Моделирование систем

Таким образом, критерием оптимальности или критерием согласия в задачах идентификации является функция невязки.

Выбор наилучшей функции осуществляется по минимуму этого критерия. Минимизацию критерия можно осуществить следующими методами:

1. Метод наименьших квадратов.

ei yi yiì – ошибка по отдельной переменной.

e1

Ошибка системы E , и тогда критерий согласия по

en

методу наименьших квадратов имеет вид

где J – критерий согласия; I – единичная матрица.

Метод наименьших квадратов не требует никакой априорной информации.

2. Марковские оценки или обобщенный метод наименьших квадратов.

где (ni, nj) – влияние шумовой помехи i-й на шумовую помеху j-й переменной объекта.

Данная матрица должна быть известна априорно, исходя из характеристик шумовых помех на объект.

3. Метод максимального правдоподобия.

Кроме шумовых характеристик, метод требует информацию о взаимовлиянии переменных, представленных в виде корреляционных матриц.

191

4.2.3. Параметрическая идентификация

Важными понятиями для исследования систем, в том числе и для идентификации, являются понятия управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости систем. Рассмотрим каждое из этих понятий подробнее.

Система является управляемой, если она может быть переведена из любого состояния X (t0 ) при t t0 в любое дру-

гое желаемое состояние X (t1) за конечный интервал времени( t1 t0 ) путем задания (изменения) входного воздействия R(t) .

Понятие управляемости можно проиллюстрировать системой, представленной на рис. 4.5. Очевидно, что эта система является неуправляемой, так как управляющее воздействие r(t) влияет не на все переменные состояния (переменная со-

стояния x4 (t) не поддается управлению).

Рис. 4.5. Неуправляемая система

Система является наблюдаемой, если все переменные состояния могут быть непосредственно или косвенно определены по выходному вектору системы.

Если управляемость системы требует, чтобы каждое состояние системы было чувствительно к входному воздействию, то наблюдаемость требует, чтобы каждое состояние системы влияло на измеряемый выходной вектор.

192

Следует различать понятия «измеряемость» и «наблюдаемость». Измерить переменную – это означает непосредственно с помощью измерительных устройств зафиксировать значение переменной в текущий момент времени. Наблюдаемая переменная – это переменная, измеренная либо вычисленная на основе измеренных переменных.

Понятие наблюдаемости можно проиллюстрировать системой, представленной на рис. 4.6. Очевидно, что эта система является ненаблюдаемой, так как не все переменные состояния X (t) могут быть восстановлены на основе выходного

вектора Y(t) (переменная состояния x5 (t) является ненаблюдаемой переменной).

Рис. 4.6. Ненаблюдаемая система

САУ является идентифицированной, если по вектору переменных состояний можно определить параметры модели.

Существуют специальные правила (критерии), которые позволяют определить по структуре и параметрам (предполагаемым) объекта управляемость, наблюдаемость и идентифицируемость системы.

Пусть описание САУ представлено в терминах пространства состояния

Система будет управляемой тогда и только тогда, если матрица управляемости имеет ранг n, где n – порядок систе-

мы (т.е. порядок вектора состояния X(t) ): rankU n,

Система будет наблюдаемой тогда и только тогда, если матрица наблюдаемости имеет ранг n, где n – порядок системы (т.е. порядок вектора состояния X(t) ):

rank N n,

Система будет идентифицируемой тогда и только тогда, если матрица идентифицируемости имеет ранг n, где n – порядок системы (т.е. порядок вектора состояния X(t) ):

194

4.2.4. Идентификация линейной регрессионной модели

Самым распространенным методом идентификации является регрессионный анализ. Рассмотрим последовательность проведения линейного регрессионного анализа одномерных и многомерных систем.

4.2.4.1. Линейный регрессионный анализ одномерных систем

Рассмотрим линейную статическую систему, представленную на рис. 4.7, имеющую n входов X и один выход Y .

Эта система может быть описана следующим линейным уравнением:

Данное выражение и является основой для идентификации путем линейной регрессии и методом наименьших квадратов.

Для того чтобы построенная модель была адекватна объекту, количество измерений k должно удовлетворять следующему условию:

Одномерный линейный регрессионный анализ может быть применим и для нелинейных систем. Проиллюстрируем следующим примером.

Пусть система описана квадратичным уравнением

Оценивание вектора параметров А выполняется также по формуле (4.72).

4.2.4.2.Линейный регрессионный анализ для многомерных систем

Процесс, протекающий в многомерных системах, имеет n входов и m выходов и по аналогии с одномерным процессом может быть описан следующей системой уравнений:

n

y1 a10 a1i xi ,

i 1

........................... (4.75)

n

ym am0 ami xi , i 1

198

или в матричном виде:

Используя серию измерений величин X и y в k мо-

ментов времени, можно сформировать матрицы измерений величин X и y следующим образом:

0 A XXT (XXT T YXT (I)T XYT T

A XXT XXT YXT YXT 2AXXT 2YXT 0.

199

Таким образом, наилучшая (в смысле наименьших квадратов) оценка матрицы параметров А удовлетворяет уравнению

Требования к k (количество измерений) состоят в том, что для адекватности модели необходимо, чтобы

4.2.5. Идентификация динамических систем

Допустим, динамическая система описана передаточной функцией следующего вида:

Идентификация этой системы выполняется следующим образом:

1. На основе передаточной функции (4.78) получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка из n уравнений

Y t CX t ,

где Y – выходные переменные; U(t) – входные переменные;

Х– внутренние переменные.

2.От дифференциальных уравнений переходим к разностным уравнениям

где V [U X]T – обобщенный вектор. 200