Моделирование систем

1.11. Критерии оптимальности

Основная проблема постановки экстремальных задач заключается в формулировке целевой функции. Сложность выбора целевой функции состоит в том, что любой технический объект первоначально имеет векторный характер критериев оптимальности (многокритериальность), причем улучшение одного из выходных параметров, как правило, приводит к ухудшению другого, так как все выходные параметры являются функциями одних и тех же управляемых параметров и не могут изменяться независимо друг от друга. Такие выходные параметры называются конфликтными параметрами.

Целевая функция должна быть одна (принцип однозначности). Сведение многокритериальной задачи к однокрите-

риальной называется сверткой векторного критерия. Задача поиска его экстремума сводится к задаче математического программирования.

В зависимости от того, каким образом выбираются и объединяются выходные параметры в скалярной функции качества, различаются частные, аддитивные, мультипликативные, минимаксные, критерий формы функции и т.д.

Частные критерии могут применяться в случаях, когда среди выходных параметров можно выделить один основной параметр уi(X), наиболее полно отражающий эффективность проектируемого объекта. Этот параметр принимается за целевую функцию. Примерами таких параметров являются: для энергетического объекта – мощность, для технологического автомата – производительность. Для транспортного средства – грузоподъемность. Для многих технических объектов таким параметром служит стоимость. Условия работоспособности всех остальных выходных параметров объекта относят при этом к функциональным ограничениям. Оптимизация на основе такой постановки называется оптимизацией по частному критерию.

Достоинство такого подхода – его простота, существенный недостаток – то, что большой запас работоспособности можно получить только по основному параметру, который

51

принят в качестве целевой функции, а другие выходные параметры вообще не будут иметь запасов.

Взвешенный аддитивный критерий применяется то-

гда, когда условия работоспособности позволяют выделить две группы выходных параметров. В первую группу входят выходные параметры, значения которых в процессе оптими-

зации нужно увеличивать ó j X (производительность, по-

мехоустойчивость, вероятность безотказной работы и т.п.), во вторую — выходные параметры, значения которых следу-

ет уменьшать ó j X (расход топлива, длительность пере-

ходного процесса, перерегулирование, смещение и пр.). Объединение нескольких выходных параметров, имеющих в общем случае различную физическую размерность, в одной скалярной целевой функции требует предварительного нормирования этих параметров.

Критерий формы функции используют, когда ставится задача наилучшего совпадения заданной (эталонной) харак-

теристики óTT X , с соответствующей выходной характеристикой ó X , проектируемого объекта, где – некото-

рая переменная, например частота, время, избранная фазовая переменная. К таким задачам относятся проектирование системы автоматического регулирования, обеспечивающей требуемый вид переходного процесса по регулируемому параметру; определение параметров модели транзистора, дающих максимальное совпадение его теоретических вольт-амперных характеристик с экспериментальными; поиск параметров сечений балки, значения которых стремятся привести к наилучшему совпадению заданной эпюры напряжений с расчетной и т.п.

Мультипликативные критерии. Разделим выходные параметры объекта на три группы по типу соответствующих им условий работоспособности.

К первой группе отнесем параметры ó j , имеющие условия работоспособности вида

52

т.е. параметры, для которых желательно максимальное увеличение.

Ко второй группе отнесем параметры ó j с условиями

Для этих параметров желательна минимизация.

Третья группа будет образована параметрами ók с условиями работоспособности типа равенств

где ТТk – заданные технологические требования; ók – мак-

симально допустимое по ТЗ отклонение ók от ТТk.

Мультипликативные критерии могут применяться в тех случаях, когда в ТЗ отсутствуют условия работоспособности типа равенства и выходные параметры не могут принимать нулевые значения. Тогда целевая функция, подлежащая максимизации, имеет вид

j q 1

где в числителе перемножаются все выходные параметры с условиями работоспособности (1.14), а в знаменателе фигурируют все параметры с условиями работоспособности ти-

па (1.15).

Удобство этого критерия в том, что выходные параметры не требуют какого-либо нормирования. Однако последнее приводит к следующему серьезному недостатку.

Например, заданы условия работоспособности у1 > 9 и у2 > 9, причем у1 и у2 – конфликтные параметры и у1(х) и у2(х) таковы, что имеются точки ха и хб, в которых

53

у1(ха) = 10, у2(ха) = 10, у1(хб) = 13, у2(хб) = 8. Тогда с позицией мультипликативного критерия точка хб лучше, так как здесь

f(хб) = 13·8 = 104, f(хa) = 10·10 = 100, f(хб) > f(хa). Однако это противоречит смыслу ТЗ, так как в точке ха требования ТЗ

выполнены, а в точке хб – нет. Этот недостаток связан с неучетом в мультипликативном критерии технических требований на выходные параметры, зафиксированных в ТЗ.

Минимаксные (максиминные) критерии. Пусть усло-

вия работоспособности всех выходных параметров приведены к виду (1.15). Такое преобразование в отношении условий (1.14) было пояснено выше, а условие (1.16) преобразуется в (1.15) путем записи следующих неравенств:

ók ÒÒk ók ; ók ÒÒk ók .

Если обозначить уk1 = –уk, то вместо условия работоспособности типа равенства одного параметра получим два эквивалентных ему условия работоспособности типа неравенства для параметров уk и уk1 . Введем количественную оценку степени выполнения j-го работоспособности и обозначим ее Sj. Цели расчета совпадают с целями увеличения Sj (причем в первую очередь тех, которые являются наименьшими). Отсюда приходим к целевой функции вида

где m – количество условий работоспособности после их приведения к виду (1.15). Функция (1.18) называется функцией минимума, и поскольку требуется ее максимизация, т.е.

max min S j x , x D, j 1: m , то критерий с целевой

функцией (1.18) называется максиминным критерием. Если бы требовалось минимизировать функцию максимума, то по-

лучился бы минимаксный критерий.

В максиминном критерии нет того главного недостатка, который был присущ мультипликативному и аддитивному критериям. Здесь влияние на целевую функцию оказывает только тот выходной параметр, который в данной точке Х является наихудшим с позиций выполнения требований ТЗ.

54

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

2.1. Условное моделирование

Условное моделирование – это замещение оригинала условной моделью, представляющей его только благодаря договоренности о смысле, приписанном этой модели. Прежде всего – знаковые модели. Знак или символ – искусственный образ, чисто условно изображающий вполне определенный объект и, как правило, не имеющий с этим объектом никакого сходства. Отдельный знак (т.е. простейшая условная модель) обладает ограниченными моделирующими возможностями. Он условно обозначает вещь, явление, действие, событие, свойство, связь или отношение вещей, явлений, свойств и т.д. Однако в случае применения системы знаков эти возможности резко возрастают.

Сформулировать общие правила построения знаковых моделей невозможно, так как формирование их имеет поисковый эвристический характер.

Основные требования, предъявляемые к таким моделям:

необходимость – невозможность использовать имеющиеся символы;

простота – простое при равных условиях предпочтительнее сложного;

наглядность – хотя бы самое отдаленное сходство

соригиналом;

индивидуальность – достаточное отличие от других символов;

однозначность – недопустимость обозначения одним символом различных объектов;

единообразие – при моделировании однородных объ-

ектов;

определенность – сопровождение четким указанием о принятом решении;

учет установившихся традиций.

55

Пример. Запись кубического уравнения вида Дx3 + x2 +

+ Ox + = 0 явно неудачна. Более удачно Ax3 + Bx2 + Cx + D = = 0, еще лучше A0x3 + A1x2 + A2x + A3 = 0, самая удачная A3x3 + A2x2 + A1x + A0 = 0, которую легко записать

3

в сокращенной форме Ai xi 0 .

0

Если знаковая модель выбрана удачно, она получает всеобщее признание, примером этого служат русские и латинские буквы, примерами неудачных – готические и иероглифы.

Условными являются также образно-знаковые модели, которые отличаются наглядностью и могут обладать определенным сходством с оригиналом. Например, структурные схемы, направленные графы систем автоматизированного управления наглядно показывают число звеньев, связи звеньев, переменные величины, действующие на входах и выходах звеньев и системы в целом.

К знаковым и образно-знаковым моделям относятся все математические формы выражения количественных отношений между переменными и постоянными величинами (функции, уравнения, неравенства, графики, номограммы, таблицы, алгоритмы и т.д.).

Практически при применении математических методов приходится иметь дело с математическим описанием материальных объектов, являющихся условными логическими моделями количественных отношений между размерами и числовыми значениями физических величин.

В общем случае физическая величина Х – это некоторое свойство материального объекта, допускающее количественное выражение, например длина L, объем V, масса M.

Количественное значение физической величины Х в конкретном материальном объекте х – это размер физической величины X.

Для определения размера х физической величины Х данного объекта требуется сравнить ее размер с размером {x} той же физической величины другого объекта, принятого за единицу.

56

В результате измерения устанавливается числовое значение х размера х:

и размер выражается через числовое значение х и единицу измерения {x}:

Символы х, х , {x} в формуле (2.2) как условной знаковой модели моделируют размер, числовое значение и единицу физической величины Х. Знак «=» означает равенство объектов-оригиналов, символические модели которых расположены справа и слева от него. Эти символы называются членами формулы. Размер х не зависит от единицы измерения {x}, от нее зависит только числовое значение х размера х.

Каждый материальный объект обладает несколькими свойствами, допускающими количественное выражение. Между различными свойствами объективно существуют конкретные связи. Они обусловливают определенные соотношения между размерами физических величин, которые можно выразить в виде формулы. Поэтому, если выбрать произвольно единицы некоторых физических величин, то через эти единицы можно выразить единицы всех остальных физических величин.

2.2. Аналогия

Аналогия – сходство различных объектов по некоторым признакам.

Аналоги – объекты, сходные по соответствующим признакам.

Сходственные признаки – признаки, по которым объекты оказываются аналогами. Сходственные признаки могут иметь качественный и количественный характер. В зависи-

57

мости от этого различают качественную, количественную и смешанную аналогии.

Основное значение аналогий – перенос сведений с одно-

го объекта на другой (аналог) на основании умозаключений по аналогии.

Умозаключение по аналогии – основано на предположе-

нии существования тождественного в различном и выполняется по схеме:

«Установлено, что объект O1 обладает свойствами C0,

C1, ..., CN, C′1, ..., C′n1.

Установлено, что объект O2 обладает свойствами C1, ...,

CN, C′′1, ..., C′′n2.

Вывод: возможно, что объект O2 обладает свойством C0, как объект O1».

Если среди C′′ есть хотя бы одно свойство C′′i несовместное с C0, то сходство объектов по свойствам C1, ..., CN не имеет никакого значения.

Умозаключение по аналогии имеет гипотетический характер, может привести либо к истинному, либо к ложному выводу.

Пример 1. Аналогия между движением жидкости и процессом распространения тепла привела к неправильному выводу о существовании теплорода.

Суждение, полученное по аналогии, нуждается в специальной проверке. Вероятность правильности этого суждения тем больше, чем сильнее связь между свойствами C, чем слабее связь между C и C′ и между C и C′′, чем больше N и чем

меньше n1 n2.

Умозаключение по аналогии имеет доказательный характер, если общие свойства объектов C1, ..., CN обусловливают свойство C0.

Умозаключение по аналогии является основой аналогичного моделирования. Например, замещение организма человека организмом животного с целью исследования действия новых лекарств неоценимо важно для развития медицины.

58

Общенаучное значение аналогий – прежде всего придание наглядности (аналогия электрического тока с движением жидкости), формирование понятий и иллюстрация их. Примеры понятий, введенных по аналогии, – теплоемкость, запоминающее устройство, электродвижущая сила. Пример иллюстрации по аналогии – система «шарик на вогнутой поверхности в поле тяготения».

Кроме того, аналогия может служить и как активизатор мышления, и как источник идей.

Пример 2. Соотношения 11 + 21 = 31, 32 + 42 = 52 по аналогии привели математика П. Ферма к уравнению xn + yn = zn с тремя неизвестными и к формулировке «великой теоремы» теории чисел, согласно которой это уравнение при любом целом n > 2 не имеет целых положительных решений. Спра-

ведливость теоремы Ферма доказана для всех n 100, но в общем виде она остается недоказанной.

Существенное значение аналогии заключается в возможности использовать ее для строгих выводов и доказательств.

Аналогия позволяет перейти к понятию подобия. Вид количественной аналогии – аналогия математическая – сходство объектов по их математическому описанию.

Сходственные точки пространства, времени и параметров процесса – это такие величины, при которых их значениям в одной системе так или иначе соответствуют значения в другой системе.

Сходственные функции – функции, различающиеся только аргументами и ненулевыми постоянными.

Пример 3. x1 a sin x2 t c , y1 â sin y2 t d яв-

ляются сходственными.

Сходственные переменные – переменные величины,

входящие под знаки сходственных функций совершенно

одинаковым образом: х1 и у1, х2 и у2.

Сходственные постоянные – аналогично сходственным переменным. Указанные выше сходственные функции содержит сходственные переменные х1 и у1, х2 и у2, сходственные постоянные a и в, с и d.

59

Сходственные уравнения – получаются из сходственных функций путем преобразования к однородному уравнению и приравниванием нулю или друг другу.

Понятие сходственных точек и величин значительно

2.3. Аналогичное моделирование

Аналогичное моделирование – замещение оригинала ана-

логичной моделью, обладающей сходством с оригиналом, достаточным для экстраполяции ее свойств и отношений в свойства и отношения оригинала на основании умозаключений по аналогии. Аналогичное моделирование используется обычно при сравнительно слабой изученности оригинала, когда имеющиеся сведения об его свойствах носят только качественный характер.

Таким образом, при удачном выборе модели аналогичное моделирование позволяет получить весьма интересные и важные результаты. К сожалению, общая методика аналогичного моделирования невозможна, и требуется поиск модели. Во многих случаях целесообразно использовать аналогичные формальные модели, основанные на механических, электрических, акустических аналогиях.

60