Моделирование систем

8. Рассчитываем функцию u1 = u2(tм), подобную задан-

В данном случае материальная подобная модель, согласно вышеприведенной терминологии, является формальной.

3.18. Классификация видов подобия и моделирования

Схема классификации (рис. 3.12) основывается на взаимосвязи понятий моделирования и подобия, в соответствии с которой модель и оригинал находятся между собой в отношении подобия (подобны друг другу).

Классификация указывает, какие виды подобия и соответствующего им моделирования могут быть использованы при решении практических задач.

Первоначально виды подобия и моделирования разделяются по признаку полноты учета и воспроизведения на модели параметров оригинала и процессов в нем, т.е. разделяются на полное и неполное подобие и на соответствующие им виды моделирования (полное и неполное). Как полное, так и неполное подобия могут быть приближенными.

Далее виды моделирования разделяются на мысленное (теоретическое и аналитическое) и материальное в зависимости от способа их материальной реализации.

Мысленное моделирование.

1.Мысленное теоретическое моделирование – это моде-

лирование на основе мысленных представлений, т.е. построение модели происходит в сознании человека.

2.Мысленное аналитическое моделирование – модели-

рование, использующее аппаратуру для подтверждения мысленных представлений.

141

Мысленное моделирование подразделяется также на наглядное, знаковое и математическое мысленное.

• Наглядное моделирование – создание наглядных моде-

лей, отображающих явления и процессы, протекающие в объекте. К этому виду моделирования относятся:

гипотезы – это мысленные представления форм воображаемых моделей, например моделей атомов. Гипотетическое моделирование используется для построения формальных моделей;

макеты – это модели, дающие геометрическое подобие (например, уменьшенная копия здания).

•Знаковое моделирование – создание модели, основные свойства которой выражаются с помощью системы знаков или символов, т.е. вводятся условные обозначения отдельных понятий знаками (например, формула химического соединения). К знаковому моделированию относятся:

моделирование на основе условно-знаковых представле-

ний. Например, если состояние или соотношение химических элементов во время реакции описать в виде условных знаков, то получим модель химической реакции, которая будет представлена условно;

моделирование на основе топологических представлений; моделирование на основе графовых представлений.

•Математическое мысленное моделирование – это мо-

делирование на основе схем замещения, алгоритмов и программ, а также структурных схем. Этот вид моделирования устанавливает связь между логическим и чувственным, т.е. подкрепляет абстрактное мышление привычными образами, которые помогают исследователю воспринять и анализировать явления.

Схемы замещения. Например, схемы замещения трансформаторов и электродвигателей, которые отображают мате-

матические уравнения и их физическую интерпретацию с помощью более простых и наглядных объектов. Возьмем, к примеру, схему замещения преобразователь – двигатель постоянного тока (ДПТ), приведенную на рис. 3.13 (еп, ед – противоЭДС преобразователя и двигателя).

143

Материальное моделирование – это реально-практиче-

ский вид моделирования. Как мысленное, так и материальное виды моделирования могут быть либо детерминированными, т.е. предполагающими отсутствие случайных воздействий (возмущений); либо стохастическими, т.е. отображающими вероятностные события; либо обобщенными, т.е. отображающими оригинал (явления, происходящие в нем) условно.

• Натурное моделирование – это моделирование, пред-

полагающее проведение исследований на реальном объекте. К такому моделированию относятся:

производственный эксперимент – эксперимент, прово-

димый во время производственного процесса на действующем предприятии; может рассматриваться как модель, отвечающая задачам производства, его развития и совершенствования;

обработка и обобщение натурных данных, т.е. сведений о явлениях или процессах, происходящих в натуре, с целью построения соответствующих моделей;

обобщение производственного опыта, в отличие от мо-

делирования на основе производственного эксперимента (который специально организуют) пользуются имеющимся материалом. Например, в отделах главных энергетиков любого предприятия скапливаются данные о потреблении предприятием электрической энергии. Накопление этих данных специально не планировалось, но на их основе можно построить модель динамики потребления электроэнергии предприятием.

• Физическое моделирование – это вид моделирования,

при котором исследование проводится на установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием. К этому виду моделирования относятся:

временное моделирование – если исследуются процессы, протекающие во времени;

пространственное моделирование – если моделирова-

ние предназначено для изучения процессов, действие которых не рассматривается во времени, а только в пространстве;

145

В итоге получили критериальное уравнение. Выбираем критерий (всего критериев – n+m):

Если в качестве начальных условий x = 1, то y(t) = h(t) – условие однозначности:

следовательно, одним из критериев подобия линейных САУ является переходная характеристика:

Если перейти к относительной переходной характеристике h*

то мы получаем общий критерий подобия для линейных САУ – это относительная переходная характеристика.

Пример. Пусть дана САУ, которая описана уравнением второго порядка

4. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ

Получение моделей элементов в общем случае – процедура неформализованная. Основные решения, касающиеся выбора вида математических соотношений, характера используемых переменных и параметров, принимает проектировщик. Моделирование элементов обычно выполняется специалистами конкретных технических областей с помощью традиционных средств экспериментальных исследований и средств САПР.

Методы получения функциональных моделей элементов делятся на теоретические и экспериментальные.

Теоретические методы основаны на изучении физических закономерностей протекающих в объекте процессов, определении соответствующего этим закономерностям математического описания, обосновании и принятии упрощающих предположений, выполнении необходимых преобразований и приведении результата к принятой форме представления модели.

Экспериментальные методы основаны на использова-

нии внешних проявлений свойств объекта, фиксируемых во время эксплуатации однотипных объектов или при проведении целенаправленных экспериментов.

4.1. Планирование эксперимента

Планирование эксперимента было предложено Р. Фишером в 1930-х гг. для решения агробиологических задач. Фишер положил начало новому разделу математической статистики – дисперсионному анализу, позволяющему оценивать вклад, вносимый отдельными факторами в суммарную дисперсию. После Второй мировой войны планирование эксперимента стало применяться в химии, технической физике, металлургии и т.д. для решения широкого круга задач. Дисперсионный и регрессионный анализы, базирующиеся на планировании эксперимента, переплелись весьма сложным образом, и сейчас трудно провести четкую границу между этими разделами математической статистики.

149

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. При этом должны соблюдаться следующие требования:

•стремление к минимизации общего числа опытов;

•одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам – алгоритмам;

•использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;

•выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.

Поиск оптимальных условий, построение интерполяционных формул, выбор существенных факторов, выбор наиболее приемлемых из некоторого множества гипотез о механизме явлений и т.д. – вот примеры задач, при решении которых применяется планирование эксперимента. Можно сказать, что там, где есть эксперимент, имеет место и наука

оего проведении – планирование эксперимента.

На математическом языке задача планирования эксперимента формулируется так: на каждом этапе исследования нужно выбрать оптимальное, в некотором смысле, расположение точек в факторном пространстве, для того чтобы получить некоторое представление о функции отклика.

где y – параметр процесса, подлежащий оптимизации; x1, x2 ,..., xn – независимые переменные, которые можно варь-

ировать при постановке экспериментов.

Назовем x1, x2 ,..., xn факторами, а координатное пространство с координатами x1, x2 ,..., xn – факторным про-

странством. Геометрический образ, соответствующий функции отклика, назовем поверхностью отклика.

При использовании статистических методов математическая модель чаще всего представляется в виде полинома-

150