Моделирование систем

Для движения к точке оптимума нужна линейная модель ó b0 b1õ1 b2 õ2 . Необходимо найти по результатам экспе-

римента значения неизвестных коэффициентов модели. Их можно вычислить по простой формуле

Воспользуемся этой формулой для подсчета коэффициентов b1 и b2:

Коэффициент b0 есть среднее арифметическое значение

параметра оптимизации. Чтобы его получить, необходимо сложить все уi (i = 1, …, N) и разделить на число опытов. Для вычисления коэффициентов в матрицу планирования вводит-

ся вектор-столбец фиктивной переменной x0 , которая при-

нимает во всех опытах значение +1. Это уже учтено в записи формулы, где j принимает значения от 0 до k.

Теперь есть все необходимое, чтобы найти неизвестные коэффициенты линейной модели

Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факторов. Чем больше численная величина коэффициента, тем сильнее влияние фактора. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается, а если – минус, то параметр уменьшается.

Планируя эксперимент, на первом этапе стремятся получить линейную модель. Однако нет гарантии, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью. Существуют способы проверки пригодно-

161

сти линейной модели (проверка адекватности). А если модель нелинейная, как количественно оценить нелинейность?

Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. В этом случае говорят, что имеет место эффект взаимодействия двух факторов.

Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценивать эффекты взаимодействия. Для этого надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух факторов. Для полного факторного эксперимента 22 матрица планирования с учетом эффекта взаимодействия представлена в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Матрица планирования эксперимента 22 с эффектом взаимодействия

Теперь модель выглядит следующим образом:

Столбцы х1 и х2 задают планирование эксперимента,

астолбцы х0 и х1х2 служат только для расчета.

Вполном факторном эксперименте разность между числом опытов и числом коэффициентов велика. Возникает проблема уменьшения числа опытов.

162

4.1.6.Дробный факторный эксперимент

4.1.6.1.Минимизация числа опытов

Обратимся еще раз к матрице планирования эксперимента 22 (см. табл. 4.1).

Пользуясь таким планированием, можно вычислить четыре коэффициента и представить результаты эксперимента в виде полного квадратного уравнения

Для решения этой задачи можно ограничиться четырьмя опытами, если в планировании для ПФЭ 22 использовать столбец х1х2 в качестве плана для х3. Поставим этот фактор в скобках под взаимодействием х1х2 (табл. 4.3).

Таблица 4.3 Матрица планирования эксперимента 22 (половина ПЭФ 23)

Такой сокращенный план – половина ПФЭ 23 – называется полурепликой от ПФЭ 23. Пользуясь таким планированием, можно оценить свободный член и три коэффициента уравнения регрессии при линейных членах. Такой эксперимент называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ).

Если коэффициенты регрессии при парных произведениях не равны нулю, то полученные коэффициенты будут смешанными оценками для генеральных коэффициентов:

163

где – математические ожидания для соответствующих коэффициентов.

Чтобы определить, какие генеральные коэффициенты смешаны, удобно пользоваться таким приемом: поставив x3

на место x1x2 , получим соотношение x3 x1x2 , называемое

генерирующим соотношением. Умножим обе части генери-

рующего соотношения на x3 :

Это произведение называется определяющим контрастом, при помощи его удобно определить, в каких столбцах одинаковые элементы. Умножив по очереди определяющий

контраст на x1 , x2 , x3 , получим

Полученным соотношениям соответствует система смешанных оценок.

При использовании ДФЭ необходимо иметь четкое представление о так называемой разрешающей способности дробной реплики, т.е. определить заранее, какие коэффициенты являются несмешанными оценками для соответствующих генеральных коэффициентов. Тогда в зависимости от поставленной задачи подбирается дробная реплика, при помощи которой можно извлечь максимальную информацию из эксперимента. Например, в задаче с четырьмя факторами (n = 4) в качестве генерирующего соотношения можно взять

и любое из парных произведений факторов, например:

Матрица планирования с генерирующим соотношением (4.27) приведена в табл. 4.4.

164

Таблица 4.4 Полуреплика от ПФЭ 24 с генерирующим соотношением (4.27)

Воспользовавшись определяющим контрастом I = x1x2x3x4, получим такую систему совместных оценок для коэффициентов уравнения регрессии:

x1 x2 x3 x4 , b1 β1 β234 ,

x2 x1x3 x4 , b2 β2 +β134 ,

x3 x1x2 x4 , b3 β3 +β124 ,

x1x2 x3 x4 , b12 β12 +β34 ,

x1x3 x2 x4 , b13 β13 +β24 ,

x1x4 x2 x3 , b14 β14 +β23.

В реальных задачах тройные взаимодействия бывают равными нулю значительно чаще, чем двойные. Если наибольший интерес представляют оценки для линейных эффек-

тов, следует брать генерирующее соотношение x4 x1x2 x3 .

165

При генерирующем соотношении (4.26) матрица планирования имеет вид матрицы, представленной в табл. 4.4, зна-

Следовательно, дробную реплику с генерирующим соотношением имеет смысл использовать, если наибольший

интерес представляют коэффициенты β13 , β23 и β34 .

4.1.6.2. Дисперсионный и регрессионный анализ планированного эксперимента

Анализ будем проводить для случая, когда каждый опыт

вматрице планирования повторялся m раз (табл. 4.5).

Вкаждой строчке матрицы планирования определяется среднее значение измеряемой величины по m параллельным опытам:

166

и дисперсия:

Проверяется однородность выборочных дисперсий по критерию Кохрена. Для этого составляется отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий:

G1–p( f1 f2), где p = 0,05; f1= m – 1; f2 = N. Если G < G1–p( f1 f2),

дисперсии однородны.

Тогда в качестве оценки для дисперсии воспроизводимости можно взять среднюю дисперсию

с числом степеней свободы fвоспр = N(m – 1).

Коэффициенты уравнения регрессии определяются по формуле

167

N

x ji yi . (4.34)

N

y, полученного по выборке будет в m раз меньше дисперсии единичного измерения:

В рассматриваемом примере (см. табл. 4.5) дисперсия коэффициентов S2bj определяется следующим образом:

Значимость коэффициентов проверяется по критерию Стьюдента. Для всех коэффициентов уравнений регрессии составляется t-отношение:

которое сравнивается с табличным t1–p( f ) для уровня значимости p = 0,05 и числа степеней свободы f = N(m – 1). Если tj < t1–p( f ), то принимается гипотеза равенства нулю генераль-

ного коэффициента регрессии j = 0, а соответствующий выборочный коэффициент bj как незначимый отсеивается из уравнения регрессии. При этом ввиду ортогональности матрицы планирования остальные коэффициенты не приходится пересчитывать.

Адекватность уравнения регрессии эксперименту проверяется по критерию Фишера. Для проверки адекватности составляется дисперсионное отношение

где Sàä2 – дисперсия адекватности,

где l – число значимых коэффициентов в уравнении регрессии.

Уравнение адекватно эксперименту, если полученное дисперсионное отношение оказывается меньше табличного:

где p – уровень значимости; f1 – число степеней свободы дисперсии адекватности, f1 = N – l; f2 – число степеней свободы дисперсии воспроизводимости, f2 = N(m – 1).

Если F > F1–p( f1 f2), то для адекватного описания эксперимента необходимо увеличить порядок аппроксимирующего полинома.

Пример. Определяется оптимальный состав фотохромного стекла в системе Li2O – Al2O3 – SiO2. В качестве параметров оптимизации ( у) рассматривается оптическая плотность в облученном состоянии. Надо определить состав стекла и условия его варки, обеспечивающее максимальную оптическую плотность. В качестве независимых факторов выбраны: х1 – исходная концентрация хлора, г-атом/100 г стекла; х2 – исходная концентрация брома, г-атом/100 г стекла; х3 – соотношение Ag:Cl; х4 – температура варки, °С; х5 – время выдержки, ч; х6 – содержание Al2O3, мол. доли; х7 – соотношение Li2O/SiO2.

Условия эксперимента приведены в табл. 4.6.

Таблица 4.6 Числовые значения условий эксперимента

x6 x1x3 , x7 x2 x3.

Каждый опыт в матрице планирования (табл. 4.7) повторен два раза.

Средние значения оптической плотности y получены

по двум измерениям. Проверим однородность дисперсий Si2, I = 1, 2, …, 8 по критерию Кохрена. Сумма дисперсий

8

Si2 27,88 10 4.

i 1

Критерий Кохрена

Табличное значение критерия Кохрена для уровня значимости p = 0,05 и чисел степеней свободы f1 = 1, f2 = 8

G0,95 1,8 0, 6798.

Так как G G0,95 1,8 , то, следовательно, дисперсии однородны. Дисперсия воспроизводимости определяется в связи с этим как средняя арифметическая:

Число степеней свободы дисперсии воспроизводимости fвоспр = N(m – 1) = 8(2 – 1) = 8.

Коэффициенты уравнения регрессии определяем по формуле (4.34):

170