Моделирование систем

Таблица 4.7

171

b0 = 0,2128, b1 = 0,0724, b2 = –0,00575, b3 = 0,1363,

b4 = –0,00088, b5 = –0,0129, b6 = –0,0041, b7 = 0,00625.

Оценим значимость коэффициентов по критерию Стьюдента. Для этого по формуле (4.36) определим ошибку коэффициентов:

Табличное значение критерия Стьюдента t0,05 8 2,31.

Коэффициенты b2, b4, b6, b7 незначимы, так как составленное для них t-отношение меньше табличного. После исключения незначимых коэффициентов уравнение регрессии примет вид

y 0,2128 0,0724x1 0,1363x3 0,0129x5.

Проверим адекватность этого уравнения эксперименту по критерию Фишера. Дисперсию адекватности определяем по формуле (4.39):

По формуле (4.38) рассчитываем F-отношение:

f1 = 4; f2 = 8 F0,95(4,8) = 3,8.

F < F0,95(4,8) и уравнение регрессии адекватно эксперименту. Используем полученное уравнение для крутого восхождения по поверхности отклика для увеличения оптической плотности стекла. При крутом восхождении незначимые параметры были зафиксированы на нулевом уровне, время выдержки на нижнем уровне 1,5 ч. Таким образом, изменялись только исходная концентрация хлора (х1) и соотношение Ag:Cl (х3). Первые три опыта при крутом восхождении

(9,10,11) были «мысленные» (см. табл. 4.7).

4.1.6.2. Метод крутого восхождения

На первом этапе исследователь ищет лишь направление движения к области экстремума, варьируя в каждом опыте сразу всеми факторами. Для этого поверхность отклика изучается только на небольшом участке и строится для этого

участка линейная модель y b0 b1õ1 b2 õ2 ... bk õk . Анализ уравнения позволяет наметить направление

движения из исходной точки, наиболее быстро приводящее к оптимизации выбранного параметра. В дальнейшем на каждом этапе в соответствии с результатами, полученными на предыдущих этапах, проводится небольшая серия опытов, результаты которых вместе с интуитивными решениями определяют следующий шаг. Эта процедура заканчивается в области экстремума, где проводится несколько большая серия опытов. Поверхность отклика описывается нелинейными функциями.

Анализ нелинейного уравнения позволяет точно определить координаты экстремума или сделать вывод, что экстремума не существует, а также наметить последующий путь оптимизации. При традиционном экспериментировании ис-

173

следователь пойдет по пути S2–S3–S4–S5–S6 и нерационально потратит время и средства.

При методе крутого восхождения вблизи т.S1 следует провести четыре опыта, что позволит рассчитать коэффици-

енты регрессии уравнения y b0 b1õ1 b2 õ2 ... bk õk .

Коэффициенты b1, b2 определяют направление градиен-

та, так как y / x1 b1; y / x2 b2... y / xk bk . Сделав несколько опытов в этом направлении, исследователь выбирает новую исходную т. S7, возле которой проводит серию из че-

тырех опытов, рассчитывает коэффициенты y b0 b1õ1b2 õ2 и осуществляет движение по градиенту этого уравне-

ния до попадания в область оптимума. После чего строится и анализируется нелинейная модель этой области.

При наличии линейной модели для осуществления движения по градиенту значения факторов необходимо изменять пропорционально величинам коэффициентов b1, b2, …, bk с учетом их знаков.

Шаги в изменении факторов рассчитываются в натуральном масштабе. Для этого вначале определяются произведения коэффициентов на соответствующие интервалы

варьирования факторов, т.е. bi xi , а затем уже назначаются

шаги пропорционально этим произведениям.

Величины bi xi для данного случая подсчитаны

в табл. 4.8. При крутом восхождении незначимые параметры были зафиксированы на нулевом уровне.

Таблица 4.9 Значения оптической плотности при крутом восхождении

В качестве шагов взяты величины, в 2,5 раза большие произведений bi x j . Лучший результат получен в опы-

те № 12 (табл. 4.9). Дальнейшее увеличение концентрации хлора и отношения Ag:Cl ухудшает фотохромные свойства стекла. В связи с этим были реализованы пропущенные опыты № 10 и 11. Получены следующие значения оптической плотности стекла:

у10 = 0,496, у11 = 0,561.

Таким образом, в качестве оптимального рекомендуется состав стекла, полученный в опыте № 11.

По величинам bi xi определяются шаги в изменении

факторов. Из технологических соображений 1 = 10. Шаги для остальных факторов определяются из пропорций:

175

4.1.6.3. Планирование эксперимента при определении угла сдвига ЭДС δ синхронного генератора

Рассмотреть изменение параметра режима электрической системы (угла сдвига ЭДС синхронного генератора относительно напряжения шин) в зависимости от изменения параметров системы:

где Хг – реактивное сопротивление статора (х1); Rã – активное сопротивление статора (х2); Õë – реактивное сопротивление линии (х3); Rë активное сопротивление линии (х4); Òc – постоянная времени цепи возбуждения при разомкнутой цепи статора (х5), с; T j – постоянная инерции (х6), с.

В скобках указаны принятые нами обозначения факторов хј. Параметры системы представлены в виде критериев

В этом случае рассматриваемая зависимость будет иметь

вид

Если для исходной зависимости применить ПФЭ, то число опытов N = 26 = 64 (6 – число факторов).

При использовании критериев подобия требуется постановка восьми опытов (число факторов – 3). Исходные значения факторов и интервалы варьирования представлены

втабл. 4.10.

Ре ш е н и е. Для определения коэффициентов линей-

ного уравнения регрессии используем для критериев 1, 2 ,3 ПФЭ 23 (значения факторов оставим в обозначениях критериев):

176

Таблица 4.10

Основной уровень и интервалы варьирования эксперимента

óˆ bî b1 1 b2 2 b3 3 b4 1 2 b5 1 3 b6 1 2 3 . (4.44)

Согласно методам планирования эксперимента составим таблицу-матрицу (табл. 4.11) планирования эксперимента.

Таблица 4.11

в ней указаны не только значения критериев подобия, но и значения параметров, кодированные значения, соответствующие данному значению критериев подобия.

В соответствии с планом эксперимента проведены одна серия и два дублирования опытов. Проверка однородности дисперсий Si2 по критерию Кохрена осуществлялась так же,

0,414. Табличное значение критерия Кохрена для уровня значимости p = 0,05 и чисел степеней свободы f1 = 1 и f2 = 8

следующее: G0,95 1,8 0,6798 . Значение G < G0,95 , поэтому можно сделать вывод о воспроизводимости опытов. В соот-

178

ветствии с матрицей планирования были проведены все опыты и определено критериальное уравнение регрессии в виде

y 76,09 1,316 1 0,683 2 0,02 3 0,0055 1 2

0,0065 1 3 0,004 2 3 0,00075 1 2 3.

При проверке коэффициентов уравнения регрессии на значимость по критерию Стьюдента определяем ошибку коэффициентов:

и составляем t-отношение для всех коэффициентов уравнения регрессии. Табличное значение критерия Стьюдента

t0,05 8 2,31. Коэффициенты регрессии

3 , 1 2 , 1 3 , 2 3 , 1 2 3

незначимы, так как составленные для них t-отношения меньше табличного. После исключения незначимых коэффициентов уравнение регрессии примет вид

y 76,09 1,316 1 0,683 2 .

Проверим адекватность этого уравнения эксперименту по критерию Фишера. Определим дисперсию адекватности:

Табличное значение критерия Фишера F0,95 5,8 3,7. F F0,95 и уравнение регрессии адекватно эксперименту.

179

4.1.7. Проектирование двигателя для электромобиля

Проектируя двигатель, выберем в качестве конструктивных параметров такие характеристики, как число витков обмотки ротора и статора, величину зазора между ротором и статором, а также диаметр ротора, форму и размеры пазов для укладки обмотки. Показателями эффективности (критериями), которые хотелось бы уменьшить, служат стоимость изготовления самого двигателя, затраты электроэнергии в течение определенного срока его работы.

Технологические ограничения охватывают данные о магнитных, тепловых и прочностных характеристиках стали и меди, используемых для производства двигателей, а также требования к толщине листового железа, служащего для изготовления пакетов ротора и статора.

Показатели качества, так же как и ограничения, зависят не только от того, как будет сконструирован сам двигатель, но и от того, как будут спроектированы система питания и другие узлы электромобиля. Поскольку параметры этих узлов определяются авторами соответствующих проектов, то для нас они неконтролируемые.

Рассмотрим различные пути, позволяющие свести полученную более общую модель к первоначальной.

Сначала обратимся к неконтролируемым факторам. Предположим, что никакой иной информацией о величинах

q1, …, qk, кроме как об области D E k их изменения в k-мерном пространстве, мы не имеем. Тогда выбор конструктивных параметров x = (х1, …, хп) должен обеспечивать выполнение всех условий qi (x, q) ≤ 0, i = 1, 2, ..., т при любой реализации Q = (q1, …, qk).

Таким образом, если через Gi (q) обозначить множество допустимых выборов конструктивных параметров при данной реализации q набора значений неконтролируемых фак-