Вероятностные методы расчета конструкций

ваются как известные (заданные) величины. Выполнение этого неравенства рассматривают как гарантию того, что за время эксплуатации конструкции ее отказ полностью исключен (в общем случае отказ – это нарушение работы конструкции, а не только достижение предельного состояния).

Коэффициент n выбирается на основе накопленного опыта. В каждой области техники имеются свои традиционные методы расчета и требования к проектируемым изделиям, которые позволяют рекомендовать числовые значения коэффициентов безопасности. Часто их называют нормативными коэффициентами безопасности. Например, в авиационной технике коэффициент безопасности рекомендуется брать равным 1,5, а в ракетной или космической технике – 1,2.

Коэффициенты безопасности уточнялись с учетом обобщения многолетнего опыта проектирования в каждой отрасли техники, поэтому в каждой из отраслей существуют свои нормы прочности, которые используются в практике проектирования. Нормы прочности определяют состав и объем основных работ, проводимых на всех стадиях создания конструкций и необходимых для обеспечения требуемой прочности. Основную роль в создании конструкции играет проектирование, где с учетом всех физических особенностей конструкции и реальных условий ее эксплуатации учитываются все требования по прочности, которые должны быть реализованы в опытном образце.

Введение коэффициентов безопасности позволяет во многих случаях получать удовлетворительные конструкции, однако при проектировании новой техники, когда нет ни опыта, ни дан-

111

ных по эксплуатации, выбрать разумный коэффициент безопасности очень сложно. Произвольно назначенный коэффициент безопасности может привести к неправильным решениям, следствием которых может стать или завышенный вес конструкции, или аварийная ситуация.

Основная трудность при определении допускаемых напряжений (или деформаций) и несущей способности конструкции состоит в согласовании расчетных данных с фактическими. Задача выбора конкретного значения коэффициента безопасности (например, для определения допускаемого напряжения) осложняется тем, что механические характеристики материала (от которых зависят предельные состояния конструкции) и реальные силы и размеры элементов конструкций (от которых зависят текущие состояния конструкций) имеют случайные разбросы. Возможные случайные разбросы при традиционных методах расчета как по предельным состояниям, так и по допускаемым напряжениям в явном виде не учитываются, т.е. не учитывается вероятностный характер предельных состояний конструкции или вероятностный характер реального состояния конструкции.

Поэтому оценивать работоспособность конструкции логичнее не по детерминированному неравенству (4.1), а по вероятности выполнения этого неравенства, т.е.

где Р – вероятность безотказной работы; S – характеристика предельного состояния.

Выполнение этого соотношения определяет надежность конструкции. В ГОСТе дается следующее определение надежности: «Свойство объекта выполнять заданные функции, сохранять во времени значения установленных эксплуатационных показателей в заданных пределах, соответствующих заданным режимам и условиям пользования, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортирования».

112

Тогда вероятность отказа

Q1 P (S R) 0 .

Внастоящее время теория надежности переживает второе рождение. Идет разработка и создание новых моделей и методов применительно к расчету и обоснованию безотказности высоконадежных сложных технических и других систем. Расширяются также и области применения методологии теории надежности. Следует отметить, что методы теории надежности применяются не только при решении задач расчета и вычисления рисков технических систем. Они находят широкое применение в медицинских и социологических исследованиях, вэкономике, демографиии т.д.

Для оценки прочности в технических системах с учетом вероятностного характера конструктивных параметров и нагрузок требуются другие методы, основанные на теории вероятности

истатистической механики. Возникает вопрос, насколько вероятностные оценки прочности лучше традиционных оценок с использованием коэффициента безопасности, который столь же неконкретен, как и вероятность. Дело в том, что вероятностные оценки прочности учитывают объективно существующие случайные разбросы нагрузок, механических характеристик материалов и т.д., поэтому они более полно отражают реальные условия. В зависимости от разброса механических характеристик

иразброса нагрузок при коэффициенте n = 1,3 вероятность безотказной работы может быть меньше, чем при n = 1,2, что кажется странным, так как принято считать, что чем больше коэффициент безопасности, тем выше прочность конструкции.

Само по себе определение вероятности безотказной работы системы мало полезно (например, если Р = 0,9, то трудно сказать, хорошо это или плохо), но при выборе из нескольких вариантов оно необходимо. Так, если проводятся расчеты для двух вариантов конструкции с учетом вероятностных свойств их механических характеристик и оказывается, что вероятность их безотказной работы соответственно равна 0,9 и 0,95, то можно

113

утверждать, что конструкция с вероятностью безотказной работы 0,95 будет лучше. Учет случайных разбросов приводит к качественно другим оценкам прочности, что позволяет проектировать более рациональные конструкции, обладающие большей надежностью, долговечностью и ресурсом.

В очень сложных случаях, встречающихся сегодня повсеместно, отказ даже одного элемента может привести к исключительно тяжелым последствиям. Поэтому основной задачей ин- женера-конструктора является, во-первых, оценка надежности на стадии проектирования при выбранных геометрических и физических параметрах конструкции, а во-вторых, выбор наилучших конструктивных и механических параметров системы с учетом таких факторов, как стоимость, надежность, вес и т.д., обеспечивающих заданную надежность.

Первым этапом проектирования элемента является определение окружающих условий, так как они являются важнейшим фактором при расчетах. При расчете прочности необходимо учитывать свойства используемого материала и распределение вероятности таких факторов, влияющих на прочность, как, например, чистота и способ обработки поверхности. При расчете напряжений необходимо учитывать статистические данные о нагрузках и распределение факторов, влияющих на напряжения, таких, например, как концентрация напряжений и температура. Путем таких расчетов можно найти распределение напряжений и прочности и их параметры. Затем эти распределения используются для вычисления показателя надежности элемента, который гарантирует работоспособность конструкции.

Очевидно, что теория надежности конструкций должна опираться на статистический анализ свойств материала и геометрических размеров конструкций, внешних воздействий, а также на результаты исследования поведения конструкций при случайных воздействиях. Весь расчет может состоять из двух этапов. Сначала методами теории упругости, пластичности, строительной механики и т.д. определяются условия, при кото-

114

рых конструкция будет находиться в предельном состоянии, а затем рассчитывается вероятность того, что это предельное состояние не будет достигнуто за время эксплуатации.

В зависимости от характера предельного состояния и нагружения конструкции расчет надежности может быть выполнен различными методами.

Если нагружение конструкции силами, которые имеют характер случайных величин, является дискретным (однократным или многократным), то в этом случае вопросы надежности решаются в рамках теории вероятности. Однако чаще внешние воздействия являются стационарными или нестационарными непрерывными случайными процессами, при этом поведение системы при этих воздействиях и накопление повреждений будет также случайным процессом. В этом случае все вопросы надежности должны рассматриваться на уровне теории случайных процессов.

4.2. Надежность систем при одноразовом нагружении (в рамках случайных величин)

4.2.1. Определение надежности при заданных параметрах конструкций

Рассмотрим сначала задачу определения надежности при одноразовом нагружении и при малом числе последовательных нагружений, когда накоплением повреждений в конструкции можно пренебречь. В этом случае решение можно вести в рамках теории случайных величин. Чтобы найти вероятность P , введем новую случайную величину Z S R . Тогда надежность (вероятность безотказной работы) можно записать в виде:

Практически все используемые методы определения надежности представляют собой разнообразные методы вычисле-

115

ния интеграла (4.3) в различных видах его описания [18], например, метод «горячих точек» (метод первого приближения) и разные варианты метода статистических испытаний.

Остановимся на наиболее удобном и простом методе, который предполагает знание законов распределения всех случайных величин. В этом случае для получения численных значений вероятности надо знать (определить) закон распределения случайной величины Z или определить совместный закон распре-

Например, если предельные и рабочие характеристики можно описать нормальным (гауссовским) законом распределения, то имеем:

Определив f (z) , находим вероятность безотказной работы (надежность)

H P(z 0) f (z)dz.

0

Введем новое обозначение:

z mz ; d dz ; dz z d .

z z

116

Тогда

График подынтегральной функции показан на рис. 4.1.

Рис. 4.1

Функция f (z) симметрична относительно вертикальной оси, поэтому

Значение интеграла можно взять из таблицы (прил. 4). Приведем ряд примеров определения надежности и оценки

влияния разброса вероятностных характеристик на надежность конструкции.

Пример 4.1 [12]. Известно, что напряжение, возникающее в элементе двигателя, имеет нормальное распределение и сле-

117

дующие числовые характеристики: mR 350 МПа, R 40 МПа.

Вследствие изменения температуры и некоторых других факторов прочность материала имеет случайные значения, которые можно описать нормальным законом распределения с параметрами mS 820 МПа и S 80 МПа. Определить вероятность

безотказной работы и проанализировать влияние качества материала на значение вероятности.

Решение. Аналогом обычного коэффициента безопасности в данном случае является коэффициент n , равный отношению математических ожиданий mS и mR :

n mS 820 2,34. mR 350

Для вычисления вероятности безотказной работы определим 0 :

По таблице для нормального распределения (прил. 4) находим вероятность безотказной работы: Н = 0,999999.

Допустим теперь, что плохая термическая обработка и большие колебания окружающей температуры вызывают увеличение среднего квадратичного отклонения прочности элемента до 150 МПа. В этом случае вычисленный коэффициент безопасности n остается без изменения, а вероятность безотказной работы меняется. Определяем 0 для этого случая: 0 = 3,03,

и находим по таблице Н = 0,99878, т.е. надежность снижается вследствие изменчивости прочности материала.

Пример 4.2. Оценить вероятность безотказной работы системы, представленной на рис. 4.2, если размеры круглых поперечных сечений стержней и нагрузка являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону.

118

Материал всех стержней одинаковый. Отношение радиусов поперечных сечений r2/r1 = 1,14. Радиусы поперечных сечений являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону ( mr2 1 см, r2 0,1). Нагрузку q

можно описать с помощью параметров:

mq = 30 кН, q = 1,0 кН. Предельные ха- Рис. 4.2 рактеристики материала стержней:

mS 110 МПа, S = 30 МПа.

Решение. Определяем растягивающие усилия в каждом из стержней с помощью уравнений равновесия, тогда N1 N2

q / 2cos . Напряжение в каждом из стержней k Nk / Fk

(k = 1,2; Fk – площадь сечения k-го стержня). Поскольку радиус первого стержня меньше радиуса второго, то максимальные напряжения будут в первом стержне, их и будем принимать в качестве максимальных рабочих характеристик R системы:

Определим численные значения записанной величины как функции двух других случайных величин, используя метод раз-

ложения в ряд (см. (1.27), (1.28)):

Здесь производные берутся при средних значениях случайных величин, при этом учтем, что

119

Для оценки надежности определяем 0 , затем по таблице находим Н: 0 = 1,1528, Н = 0,8749.

Рассмотрим теперь случай, когда предельные и рабочие характеристики описываются произвольными законами распределения.

Пример 4.3. Прочность элемента имеет нормальное распределение с параметрами mS 100 МПа и S 10 МПа. Возни-

кающее в элементе напряжение имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием 50 МПа. Определить вероятность безотказной работы элемента.

Решение. Выведем предварительно необходимые соотношения. В случае произвольных законов распределения случайных величин оценить вероятность безотказной работы можно не только по формуле (4.3), но и по эквивалентным ей соотношениям [12]:

Плотность экспоненциального распределения напряжения имеет вид:

где λ – параметр распределения. При R ≥ 0

120