Вероятностные методы расчета конструкций

Одним из широко распространенных является распределение Вейбулла. Оно хорошо характеризует устройства с большим числом одинаковых или близких по конструкции элементов (турбинные лопатки, подшипники качения и др.). В этом случае плотность вероятности отказов

m tm f (t) t0 tm 1e t0 ,

где m,t0 – постоянные параметры, определенные по результатам испытаний. При m = 1 и t0 1 распределение Вейбулла пре-

вращается в экспоненциальное.

Интенсивность отказов (t) m tm 1 . t0

5.2. Надежность невосстанавливаемых объектов

Оценивание надежности по результатам эксплуатации возможно при своевременном поступлении достоверной информации об отказах и своевременной обработке ее специальной службой надежности. Результаты сравнительного количественного анализа отказов удобно иметь в виде показателей надежности.

Показатели надежности – это количественные характеристики одного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта. Они представляют собой характеристики вероятностных моделей работы объектов. На стадии проектирования показатели надежности определяют расчетными методами, а на стадии экспериментальных исследований, испытаний и эксплуатации используют статистические оценки соответствующих характеристик.

В качестве основного показателя надежности рассмотрим такой показатель, как наработка до отказа.

161

Наработка объекта до отказа – продолжительность или объем работы объекта от начала эксплуатации до возникновения отказа. Это случайная величина, которая может исчисляться не только единицами времени, но и другими непрерывными величинами, например километрами пробега (для автомобиля) или объемом перекачиваемого вещества (для насоса), а также целочисленными величинами (число рабочих циклов, запусков, включений и др.). Если наработка измеряется единицами времени, то случайную величину Т называют временем жизни объекта.

Определим понятие наработки до отказа невосстанавливаемых объектов. Так как это величина случайная, то существует функция распределения наработки объекта до отказа (или функция распределения времени жизни объекта):

F(t) P(T t).

Функция распределения наработки объекта до отказа (рис. 5.2) обладает всеми свойствами, присущими функции распределения случайной величины, т.е. это неубывающая функция. При этом, поскольку возможные значения времени жизни принадлежат интервалу (0,+∞), в начальный момент времени она равна

нулю, а в бесконечности – единице ( F(0) 0, F( ) 1).

Функция распределения наработки объекта до отказа может быть построена по статистическим данным результатов испытаний или наблюдения за работой некоторого достаточно большого числа объектов данного типа (статистическая функция распределения наработки до отказа).

162

Пример 5.1. Были проведены испытания 20 аналогичных объектов в течение 100 ч, при этом отказало 19 объектов, а один (17-й) не отказал. Построить статистическую функцию распределения времени жизни объекта T.

Были получены следующие результаты:

F(t) 0 . Время жизни 5 ч соответствует одному объекту, следовательно, F(5) P(T 5) 1/ 20 , т.е. в точке 5 ч функция F(t) имеет скачок, равный 1/20. Следующее время жизни объекта по порядку возрастания t2 15 ч (один объект), а потому функция F(t) делает еще один скачок на 1/20. Таким образом,

F(15) P(T 15) 1/ 20 1/ 20 2 / 20 . Следующее значение

времени жизни 25 ч соответствует двум объектам (8 и 18), а потому функция F(t) делает еще один скачок на 2/20, но тогда

F(25) P(T 25) 1/ 20 1/ 20 2 / 20 4 / 20 . Так продолжает-

ся до тех пор, пока не будут рассмотрены все значения времени жизни объекта. Неотказавшему объекту № 17 присваивается время жизни t 100 ч, и в этой точке функция делает последний скачок до величины F(t) 1 (рис. 5.3).

При увеличении числа опытов график статистической функции приближается к плавной кривой F(t) , которая является дей-

ствительной функцией распределения случайной величины Т. Как уже указывалось ранее, если известна функция распре-

деления, то можно полностью описать случайную величину. Однако в некоторых случаях можно ограничиться некоторыми численными характеристиками этой величины.

163

Вероятностное определение:

Примерный вид зависимостей (5.1) и (5.2) представлен на рис. 5.4.

Рис. 5.4

3. Частота отказов – число отказов в единицу времени, отнесенное к первоначальному числу изделий:

a(t) n(t t) n(t) ,

N (0) t

где t – время, за которое произошел отказ.

По величине частоты отказов можно судить о числе изделий, которые могут выйти из строя в каком-то промежутке времени, и соответственно установить необходимое количество запасных изделий. Поясним это примером.

Пример 5.2. Были проведены наблюдения за эксплуатацией партии двигателей (500 шт.) с ресурсом 300 ч. Было зафиксировано число снятых двигателей в зависимости от времени наработки до отказа.

165

Получены следующие результаты:

Определить число запасных двигателей, необходимое в заданном интервале времени эксплуатации.

Решение. Определим частоту отказов в интервале от 200

до 250 ч:

–количество отказавших изделий в интервале от 200 до 250 ч

n(t) n(250) n(200) 40 34 6 ;

–интервал времени t 250 200 50;

–первоначальное число двигателей N(0) = 500;

Если в аналогичных условиях эксплуатировать 250 двигателей, то можно определить, что в промежутке от 200 до 250 часов работы может выйти из строя n(t) a(t)N(0) t

0,24 10 3 250 50 3 изделия.

Следовательно, для нормальной работы необходимо иметь

врезерве три двигателя.

4.Плотность вероятности отказов – производная по времени от вероятности отказов.

Зная функцию распределения наработки до отказа, можно найти плотность вероятности отказов:

где N(t) – число объектов, проработавших исправно от 0 до t; P(t) – вероятность безотказной работы к моменту t.

166

5. Интенсивность отказов – число отказов в единицу времени, отнесенное к числу не отказавших к заданному моменту изделий. Чтобы ее определить, достаточно разделить последнее соотношение на N(t), т.е.:

где (t) – интенсивность отказов, или мгновенное значение интенсивности отказов. Ее можно выразить через вероятность безотказной работы:

Интенсивность отказов выражается через плотность вероятности отказов, определяемую при условии, что до рассматриваемого момента отказа не возникает. С другой стороны,

(t)dt dPP((tt)) ,

т.е. произведение (t)dt представляет собой условную вероят-

ность отказа в интервале времени (t, t+dt) для системы, безотказно проработавшей время t.

и мы получаем экспоненциальный закон распределения отказов. Вычислим интенсивность отказов и проследим ее изменение для примера 5.2. По полученным там результатам построим

табл. 5.1.

Из таблицы следует, что в начальный период эксплуатации значение (t) сравнительно велико, затем резко падает и изме-

няется очень мало, а с приближением времени эксплуатации

167

к ресурсу снова возрастает. Опыт эксплуатации различных изделий показывает, что зависимость интенсивности отказов (t)

от времени имеет три участка (рис. 5.5).

Таблица 5 . 1

Рис. 5.5

Участок убывающей интенсивности отказов иногда называют периодом приработки или периодом ранних отказов. Появление отказов в этом периоде обычно вызывается конструктивными или производственными дефектами.

168

Участок постоянной интенсивности отказов называют периодом нормальной эксплуатации. Этот период начинается сразу же за периодом приработки и заканчивается непосредственно перед периодом износовых отказов.

Отказы, появляющиеся в периоде нормальной эксплуатации, называют внезапными, так как они появляются в случайные моменты времени, или, другими словами, внезапно, непредсказуемо.

Период износовых отказов начинается тогда, когда оборудование или элемент подверглись старению либо выработали свой ресурс, вследствие чего число отказов в этом периоде начинает возрастать.

Из анализа следует, что во многих случаях целесообразно проводить сдаточные испытания с тем, чтобы отсеять дефекты первого периода. Система, прошедшая эти испытания, будет более надежна, чем находящаяся в начальном периоде.

Профилактическая замена старых деталей новыми целесообразна только в третьем периоде, так как такая замена во втором периоде приводит к уменьшению надежности системы, как бы сдвигая ее в первый период.

Очевидно, что в качестве срока службы целесообразно назначать время от t1 до t2. Для различных типов изделий в зависимости от их конструкции, характера работы деталей и условий эксплуатации участки с различной интенсивностью отказов могут быть разными и даже отсутствовать.

6. Показатель долговечности– ресурс(срок службы) объекта. Для технических объектов переход в предельное состояние определяется наступлением момента, когда их дальнейшая эксплуатация и применение невозможны или нецелесообразны по

одной из следующих причин:

–из-за невозможности поддержания безопасности, безотказности или эффективности применения объектов на допустимых уровнях;

–из-за изнашивания или старения объекта, когда на ремонт требуются недопустимо большие затраты или он не обеспечивает необходимой степени восстановления работоспособности.

169

Различают несколько видов ресурса:

– гарантированный ресурс – наработка, до окончания которой поставщик объекта гарантирует его безотказную работу и несет ответственность за возникшие отказы при условии правильной эксплуатации;

–гамма-процентный ресурс – наработка, в течение которой объект не достигнет предельного состояния с заданной вероятностью, выраженной в процентах;

–назначенный ресурс, по достижении которого использование должно быть прекращено независимо от состояния объекта. Назначают такой ресурс в первую очередь для обеспечения безопасности использования объекта (например, для ряда атомных установок).

В качестве основных показателей долговечности используют средний ресурс и средний срок службы. Чтобы их опреде-

лить, установим связь между средней наработкой до отказа и вероятностью безотказной работы.

Как уже говорилось, под наработкой понимается продолжительность или объем работ, выполненных системой. Если отсчет наработки ведется до времени наступления предельного состояния, то средняя наработка до отказа (или средний ресурс)

ние плотности распределения времени безотказной работы. Таким образом, tcp есть площадь под кривой плотности

распределения времени безотказной работы.

170