Моделирование систем

4. Любую размерную функцию размерных величин можно представить в виде произведения размерного степенного комплекса, составленного из этих величин и безразмерной функции этих же величин:

y = F(x1, x2, …, xn), [y] [1],

[xi] = [1], i = 1:n, [y] = [k],

F(x1, x2, …, xn) = kФ(x1, x2, …, xn),

где [Ф] = 1.

3.6. Определение критериев подобия

Теория подобия – это теория, дающая возможность установить наличие подобия или позволяющая разработать способы получения его.

Основной характеристикой подобных объектов являются критерии подобия, с помощью которых устанавливаются закономерности взаимооднозначного соответствия модели и оригинала.

Критерии подобия – это идентичные по форме алгебраической записи и равные численно для подобных объектов безразмерные степенные комплексы определенных групп параметров, характеризующих эти объекты.

Пусть объект описывается уравнением f( p1, p2, …, pn) = 0,

где f – функциональная зависимость между параметрами объекта; pi – параметры объекта. Данное уравнение – полное физическое уравнение, характеризующее объект во всех ситуациях.

В частных случаях некоторые параметры при некоторых условиях остаются постоянными, тогда данное уравнение будет называться неполным физическим уравнением.

81

Пусть Pj = const = k1, тогда

f( p1, p2, …, pk, pk+1, …, pn) = 0,

где {p1, …, pn} – все параметры; {p1, …, pk} – группа независимых параметров; {pk+1, …, pn} – группа зависимых параметров; n – общее количество всех параметров; k – количество независимых параметров, которое определяется как ранг матрицы, состоящей из степеней единиц измерения параметров; (n – k) – количество зависимых параметров; количество критериев подобия для данной системы i 1: (n k) .

Критерии подобия могут быть установлены при известном и неизвестном математическом описании объекта.

3.6.1. Определение критериев подобия при известном математическом описании

По четвертому свойству степенных комплексов любая размерная функция может быть представлена в виде произведения степенного комплекса размерной величины и безразмерной функции этих же величин:

где Ф(р1, р2, …, рn) – безразмерная функция.

Из свойств степенных комплексов безразмерная функция размерных величин может быть представлена в виде функции безразмерных степенных комплексов:

где 1, 2, …, n – безразмерные степенные комплексы, кото-

рые называются критериями.

82

Пример 1. Дана электрическая цепь, состоящая из последовательного соединения конденсатора с емкостью С и активного сопротивления R, которая включается на постоянное напряжение Е (при нулевых начальных условиях). Процесс изменения напряжения uС(t) на конденсаторе определяется следующим дифференциальным уравнением:

Решение уравнения (3.21) имеет вид

Согласно правилу Фурье все члены уравнения, описывающего какой-либо физический процесс, имеют одинаковую размерность. Поэтому уравнение (3.21) можно привести к безразмерному виду, если разделить его на один из членов, в частности на uC:

В теории подобия широко используется метод интегральных оценок – способ определения критериев подобия по известному математическому описанию процесса путем приведения его к безразмерному виду, при котором символы дифференцирования и интегрирования в выражениях для определения критериев подобия опускаются.

Данный способ базируется на основных свойствах дифференцирования:

...................................

83

Тогда критериальное уравнение будет иметь вид

3.6.2. Определение критериев подобия при неизвестном математическом описании

Если неизвестно математическое описание объекта, то используется следующий алгоритм:

1. Выявление параметров Pi , i 1: n , характеризующих процесс в объекте.

2.Составление полной матрицы размерности параметров (матрица А).

3.Определение количества зависимых и независимых

параметров (k, m n k) .

4. Представление зависимых параметров в виде

5. Определение критериев подобия:

Данный алгоритм можно применять и для объектов с известным математическим описанием. В этом алгоритме при-

меняется метод анализа размерностей физических вели-

чин Pi , определяющих характер процесса. Возможность ус-

тановления критериев подобия, когда вид функциональной зависимости неизвестен, создает предпосылки для представления данных экспериментального исследования в обобщенной форме и распространения результатов единичного эксперимента на группу или класс подобных процессов.

Допустим, что в качестве основных единиц измерения выбраны [a, b, , q] . Тогда размерность каждого параметра

определяется по формуле

86

Решив эти системы уравнений, находим критерии подобия по формулам (3.38):

88

3. Система является линейно зависимой (количество строк не равно количеству столбцов). Исключая зависимые строки 7, 6 и 4 (строка 7 является линейной комбинацией строки 3; строка 6 может быть представлена как разность строк 5 и 4; строка 4 = строка 2 + строка 3 – строка 1), получаем матрицу

89

Исключая из матрицы столбец 1, являющийся зависимым от столбца 2 (столбец 2 = столбец 1·0,5), получаем матрицу

Ранг данной матрицы равен 3, тогда количество независимых параметров k = 3, а количество критериев m n k

7 3 4 .

4.Группа независимых параметров [i, U , t] , соответст-

вующая матрице

Тогда зависимые переменные – это [L, C, R, ω] .

5. По формуле (3.38) составим выражения для критериев подобия:

i x4 U y4 t z4

90