Беляев Физика ядерной медицины Ч.2 Учебное пособие 2012

где шаги обратного проецирования суммируются только по проекциям подмножества Sb из полного числа подмножеств B. Поэтому изображение корректируется в течение каждой подытерации и одна полная итерация корректирует B подмножеств изображения. Если количество подмножеств B = 1, то OSEM совпадает с MLEM.

Предложено много подходов разделения пространства проекций на подмножества. Большинство подходов использует неперекрывающиеся подмножества (каждое подмножество содержит M/B проекций). В наиболее общем подходе пространство проекций делится на подмножества с различных ракурсов или азимутальных углов. Например, предположим, что сбор проекций объекта проводится под углами 0, 23, 45 и 68 градусов. Разделим эти проекции на два подмножества, объединив в одном подмножестве проекции под углами 0 и 45 градусов, а в другом проекции под углами 23 и 68 градусов. Затем применим алгоритм MLEM к проекциям в подмножестве 1 и получим оценку изображения. Затем получаем оценку изображения, используя подмножество проекций 2.

На рис. 2.10 демонстрируется свойство сходимости OSEM для разного числа операций и числа подмножеств. Хотя OSEM похож на MLEM, этот удобный в вычислительном отношении метод не гарантирует сходимость к решению максимального правдоподобия. На практике его сходимость подобна сходимости MLEM стремится к решению максимального правдоподобия приблизительно в B раз быстрее, чем традиционный MLEM.

На рис. 2.11 приводится зависимость значений пуассоновской функции правдоподобия (уравнение (2.3)) для OSEM и MLEM версий от числа операций, иллюстрирующая улучшение скорости с увеличением числа подмножеств. Это повышение скорости сопровождается небольшим увеличением дисперсии при одинаковом уровне смещения с MLEM [17]. Как следствие, рекомендуется проявлять умеренность в выборе полного числа подмножеств. Из рис. 2.11 также видно, что наибольшие изменения в оценке имеют место на начальных итерациях, подтверждая тактику преждевременной остановки этих алгоритмов для уменьшения дисперсии. На практике для получения привлекательного изображения применяют раннюю остановку алгоритма OSEM и постсглаживание результатов.

71

Рис. 2.10. Реконструкция симулированных данных с помощью алгоритма OSEM при увеличении числа итераций. В ряде A используется одно подмножество, что эквивалентно методу MLEM, и выполняется 1, 4, 8 и 16 итераций; в рядах B и C используется 4 и 16 подмножеств и такое же как в ряде А число итераций; в ряде D проводится дополнительная постфильтрация 3-мерным гауссовским фильтром

[3]

Рис. 2.11. Зависимость значения функции правдоподобия от числа итераций при реконструкции симуляционных данных с помощью алгоритмов MLEM и OSEM [3] (адаптировано из [3])

72

MLEM и OSEM методы представляют лишь алгоритмы для нахождения оценки максимального правдоподобия, являясь только последними двумя компонентами в выделенных в разделе 4.1 этой главы основных элементах, общих для всех итеративных методов. Первые три компонента (модели изображения, системы и экспериментальных данных) могут очень сильно видоизменяться и тем не менее называться OSEM алгоритмом. Например, в одном варианте OSEM метода используется очень простая модель, дающая реконструкцию изображения с намного худшим качеством, чем другая разновидность OSEM метода, использующая более реалистическую модель системы

4.6.Байесовые штрафные методы

Вбайесовых штрафных методах делается попытка улучшить качество реконструированного изображения, используя определенную информацию об изображении. Например, в качестве такой информации можно взять неотрицательность концентрации трассера или допущение только небольшого различия результатов между соседними вокселями. Эта априорная информация по правилу Байеса включается в максимальную апостериальную (англ. a maximum a posteriory (MAP)) целевую функцию (функция со всей информацией, доступной из принятого априорного знания об изображении). Детали MAP оценки в данном разделе не рассматриваются, некоторое представление о ней дается в работе [2].

Основная идея заключается в том, что предположительная информация вводится в итеративный процесс как априорный член, который навязывает условия на оценку изображения при каждой итерации, приводящие к гарантированной сходимости с определенными алгоритмами. Такой прием эквивалентен применению штрафа в каждой итерации, поэтому эти методы относят к штрафным. Априорный или штрафной член может благоприятствовать желаемым свойствам в изображении, таким как уровни гладкости [18], сохранение краев [19] или даже особые структуры, основанные на анатомическом аспекте информации, получаемой от отдельных компьютерно-томографического или магниторезонансного обследований [20]. Например, используя изображения, полу-

73

ченные в этих обследованиях, можно определить предполагаемые границы между районами, в которых ожидается однородная концентрация трассера. Эти границы далее вводятся как априорная информация для усиления гладкости между вокселями, принадлежащими одному анатомическому району.

Одна из проблем при приложении априорной информации заключается в выборе параметра, изменяющего воздействие, которое будет накладывать штраф на изображение. Несмотря на то, что байесовы методы начали внедряться в клиническую практику достаточно давно, они пока не получили широкого распространения из-за дополнительной сложности в выборе и применении подходящих параметров для управления "силой" штрафного члена.

4.7.Трехмерная итеративная реконструкция

Принципиально итеративные методы легко распространяются на полные 3-М ПЭТ-измерения и реконструкции. В полной 3-М позитронно-эмиссионной томографии модель данных базируется на 3-М измерениях (см. рис. 1.10), а модель изображения вместо 2- мерной версии теперь становится 3-М объемом. Модель системы связывает воксельные элементы с полными 3-М ПЭТ-проекциями. К 3-М измерениям прикладываются такие же управляющие принципы и статистические соотношения как и к 2-М измерениям и, соответственно, оптимизационные алгоритмы. Важно, что итеративные методы моделируют пространственную вариацию в полных 3-М измерениях через модель системы, поэтому все экстраусилия, необходимые для аналитической реконструкции 3-М измерений, здесь не являются необходимыми.

На практике главная проблема для полной 3-мерной реконструкции находится в вычислительной области. Размер изображения увеличивается с 104 пикселей до 105 вокселей. Размер массива данных возрастает даже больше, с 104 до 107 входов. Соответственно, модель системы должна рассчитываться для 1012 комбинаций вместо 108 как при 2-мерной ПЭТ. Это возрастание накладывается как на требования к ресурсам памяти, так и на скорость процессинга компьютеров. Однако прогресс в вычислительной технике, имею-

74

щий место последние десятилетия, позволяет преодолеть отмеченные трудности.

Другая возможность итеративных методов состоит в пересортировке 3-М данных в 2-М поперечные срезы, как обсуждалось в разделе 3.2 настоящей главы. Затем выполнить более быструю 2-М итеративную реконструкцию каждого 2-мерного среза. Комбинация пересортировки фурье-преобразований с надлежаще взвешенными 2-М итеративными методами реконструкции для каждой отсортированной синограммы была успешно применена для реконструкции 3-М ПЭТ данных всего тела за клинически приемлемое время [21].

5.Компромисс между качеством изображения

ишумовым разрешением

5.1. Определения качества изображения

Обсуждение методов томографической реконструкции приводит к необходимости определения, какой из методов обеспечивает наилучшее качество изображения. Объективное сравнение качества изображения весьма затруднительно и может быть выполнено только в контексте специфичности области приложения или решаемой задачи. Как утверждается в классических публикациях [22,23], "качество изображения должно оцениваться на базе усредненного выполнения определенной актуальной задачи некоторым наблюдателем или лицом принимающим решение". Другими словами, качество изображения следует оценивать из возможности с помощью изображения, получаемого конкретным методом реконструкции, достигнуть желаемых результатов. Такой подход для оценки качества изображения согласно работе [2] называется соглашением, основанным на задаче. Например, если изображения предполагается использовать для диагностики определенного заболевания, то алгоритм можно считать работающим хорошо, если он дает изображения, которые приводят к точным диагнозам.

Двумя главными категориями задач изображения являются классификация задач и оценка задач. Классификация задач распределяет изображения или свойства изображения в один или более классов. Самая общая классификация представляет детектирование

75

или обнаружение (двоичная классификация). Другие примеры классификационных задач включают детектирование сигнала, сегментацию изображения и диагноз. С другой стороны, задачами оценки являются поиск определенных численных параметров в системе изображения, таких как количественные физиологические параметры или оценка характеристик для распознавания паттерна. Специфические примеры задач оценивания включают фракцию сердечной эжекции и значение потока трассера в камерной модели ткани.

5.2. Количественные оценки

Наиболее распространенный подход к оценке качества изображения заключается в определении одной из распространенных количественных характеристик, включая такие величины, как отношение сигнал/шум, уровни смещения и контраста. Необходимо соблюдать осторожность в попытках выразить объем изображения (содержащий ~ 106 элементов) через несколько описательных величин, так как эти отдельные величины не могут охватить характер всего изображения. Помня это предостережение, тем не менее часто полезно при сравнении изображений анализировать значения нескольких различных характеристик.

При выборе качества изображения имеет место постоянный поиск компромисса между смещением (или сдвигом) и отклонением (или дисперсией). Так как ПЭТ-визуализация отображается случайными данными, то и реконструированное из этих данных изображение тоже случайно. Другими словами, если один и тот же объект сканируется много раз, то реконструированные изображения не будут одинаковыми из-за статистической вариации данных. Поэтому предпочтительной является ситуация, когда метод реконструкции создает изображение, усредненная версия которого совпадает с истинным изображением. Подобным же образом пользователь предпочел бы метод реконструкции, который создает изображения, чьи величины не отклоняются от их средних значений, т.е. метод с нулевой дисперсией.

Смещение является мерой точности реконструкции в среднем; вариация представляет собой меру воспроизводимости оценки (насколько сильно оценка изменяется вокруг среднего значения). Как отмечалось выше, во всех методах имеются пути для уменьшения

76

уровня вариации за счет увеличения смещения (по существу, степени сглаживания). Фильтрование обратной проекции (рис. 2.12) уменьшает вариацию через изменение порога отсечки аподизирующего фильтра, используемого для фильтрации перед обратным проецированием.

Рис. 2.12. Сравнение реконструкций фильтрованных обратных проекций симуляционных данных с различным уровнем шума и различными параметрами сглаживания. Уменьшение порога отсечки в фильтре Ханнинга приводит к более сглаженному результату. Левая колонка имеет наименьшее сглаживание и наибольшей вариацией, правая колонка имеет наибольшее сглаживание и наименьшую вариацию [3]

В методе OSEM алгоритм останавливается раньше времени или применяется постреконструкционный фильтр (рис. 2.13). Таким образом, так как все методы способны к изменению соотношения смещение/вариация, то для утверждения, что метод А превосходит метод В по смещению, необходимо, чтобы метод А имел меньшее смещение при таком же уровне вариации как метод В (или меньшую вариацию при том же уровне смещения). Этот вывод иллюстрируется на рис. 2.14.

77

Рис. 2.13. Сравнение OSEM реконструкции симуляционных данных с различным уровнем шума при разных параметрах сглаживания. Варьирование постреконструкционного фильтра изменяет соотношения шум/смещение. Левая колонка имеет минимальное смещение с наибольшей вариацией; правая колонка имеет наибольшее смещение при минимальной вариации [3]

Отношение сигнал/шум и контраст/шум являются двумя другими сравнительными показателями качества для оценки оптимальности компромисса смещение-вариация в изображении. Этот член выражает в количественной форме определенную характеристику силы сигнала в отношении к количеству шума. Для протокола полное описание смещения и вариации не может быть сделано из одного реконструированного изображения, так как эти величины основаны на ожидаемой оценке изображения (реконструированное изображение, усредненное по многим реализациям). Часто для целесообразности отношение сигнал/шум рассчитывается из одной реконструкции. В таком случае эти значения проливают свет на соотношение смещение/вариация, но их нельзя интерпретировать как законченное понимание вариационной характеристики метода.

78

Рис. 2.14. Зависимости соотношения смещение/вариация для четырех гипотетических методов реконструкции A, B, C и D. Форма кривых связана с изменением в каждом методе параметра сглаживания. Возможно утверждение, что метод А лучше работает чем метод В в терминах смещения. Альтернативно, методы С и D выполняют реконструкцию лучше, чем другие при разных уровнях вариации (адаптировано из [3])

Разнообразные количественные характеристики используются также для описания пространственного разрешения методов реконструкции. Разрешение в общем виде определяется как уровень воспроизведения пространственных деталей в системе изображения. Оно часто выражается через функцию расширения точки (англ. the point spread function (PSF)), т.е. через изображение точечного объекта. Для этого в систему помещается точечный источник и проводится его реконструкция в изображении. В результате в изображении наблюдается размытие точки расположения источника. В ПЭТ PSF часто характеризуется трансаксиальной и аксиальной полными ширинами на половине максимума (FWHM), которые описывают ширину на половине максимальной величины PSF , аппроксимированной распределением Гаусса (в трансаксиальном или в аксиальном направлениях). Такой способ лишь частично соответствует поведению разрешения метода, так как распределение Гаусса отличает наличие длинного хвоста. Другое описание значений разрешения включает полную ширину на одной десятой от максимума (FWTM) и свойства модуляционной передаточной функции (фурьепреобразование PSF). Операция сглаживания, производящая уменьшение вариации в изображении, ведет к уменьшению разре-

79

шения, следовательно, компромисс смещение/вариация неизбежно транслируется в компромисс разрешение/вариация. Поэтому будет недостаточным просто объявить, что метод А приводит к лучшему разрешению, чем метод В. В данном случае необходимо дополнительно указать, что данный факт имеет место при одинаковом уровне вариации.

Возможно наиболее распространенное приложение ядерной медицины – это обнаружение опухолей. Так как врачи анализируют изображение именно с такой целью, то наилучшим способом оценки методов реконструкции для целей обнаружения является анализ изображений человеком-наблюдателем. К несчастью, обстоятельное человеческое изучение представляет очень длительную и часто непрактичную процедуру, потому что оно требует оценки многочисленных реконструированных изображений и многих идеальных опытных наблюдателей. В результате первоначальное тестирование методов реконструкции для детектирования часто проводится с помощью компьютерных алгоритмов, называемых цифровыми наблюдателями и предназначенными для имитирования действий человека-наблюдателя. Научное сообщество предложило разнообразные цифровые наблюдатели, например, наиболее популярный канальный (направленный) наблюдатель Хотеллинга [24,25]. Независимо от использования цифрового или человеческого наблюдателя результаты наблюдения часто представляются в форме анализа приемных оперативных характеристик (англ. receiver operating characteristic (ROC)). ROC кривые рисуют соотно-

шение между истинно положительными и отрицательно положительными классификациями. Полная детекционная характеристика метода часто связывается с площадью под ROC кривой, расширение площади означает улучшение детекционной характеристики.

6. Актуальные проблемы

Обратная задача нахождения изображения поперечного сечения из томографических ПЭТ-измерений может в настоящее время решаться различными методами. При детерминистской интерпретации ПЭТ-измерений быстрое прямое решение обеспечивают аналитические методы. Однако при использовании более адэкватной модели потенциально более точное решение дают итерационные

80