Ремонтопригодность – свойство объекта, заключающееся

вприспособленности его к предупреждению и обнаружению отказов и восстановлению работоспособности объекта либо путем проведения ремонта, либо путем замены отказавших комплектующих элементов. Различают две самостоятельные характеристики ремонтопригодности: приспособленность к проведению ремонта (ремонтопригодность в узком смысле) и приспособленность к замене в процессе эксплуатации (восстанавливаемость или заменяемость).

Перечисленные (далеко не все) свойства объектов (частные стороны надежности) являются общепризнанными и рекомендуются для широкого класса изделий.

На этапе создания и эксплуатации расчеты надежности проводят по результатам испытаний и эксплуатации. На основании этих расчетов разрабатывают меры по повышению надежности, определяют слабые места объектов, дают оценки надежности объектов и влияний на нее отдельных факторов.

5.1. Отказы и распределения их вероятностей

Надежность можно рассматривать как самостоятельное свойство изделия, отображающее случайные события, связанные с отказами при его использовании. Под отказом мы понимаем событие, когда объект переходит в неработоспособное состояние, т.е. объект не способен выполнять хотя бы одну из заданных функций.

По характеру отказов элементов системы различают методы расчета надежности при внезапных, постепенных и перемежающихся отказах, а по способу соединения элементов в системе – методы расчета надежности при основном и резервном соединении элементов.

Причинами отказов могут быть дефекты, допущенные при конструировании, производстве и ремонтах, нарушении правил и норм эксплуатации, естественные процессы изнашивания и старения.

157

По характеру изменения основных параметров технических объектов до момента возникновения отказа различают внезапные и постепенные отказы. Внезапным называют отказ, который наступает в результате скачкообразного изменения одного или нескольких основных параметров. Постепенным называют отказ, который наступает в результате длительного, постепенного изменения параметров, обычно по причине старения или изнашивания. При этом изменение параметра по сравнению с начальным уровнем во многих случаях может быть зарегистрировано с помощью измерительных приборов. Принципиальной разницы между внезапным и постепенным отказами нет, так как внезапные отказы в большинстве случаев являются следствием постепенного, но скрытого от наблюдения изменения параметров (например, появления и развития усталостных трещин). Факт непосредственной поломки тогда воспринимают как внезапное событие.

Необратимый отказ свидетельствует о потере работоспособности после первого отказа. При восстанавливаемом отказе объект может неоднократно переходить из работоспособного состояния в состояние ремонта и обратно.

Если отказ объекта не обусловлен отказом другого объекта, то его считают независимым, в противном случае – зависимым.

Отказ, возникающий в результате несовершенства или нарушения установленных правил и норм конструирования, называют конструктивным. Отказ, возникающий в результате несовершенства или нарушения установленного процесса изготовления или ремонта объекта, выполненного на ремонтном предприятии, называют технологическим. Отказ, возникающий в результате нарушения установленных правил или условий эксплуатации называют эксплуатационным.

Появление отказа не всегда означает потерю работоспособности. Конечно, существуют объекты, дальнейшее использование которых невозможно уже после первого отказа. Такие объекты называют невосстанавливаемыми (одноразового действия, неремонтируемые). Под невосстанавливаемыми объектами понимают

158

такие, работой которых, по каким-либо причинам, интересуются только до первого отказа. Это могут быть как объекты однократного действия (баллистическая ракета, электровакуумные приборы и т.д.), так и многократного действия, если отказ их приводит

кнепоправимым последствиям и восстановление их не приводит

кликвидации последствий отказа (система ПВО, ЭВМ, используемая в непрерывном технологическом процессе и т.д.).

Практика эксплуатации машин показывает, что для каждой машины существует ведущий вид разрушения, который и определяет ее работоспособность. Определение и анализ ведущего вида разрушения и выявление факторов, влияющих на отказы, является основнымпредметом исследованиянадежности системы.

Результаты обработки большого числа статистических данных показывают, что конструктивные отказы, происходящие изза отсутствия учета «пиковых» нагрузок, можно рассматривать как мгновенные повреждения, возникающие с постоянной интенсивностью ( (t) const ). В этом случае вероятность безот-

казной работы распределена по экспоненциальному закону P(t) e t . Плотность вероятности отказов

f (t) dPdt e t .

Время безотказной работы есть величина, обратная интенсивности отказов:

Если интенсивность отказов постоянна, то при экспоненциальном распределении времени безотказной работы нет смысла производить профилактическую замену элементов или их ремонт. Единственный путь повышения надежности в этом случае состоит в конструктивном улучшении изделия либо в снижении нагрузок.

159

Постепенные отказы характеризуются необратимыми изменениями в деталях, которые порождаются коррозией, износом, накоплением деформаций, усталостных явлений и т.д. Например, типичная кривая износа представлена на рис. 5.1 (а – зона приработки; б – нормальный износ; в – катастрофический

износ). Для того чтобы система была работоспособна, рабочие характеристики ее должны лежать в определенных пределах, соответствующих зонам а и б на кривой износа.

Если средняя скорость износа постоянна, то распределение времени безотказной работы чаще всего подчиняется нормальному закону. В этом случае:

– вероятность безотказной работы

2

Если скорость износа непостоянна и постепенно уменьшается («упрочнение»), то плотность распределения времени безотказной работы достаточно хорошо характеризуется логарифмически нормальным законом, т.е. логарифм времени безотказной работы распределен нормально:

160