Моделирование систем

Опуская индексы номеров процесса (1), (2), ..., (s), можно с учетом (3.90) записать:

где 1, ..., m – члены исходного уравнения (3.73); 1*, ...,m* – интегральные аналоги 1, ..., m; M1, ..., Mm – комбинация (произведения или отношения) масштабных коэффициентов.

Применительно к примеру:

Выражения (3.94) для критериев подобия, иногда называемые инвариантами подобия, имеют вид безразмерных степенных комплексов:

Для рассматриваемого примера

1 = RLt = L1R–1t–1 = L1R–1t–1i0u0 = idem,

Число Kj критериев подобия, найденных приведением к безразмерному виду, на единицу меньше числа членов m, входящих в уравнение, Kj = m – 1.

Точки координатного пространства, в которых критерии подобия численно равны (1) и (2), или (1) и (3) и т.п. называются сходственными точками: только в этих точках пропорциональны все сходственные параметры сопоставляемых подобных процессов. При этом масштабные коэффициенты сходственных параметров подобных процессов подчиняются условиям (3.95); не существуют подобные процессы с иными соотношениями сходственных параметров. Выражения вида (3.95), при которых соблюдаются соотношения (3.94), иногда называются индикаторами подобия.

Пример. Для выявления сходственных точек рассмотрим

Значения i1, i2, i3 в любые конкретные моменты времени могут быть вычислены в соответствии с уравнением

i Ru 1 e (R / L)t .

Результаты вычислений представлены в табл. 3.2.

Для процессов i1(t1), i2(t2) в моменты времени t1 = 0,33 с и t2 = 0,33 с, например, критерии подобия принимают значения:

При этом соответствующие степенные комплексы масштабных коэффициентов равны единице:

Таким образом, точки с координатами (i1 = 1,53 А, t1 = = 0,33 с) и (i2 = 0,57 A, t2 = 0,33 с) являются сходственными точками подобных процессов i1 (t1) и i2 (t2); в этих точках координатного пространства (x1, ..., xj, ..., xn) = (R, L, u, I, t) сходственные параметры сопоставляемых процессов пропорциональны.

Аналогично для t1 = t2 = 0,5 c

Следовательно, сходственными являются точки с координа-

тами (i1= 2,21 А, t1 = 0,5 с) и (i1 = 0,83 А, t2 = 0,5 с).

103

Для t1 = t2 = 1,0 c

Следовательно, сходственными являются точки с координа-

тами (i1 = 3,93 А, t1 = 1,0 с) и (i2 = 1,47 А, t2 = 1,0 с).

Для сопоставляемых процессов i1(t1) и i3(t3) рассчитанные значения критериев подобия представлены в табл. 3.3.

Таблица 3.3 Рассчитанные значения критериев подобия

Из приведенных данных видно, что в этом случае равен-

ство критериев подобия 1 и 2 достигается в другие моменты времени, например: при t1 = 1,0 с и t3 = 0,33 с; t1 = 1,5 с

и t3 = 0,5 с; t1 = 2,0 с и t3 = 0,67 с.

Именно в этих точках координатного пространства пропорциональны все сходственные параметры и равны единице степенные комплексы масштабных коэффициентов

I 1 и I 2 .

При произвольном выборе значений R1 и R3, L1 и L3, u1

и u3 (mR = 1/9, mL = 1/3, mu = 1/5) значения i1 и i3, t1 и t3, опре-

деляющие координаты сходственных точек, не могут выбираться произвольно. Необходимо, чтобы

После преобразования уравнений для i1(t) и i2(t) к безразмерному виду критериями подобия сопоставляемых процессов будут:

или, если принять 1 = 1 1 , то, как и ранее,

что и следовало ожидать, так как рассматриваются различные формы математического описания одного и того же физического процесса.

Аналогично для уравнений, содержащих тригонометрические функции

если I m mt 1, т.е. необходимо ввести дополнитель-

ный критерий подобия

доп = t.

3.8. Преобразование критериев подобия

Возможность преобразования критериев подобия – их важное практическое свойство.

Критерии подобия процесса, представленные в какойлибо форме записи, могут быть преобразованы в критерии подобия иной формы записи посредством перемножения или деления их, возведения в степень или умножения на любой постоянный коэффициент k.

Если, например, совокупность критериев подобия 1, 2,

..., k, ..., k+j, ..., m, полностью описывает некоторый физический процесс, то и совокупность критериев подобия 1 = k 1,

106

2 = , ...; k = k k+j, …; k j = k+j/ m, ...; m = ( m)k

также будет полностью характеризовать этот процесс, так как

Критерии подобия 1, ..., m можно рассматривать как обобщенные вторичные переменные определенного класса процессов, отражающие специфику группового взаимодействия физических факторов.

3.9. Методика определения критериев подобия способом интегральных аналогов

Для определения критериев подобия из уравнения процесса, содержащего n членов, способом интегральных аналогов необходимо разделить все члены уравнения на какойлибо из них, опустить символы связи между членами уравнения, символы дифференцирования и интегрирования, а также неоднородные функции. К полученным в результате n – 1 критериям подобия следует добавить а дополнительных критериев – аргументов неоднородных функций, входящих в члены уравнения.

Общее число критериев подобия, найденных способом интегральных аналогов,

Число возможных форм записи n – 1 основных критериев, получаемых приведением уравнения к безразмерному виду, равно числу членов уравнения fj = n.

Методика определения критериев подобия способом интегральных аналогов рассматривается на примере переходного процесса i(t) в последовательной цепи, состоящей из активного сопротивления R, индуктивности L, конденсатора С и включенной на напряжение u, меняющееся во времени по

синусоидальному закону с угловой скоростью . Уравнение процесса имеет вид

107

Этапы определения критериев подобия.

m

I. Записать исходное уравнение в виде 0 i 0 ,

1

0 1 2 3 4 L dtdi C1 i d t iR u sin ωt 0. (3.109) II. Опустить символы связи «+», «–» и «=» между чле-

нами уравнения:

III. Исключить из выражения для 1, ..., m неоднородные функции, приняв в качестве дополнительных критериев подобия значения их аргументов:

4 = u sin t sin t доп= t ; *4 = u. (3.111)

IV. Опустить символы дифференцирования, интегрирования, символы grad, div и т.д.:

1 L dtdi 1* L ti ; 2 C1 i d t C1 it . (3.112)

V. Заменить члены уравнения i и J, преобразованные на этапах III и IV, их аналогами *i , *j и записать выражения

для 1, ..., *i , ..., *j , ..., m:

и записать выражения для основных критериев подобия в одной из возможных форм записи:

108

где C, L, R и G – соответственно емкость, индуктивность, сопротивление и проводимость на единицу длины линии; u – напряжение вдоль линии; t – время; l – длина.

В соответствии со способом интегральных аналогов