Моделирование систем

Алгоритм может быть представлен в трех основных формах: аналитической, словесной и структурной.

Аналитическая форма алгоритма – это выражение его в виде явной функции соответствующих аргументов или в виде рекуррентной формулы. Форма отличается большой компактностью, но возможности применения ее ограничены.

Словесная форма алгоритма – это описание его на есте-

ственном языке, обстоятельная инструкция для лица, решающего задачу вручную на бумаге. Форма является универсальной, но отличается громоздкостью и отсутствием наглядности.

Структурная форма алгоритма – это описание его в виде структурной схемы, состоящей из отдельных блоков, соединенных прямыми линиями. Каждый блок соответствует некоторой операции над числами. Форма является универсальной, компактной и наглядной. Поэтому она используется наиболее часто.

В целом процесс моделирования на ЦВМ состоит из следующих этапов:

1.Составление исходного алгоритма, т.е. алгоритмизация математического описания оригинала.

2.Составление промежуточного алгоритма на алгоритмическом языке.

3.Получение машинного алгоритма.

4.Отладка программы.

5.Машинная реализация решения задачи.

Первые четыре подготовительных этапа значительно упрощаются благодаря применению типовых алгоритмов и соответствующих им стандартных программ, заранее составленных и многократно используемых для решения таких задач, как вычисление элементарных функций, определение нулей полиномов, перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Комплекс программных средств, предназначенных для снижения трудоемкости подготовительной работы, повышения эффективности использования машины и облегчения ее

241

эксплуатации, называется математическим обеспечением ЦВМ.

При цифровом моделировании наиболее часто приходится иметь дело с решетчатыми функциями f (k) , соответ-

ствующими непрерывным функциям непрерывного аргумента. Непрерывная функция, совпадающая с дискретами решетчатой функции, называется огибающей этой решетчатой функции. Каждая непрерывная функция f (t) может служить

огибающей различных решетчатых функций fi (k) f Tik , отличающихся параметром Ti – периодом дискретизации функции f (t) . Каждая решетчатая функция может иметь

множество огибающих линий.

Различным математическим формам и представлениям, характеризующим или определяющим непрерывную функцию f (t), можно поставить в соответствие аналоги, характе-

ризующие или определяющие решетчатую функцию f(k).

является первое разностное уравнение функции f [k]f k 1 f k , т.е. совершается переход к численным ме-

тодам решения.

Таким образом, процесс цифрового моделирования состоит из четырех этапов:

1.Выбор наиболее подходящей математической модели. Этот этап должен обеспечить получение наиболее удачной математической модели и выработку требований к условиям модели.

2.Подготовка математической модели для моделирования. Задача решается приведением к структурной схеме дискретного процесса и приведением системы уравнений к дискретной форме. Этот этап завершается составлением математического описания и структуры схемы всей дискретной системы. Структурная схема полученной дискретной системы должна быть идентична структурной схеме непрерывной системы по потоку информации.

242

3. Написание программы для осуществления математического моделирования. На этом этапе требуется строгое соблюдение временных соотношений в синтезируемой математической модели. Как правило, наибольшее число проблем возникает при переходе от задач 2-го этапа к задачам 3-го этапа.

4. Испытание, проверка и отладка модели, после которого получается законченная модель.

5.3.1. Приведение дифференциальных уравнений к виду, удобному для цифрового моделирования

При цифровом моделировании важным является выбор способа математического описания моделируемой системы. Чаще этот выбор является многовариантным и зависит от многих, в том числе и субъективных факторов. Например, динамические системы автоматического регулирования в качестве математического описания используют дифференциальные уравнения, которые могут быть:

–составлены непосредственно по элементам системы;

–составлены по передаточным функциям;

–основаны на понятиях пространства состояний.

При выборе формы дифференциальных уравнений надо иметь «физическое чутье» моделируемого процесса и понимать процедуру его математизации. Кроме того, необходимо учитывать этап реализации.

Проанализируем способы записи дифференциальных уравнений на примере якорной цепи двигателя постоянного тока.

В качестве примера рассмотрим два варианта математического описания – по передаточным функциям и с помощью метода прямого программирования.

I. Передаточная функция якорной цепи имеет вид

Переход к дифференциальному уравнению:

243

Во временной области уравнение (5.72) будет иметь вид

Из выражения (5.73) можно получить дифференциальное уравнение в привычной для большинства пользователей форме записи:

Полученное дифференциальное уравнение представляет собой математическое описание для якорной цепи, пригодное для построения цифровой модели. Оно в полной мере отвечает приведенному выше первому критерию – наглядно отражает физическую сущность объекта. Не решая уравнения, можно сказать, что:

1) решение представляет собой возрастание тока якоря I ÿ (при нулевых начальных условиях и скачке входного па-

раметра – напряжения) до некоторой установившейся величины;

2) установившаяся величина тока якоря известна – это отношение напряжения на якоре к его активному сопротив-

лению Uÿ Rÿ , так как только в этом случае при реальных параметрах Tÿ и Rÿ производная равна нулю;

3) скорость переходного процесса определяется величиной Tÿ , чем меньше постоянная времени якоря, тем процесс

протекает быстрее.

II. Составим математическое описание, использующее понятие метода переменных состояний (прямое программирование).

Исходная передаточная функция якорной цепи ДПТ:

244

Окончательно, производя замену по уравнению (5.82), получаем дифференциальное уравнение:

На основе соотношения (5.79) получим алгебраическое уравнение для тока якоря ДПТ:

Необходимо будущую систему уравнений, описывающую якорную цепь ДПТ, дополнить дифференциальным уравнением, имитирующим входной сигнал (ступенька):

Итак, математическое описание, пригодное для создания модели, использующее метод пространства состояний, имеет вид

Такое описание апериодического звена (якорной цепи ДПТ) наглядно не отображает протекающих физических процессов, оно имеет математическое выражение в примере

246

моделирования по передаточным функциям. Необходимо также учитывать, что формализация форм представления сигналов в системе продолжается дальше и приходится иметь дело с матрицей коэффициентов и матрицей перехода, которые еще больше оторваны от физической реальности объекта.

5.3.2. Структурирование при цифровом моделировании

Как уже отмечалось, для успешного моделирования (особенно сложных систем) желательно в той или иной мере структурировать объект. Для этого объект разбивается на блоки.

Разумеется, можно использовать традиционный путь: используя структурную схему системы регулирования, свернуть ее по правилам теории автоматического регулирования, получить общую передаточную функцию, а затем получить общее уравнение. Однако это не будет наглядной моделью, отражающей физическую реальность.

Для сравнения выберем два варианта составления дифференциальных уравнений: по отдельным звеньям и по связи их в общую цифровую модель. В качестве примера возьмем систему второго порядка (рис. 5.31).

Рис. 5.31. Структурная схема САУ

I. Выведем передаточную функцию для схемы, представленной на рис. 5.31:

На основе (5.89) получаем

От операторной формы переходим во временную область:

Введем вспомогательную переменную:

с учетом вспомогательной переменной перепишем уравне-

ние (5.91):

Таким образом, записав передаточную функцию и выполнив подстановку вспомогательной переменной, получим систему дифференциальных уравнений, описывающих свернутую систему второго порядка:

Аналогично можно составить систему уравнений для более высоких порядков.

Необходимо отметить, что замена переменной справедлива в том случае, если в числителе передаточной функции нет оператора p. Его наличие вызывает осложнение при вы-

воде общего уравнения.

II. Запишем систему уравнений для схемы, представленной на рис. 5.31.

248

Используя передаточные функции, выведем математическое описание в операторной форме:

Переход во временную область для представления математического описания в форме дифференциальных уравнений:

Математические описания (5.94) и (5.97) по форме эквивалентны. Для доказательства эквивалентности необходимо ввести в систему (5.97) промежуточную переменную

y1 1 ( y z) . После соответствующих преобразований сис-

T2

тема (5.97) будет полностью эквивалентна системе уравне-

ний (5.94).

Составление уравнений по звеньям имеет преимущество, так как не требуется вводить вспомогательные переменные; и составление уравнений по звеньям имеет наглядность физических процессов, протекающих в отдельных структурах.

5.3.4. Выбор вспомогательных переменных для передаточных функций, содержащих оператор р

в числителе

Оператор р содержится в числителе таких передаточных функций, как форсирующие звенья. Передаточная функция форсирующего звена:

249