Моделирование систем

стояние некоторых элементов этих устройств как физических систем. В ЦВУ математические операции сводятся к арифметическому сложению или вычитанию, как это делается вручную.

ВАВУ результат математической операции получается сразу же после ввода исходных данных и изменяется непрерывно по мере изменения этих данных. В ЦВУ математические операции выполняются в течение определенного промежутка времени, длительность которого зависит от их сложности. В процессе выполнения операции значения исходных данных, как правило, изменяться не могут. Новые данные могут быть введены только после окончания вычислений при прежних данных.

ВАВУ точность выполнения математических операций ограничена технологией изготовления различных элементов, реализующих эти операции. Практически достижимая наименьшая погрешность АВУ 0,1...0,01 %. В ЦВУ точность математических операций определяется в основном количеством разрядов при числовом представлении математических величин.

5.2. Аналоговые вычислительные машины

Аналоговое моделирование представляет собой математическое моделирование систем на аналоговых вычислительных машинах (АВМ). В этих машинах информация представляется в непрерывной форме в виде меняющихся во времени аналоговых величин (напряжений).

Конструктивно АВМ (рис. 5.1) состоит из отдельных операционных блоков, каждый из которых выполняет одну математическую операцию.

Рис. 5.1. Структура АВМ

211

Коммутационное поле АВМ обеспечивает коммутацию между отдельными операционными блоками.

Для решения задачи блоки коммутируются в определенной последовательности.

В аналоговых моделях отражение структуры объекта достигается моделированием по структурным схемам.

Достоинства АВМ:

1)высокое быстродействие;

2)простота программирования, так как не требуется специальный язык программирования;

3)невысокая стоимость АВМ.

Недостатки АВМ:

1)невысокая точность решения (обусловлена свойствами функциональных преобразователей и их температурной нестабильностью);

2)одна независимая переменная;

3)ограниченный класс задач (решаются только обыкновенные дифференциальные уравнения);

4)трудность перехода от одной задачи к другой (необходимо менять схему набора);

5)низкая степень автоматизации получения результатов.

5.2.1.Масштабирование переменных для АВМ

При решении задачи средствами АВМ возникает необходимость масштабирования переменных, так как диапазон изменения моделируемых величин велик, а диапазон изменения напряжения операционных элементов АВМ гораздо ниже.

Приходится также масштабировать и время изменения переменных, так как реальное время моделируемых процессов может изменяться в интервале от нескольких часов до микросекунд, а время воспроизведения на АВМ ограничивается интервалом в несколько минут, что обусловлено необходимостью регистрации решения и температурной стабильностью установки.

Аналоговые величины масштабируются следующим образом:

212

где Mx – масштаб переменной; Umax – максимальное значение напряжения для АВМ; Xmax – максимальное значение физической величины.

Аналогично избирается масштаб времени:

где M – масштаб изменения переменной по времени; – время изменения машинных переменных; t – реальное время изменения физических величин.

С введением масштабов устанавливается связь между

5.2.2. Операционный усилитель как основной элемент АВМ

Из курса «Электроника» известно назначение, устройство и принцип работы операционного усилителя (ОУ). Рассмотрим применение ОУ в звеньях аналоговых вычислительных машин, совокупность которых образует операционные блоки АВМ.

Для простоты и наглядности описания физических процессов, на которых основаны принципы работы звеньев, идеализируем параметры операционного усилителя. Предположим, что его коэффициент усиления и входное сопротивление бесконечно большие (рис. 5.2).

213

Если в прямой и обратной цепи имеются реактивные сопротивления, то соотношения сохраняются, но используют оператор полного сопротивления. Закон Ома в операторной форме имеет вид

Таким образом, передаточная функция ОУ, охваченная обратной связью (ОС), зависит от операторного соотношения в цепи ОС к операторному отношению прямой цепи, т.е.

5.2.3. Линейные операционные элементы

Линейные операционные элементы составляют набор, необходимый для решения линейных дифференциальных уравнений.

5.2.3.1. Пропорциональный (масштабирующий) усилитель

Принципиальная схема пропорционального (П) звена представлена на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Принципиальная схема пропорционального звена

215

Полученное выражение доказывает, что данное звено обладает суммирующими свойствами. Условное представление суммирующего усилителя на схемах набора показано на рис. 5.8.

5.2.3.4. Интегрирующее звено

Принципиальная схема интегрирующего звена представлена на рис. 5.9.

Рис. 5.9. Принципиальная схема интегрирующего звена

218

5.2.3.5. Интегрально-пропорциональный усилитель

Интегрально-пропорциональный усилитель в технической литературе принимается как апериодическое или инерционное звено. Принципиальная схема приведена на рис. 5.12.

Рис. 5.12. Принципиальная схема апериодического звена

Передаточная функция интегрально-пропорционального звена

ного и реактивного (емкостного) сопротивлений.

Отношение RÎ Ñ есть коэффициент передачи k,

Râõ

а произведение RÎ ÑCÎ Ñ – постоянная времени Т апериодического звена.

220