Вероятностные методы расчета конструкций

Для стационарной функции mx (t) 0.

Закон распределения функции Y (t) легко определяется

только в некоторых частных случаях, а корреляционную функцию от производной случайной функции легко вычислить:

Kx (t1,t2 ) Ky (t1,t2 )

M Y (t1 ) my (t1 ) Y (t2 ) my (t2 ) 2 Kx (t1,t2 ) .

t1 t2

Для стационарной случайной функции Kx ( ) 2 Kx2( ) .

т.е. производные от стационарной функции также являются стационарными функциями.

Взаимная корреляционная функция случайной функции и ее производной

Случайная функция называется дифференцируемой в обобщенном смысле, если корреляционная функция ее производной, будучи сингулярной, содержит δ-функцию.

51

Пример 2.2. Пусть Y (t) dtd X (t) , при этом случайный про-

цесс X(t) имеет корреляционную функцию вида Kx ( ) Dxe .

Определить корреляционную функцию Y(t).

Решение.

Поскольку Kx ( ) 2 Kx2( ) , то, дифференцируя последо-

вательно по , получим:

D x 2 ( ) sign 2 e .

При дифференцировании использовали свойства:

при 0, f ( ) 0 при 0,

при 0;

где ( ) – функция Дирака;

1 при 0, sign 0 при 0,1 при 0;

(sign )2 1 при 0,

0 при 0.

52

Таким образом, корреляционная функция случайного процесса, как и белый шум, дифференцируема в обобщенном смысле сколь угодно раз.

Интегрирование случайной функции. Выполняя операцию интегрирования случайной функции, мы снова получаем слу-

При интегрировании стационарной случайной функции результат уже не будет стационарной функцией.

Покажем, что интеграл от стационарной случайной функции не обладает стационарностью.

Пример 2.3. Пусть Y(t) t X (t1)dt1, при этом стационарный

0

случайный процесс X(t) имеет корреляционную функцию вида Kx ( ) Dx cos . Определить корреляционную функцию Y(t).

Решение.

Для стационарной функции формулу (2.13) можно представить в виде:

Интегрируя, получим:

Ky (t1 ,t2 ) 12 cos (t1 t2 ) 12 (1 cos t1 cos t2 ).

53

Из полученного соотношения следует, что интеграл от стационарной функции не обладает свойством стационарности (справедливо и для общего случая).

Пример 2.4. Балка, представленная на рис. 2.4, находится под действием случайной распределенной нагрузки q(x).

Вероятностные характеристики нагрузки известны, т.е. известны математи-

Решение.

Поскольку опирание шарнирное, то моменты в опорах равны нулю, т.е.

54

– дисперсии реакций:

2.3. Каноническое разложение случайной функции

Непосредственное использование связей (2.8) часто встречает значительные вычислительные трудности. Двойное преобразование корреляционной функции в ряде случаев (корреляционная функция из опыта не имеет аналитического выражения и задана таблично, или интеграл не выражается через известные функции и т.д.) приводит к чрезвычайно сложным и громоздким операциям, что затрудняет практическое применение этих операций. Поэтому на практике часто используют другие методы, например метод канонических разложений.

Идея метода состоит в том, что случайная функция, над которой нужно произвести те или иные преобразования, предварительно представляется в виде так называемых элементарных случайных функций. Элементарной же называется функция вида

где V – обычная случайная величина; (t) – обычная (неслучайная) функция. Тогда

L(X (t)) VL( (t)).

Таким образом, задача преобразования случайной функции сводится к простой задаче преобразования неслучайной функции (t) .

55

Допустим, что удалось (точно или приближенно) представить случайную функцию в виде

i 1

где Vi – случайные величины с математическим ожиданием, равным нулю; i (t) – неслучайная функция; mx (t) – математическое ожидание функции X (t) .

Такое представление случайной функции (в форме (2.15)) называют каноническим разложением: случайные величины

i 1

Это означает, что в данном случае (в отличие от (2.8)) преобразуется только один раз каждая из неслучайных функцийi (t) . Корреляционный момент центрированной функции (2.15)

Kx (t1,t2 ) M (ViVj ) i (t1 ) j (t2 ).

i, j

Если Vi (t) – некоррелированные случайные величины, то каноническое разложение корреляционной функции

56

m

Kx (t1,t2 ) i (t1 ) i (t2 )Di .

i 1

Полагая t1 t2 , получим дисперсию случайной функции:

i 1

Таким образом, зная каноническое разложение случайной функции X (t) , можно сразу найти каноническое разложение ее

корреляционной функции. Можно доказать, что обратное положение тоже справедливо, а именно: если задано каноническое разложение корреляционной функции (2.16), то для случайной функции X (t) справедливо каноническое разложение вида (2.14) с коорди-

натными функциями i (t) и коэффициентами Vi с дисперсиями Di . Мыпримемэто положение без специального доказательства.

Пример 2.5. Балка произвольного поперечного сечения, имеющая постоянную изгибную жесткость, нагружена случайной нагрузкой q (рис. 2.5). Определить вероятностные характеристики напряженногосостояниябалки.

Решение. Представим случайную нагрузку на отрезке 0 x l / 2 в виде элементарной функции вида (2.14):

q(x) V (x) 2q0 x / l,

где V q0 – случайная величина; (x) – неслучайная функция,

(x) 2x / l .

Тогда для решения можно использовать квазистатический подход. Приведем решение задачи методами сопротивления материалов в детерминированной постановке. Сама конструкция

57

и ее нагружение и закрепление симметричны, поэтому достаточно рассмотреть отрезок 0 x l / 2 . Изгибающий момент и напряжение найдем по формулам:

Используя каноническое представление случайной функции (x), можно определить ее математическое ожидание:

где mq0 – известное (заданное) значение случайной величины. Корреляционная функция напряжения

Находим математическое ожидание и дисперсию максимального напряжения:

Число членов канонического разложения случайной функции может быть не только конечным, но и бесконечным. Кроме того, в ряде случаев применяются так называемые интегральные канонические представления случайных функций, в которых сумма заменяется интегралом.

Канонические разложения применяются не только для действительных, но и для комплексных случайных функций. Рассмотрим обобщение понятия канонического разложения на случай комплексной случайной функции.

Элементарной комплексной случайной функцией называется функция вида:

58

где случайная величина V и функция (t) комплексные.

Определим корреляционную функцию элементарной случайной функции (2.19). Пользуясь общим определением корреляционной функции комплексной случайной функции, имеем:

где чертой вверху обозначена комплексная сопряженная величина. Но M V 2 есть не что иное, как дисперсия комплексной

случайной величины V , следовательно,

Каноническим разложением комплексной случайной функции называется ее представление в виде:

i 1

где V1,V2 , ...,Vm – некоррелированные комплексные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю; mx (t),1 (t), 2 (t), ..., m (t) – комплексные неслучайные функции.

Если комплексная случайная функция представлена каноническим разложением (2.22), то ее корреляционная функция выражается формулой

i 1

где Di – дисперсия величины Vi , Di M Vi 2 .

Выражение (2.23) называется каноническим разложением корреляционной функции комплексной случайной функции.

59

Полагая в (2.23) t1 t2 , получим выражение для дисперсии комплексной случайной функции, заданной разложением (2.22):

i 1

2.4.Спектральное разложение стационарной случайной функции

Устойчивость стационарного случайного процесса во времени позволяет заменить исследование стационарной функции времени исследованием случайной функции некоторой вспомогательной переменной, которая во многих приложениях имеет размерность частоты. Полученные таким способом результаты оказываются полностью эквивалентными результатам, получаемым с помощью корреляционной функции случайного процесса, однако применение этого способа во многих случаях позволяет значительно упростить выкладки и добиться большей наглядности результатов. Частным случаем этого широко известного метода является метод преобразования Фурье. Распространение этого метода на случайные функции называют методом спектральных представлений.

Понятие спектра встречается не только в теории случайных функций; оно широко применяется в математике, физике и технике. Если какой-либо колебательный процесс представляется в виде суммы гармонических колебаний различных частот (так называемых гармоник), то спектром колебательного процесса называется функция, описывающая распределение амплитуд по различным частотам. Спектр показывает, какого рода колебания преобладают в данном процессе, каковаего внутренняя структура.

Совершенно аналогичное спектральное описание можно дать и стационарному случайному процессу, вся разница в том, что для случайного процесса амплитуды колебаний будут случайными величинами. Спектр стационарной случайной функции будет описывать распределение дисперсийпоразличнымчастотам.

60