Беляев Физика ядерной медицины Ч.2 Учебное пособие 2012

Список литературы

1.Эмиссионная томография / Ред. Д. Арневальд, М. Верник // Перевод с англ. М.: Техносфера. 2009.

2.Shaha G.B. Physics and radiobiology of nuclear medicine. Third edition // 2010. Springer.

3.Positron emission tomography. Basic sciences / Eds. D.L. Balley, D.W. Townsend, P.E. Valk, M.N. Maisey / 2005. Springer-Verlag London Limited.

4.Performance evaluation of a whole-body PET scanner using NEMA protocol / G. Brix, J. Zaers, L.E. Adams et al // J. Nucl. Med. V.

38.1997. P. 1614 – 1623.

5.Bedinger T.E. PET instrumentation: what are limits? // Semin. Nucl. Med. V. 28. 1998. P. 247.

6.Hichwa R.D, J.R. Halama. Principles of PET and PET/KT imaging. // In: Nuclear Medicine. 2nd Edition/ Eds. R.E. Henkin, D. Bova, G.L. Dillehay et al. V.1. 2006. Mosby/Elsevier. P. 257 – 271.

7.Knoll G.F. Radiation detection and measurement. 3nd Edition // New York. 2000. John Wiley & Sons.

8.Balley D.L., Meikle S.R. A convolution-subtraction scatter correction method for 3D PET // Phys. Med. Biol. V. 39. 1994. P. 411 –

9.Shao L., Freifelder R., Karp J.S. Triple energy window scatter correction technique in PET // IEEE Trans. Nucl. Sci. V. 13. 1994. P.

641– 648.

10.Shao L., Karp J. Cross-plane scattering correction – point source deconvolution in PET // IEEE Trans Med. Imaging. V. 10. 1991. P. 234

– 239.

11.Investigation of accelerated Monte Carlo techniques for PET simulation and 3D PET scatter correction / C.H. Holdsworth, C.S. Levin, T.H. Farquhar et al. // IEEE Trans. Nucl. Sci. V. 48. 2001. P. 74

– 81.

51

Глава 2. Реконструкция изображений в позитронно-эмиссионной томографии

Первичные экспериментальные данные при проведении ПЭТисследований накапливаются в памяти компьютера в виде так называемых синограмм, из которых в результате процедуры реконструкции (восстановления) формируется изображение исследуемого объекта (имидж). Реконструкция может выполняться разными методами. Со времени своего внедрения в конце шестидесятых годов прошлого века в физико-математические приложения, связанные с получением медицинских изображений, томографическая реконструкция превратилась во всесторонне исследованную и высокоразвитую область прикладной науки. Разнообразие алгоритмов для реконструкции в ПЭТ обусловлено фактом отсутствия одного оптимального алгоритма. Различные алгоритмы могут оказаться предпочтительными в зависимости от таких факторов, как отношение сигнал/шум, статический или динамический характер исследования распределения РФП, практические ограничения на время процессинга и, самое важное, клинической задачи, для решения которой восстанавливается изображение.

В данной главе основное внимание уделяется наиболее общим методам реконструкции. За основу изложения взяты обзорные работы [1 – 3]. Для более детального изучения продвинутых методов и алгоритмов реконструкции изображений в ПЭТ рекомендуются специализированные монографии [4 – 8].

1. Сбор данных при 2-мерной и 3-мерной визуализации

ПЭТ-визуализация так же как некоторые другие способы визуализации может быть описана в рамках линейной интегральной модели набора данных. Начнем анализ с параллелепипеда, соединяющего два детекторных элемента, рассматривая его как чувствительный объем (рис. 2.1). Если отсутствуют такие физические эффекты как ослабление, рассеянные и случайные совпадения, изменение эффективности регистрации детекторов и влияние скорости счета, то полное число событий совпадения будет пропорциональ-

52

но количеству РФП (трассера), содержащегося в затемненной части параллелепипеда.

Рис. 2.1. Объем ответа, соответствующий чувствительной области, сканируемой двумя детекторными элементами: а – полное изображение с объемом ответа, показанным в виде линии ответа LOR; б – увеличенное изображение объема ответа (VOR), сканируемого двумя прямоугольными детекторными элементами (адаптировано из [3])

1.1. Двумерная визуализация

При 2-мерной визуализации в ПЭТ учитываются только линии ответа (LOR), лежащие внутри выделенной плоскости визуализации. Сбор данных производится вдоль LOR через 2-мерный объект f(x,y), как показано на рис. 2.2. Линии ответа организуются в ряды проекций, линейные интегралы по всем s для фиксированного направления . Множество всех проекций для 0 образуют

двумерную функцию переменных s и , называемую, как отмеча-

лось выше, синограммой. Происхождение этого термина объясняется тем, что фиксированная точка в объекте вычерчивает синусоидальный путь в области проекции (см. рис. 2.2). Синограмма всего объекта будет представлять суперпозицию всех синусоид, соответствующих каждой точке с активностью в исследуемом объекте (рис. 2.3).

53

Рис. 2.2. Проекция p(s, ) образуется в результате интегрирования вдоль всех

параллельных линий LOR под углом . В данном формате точка ● трассируется в синограмме в виде синусоиды (адаптировано из [3])

Рис. 2.3. Образование синограммы (б) в результате регистрации эмиссии позитронов в объекте (а) [3]

Линейное интегральное преобразование f (x, y) p(s, на-

зывается рентгеновским преобразованием [4], которое для 2-М изображений аналогично преобразованию Радона. Рентгеновское преобразование является основой для модели процесса сбора дан-

54

ных для нескольких модальностей, включая гамма-камеры, ОФЭКТ, ПЭТ, рентгеновские системы визуализации.

В 2-М ПЭТ формируются проекции только через поперечный скан объемного объекта. Визуализация 3-М объекта производится с помощью повторного набора данных для других (вдоль оси z) сканов объекта. После завершения реконструкции синограмм для каждой величины z, плоские изображения можно состыковать для получения 3-М изображения f(x,y,z). Такой метод можно рассматривать как возможную форму 3-М визуализации, но он существенно отличается от полной 3-М модели набора данных.

1.2. Полный 3-М набор данных

При 2-М визуализации в ПЭТ накапливаются только линейные интегральные данные для всех визуализационных плоскостей, перпендикулярных к оси сканера и называемых прямыми плоскостями (см. рис. 1.9 и 1.10). Серия 2-М плоскостей совмещается для образования 3-М объема. При полной 3-М визуализации в ПЭТ проводится набор данных как в прямых плоскостях, так и линейных интегралов данных вдоль косых плоскостей, которые пересекают прямые плоскости (см. рис. 1.10). Как многократные 2-М изображения, так и полные 3-М изображения приводят к 3-М визуализации. Разная терминология специфицирует только тип набираемых данных. Работа ПЭТ-сканера в полной 3-М моде позволяет увеличить чувствительность и, таким образом, понизить статистические флуктуации (шум), связанные с регистрацией фотонов, и улучшить отношение сигнал/шум в реконструированном изображении.

Ранние модели ПЭТ-сканеров не допускали полную 3-М визуализацию, так как эта мода требует примерно в 103 раз больше памяти, чем 2-М. В результате реконструкция становилась в расчетном отношении существенно более сложной и долгой. Кроме того, полные 3-М измерения содержат значительно больше рассеянных событий, чем 2-М измерения, так как последние выполняются с применением септы между кольцами детекторов, уменьшающей регистрацию рассеянных событий.

55

1.3. Детерминистская и стохастическая модели визуализации

Один из способов представления системы визуализации состоит в описании ее следующим линейным соотношением:

где p – ряд результатов измерений; H – известная модель системы; f

– неизвестное изображение; n – погрешность измерения.

Целью реконструкции является получение изображения f на основе проекций p через неизвестный объект. В рамках этой линейной интегральной модели требуется прояснить содержание значений данных. На практике значения данных моделируются либо как детерминистские, либо как стохастические (случайные) переменные.

По большей части данные, получаемые в ПЭТ, рассматриваются как детерминистские, поэтому n в уравнении (2.1) считается детерминистской величиной. Если значение n известно, то можно найти точное решение для изображения. Аналитические методы реконструкции для решения этой задачи используют обратное преобразование Радона, дающее прямое математическое решение для изображения f на основе знания проекций p. Преимущество детерминистского допущения заключается в упрощении задачи реконструкции, что позволяет получить быстрое прямое решение. Отрицательной стороной этого подхода является пренебрежение структурой шума в наблюдениях (измерениях) и идеализация модели системы. Как следствие, детерминистский подход может приводить к изображениям с уменьшенным разрешением и неважными свойствами шума (часто в форме полосы артефактов). Аналитические методы рассматриваются в следующем разделе.

На самом деле значения данных от природы стохастичны в силу физических реалий, имеющих место в ПЭТ, включая процесс позитронного распада, эффекты ослабления и рассеяния фотонов и процесс регистрации фотонов. Следовательно, n в уравнении (2.1) правильнее рассматривать как случайный шум, что делает невозможным нахождение точного решения для изображения. Поэтому часто приходится возвращаться к численным оценочным методам, которые в области томографической реконструкции ищут решение с помощью итеративного подхода. Эти оценочные методы приводят

56

к приближенным решениям при условии введения ограничений на решение в виде некоторых форм регулизации.

2. Аналитическая 2-М реконструкция изображений

2.1. Теорема 2-М центрального сечения

Теорема центрального сечения является фундаментальным соотношением в аналитической реконструкции изображений. Эта теорема устанавливает, что Фурье преобразование 1-М проекции эквивалентно сечению (или профилю) под тем же углом 2-М преобразования Фурье всего объекта [7]. На рис. 2.4 иллюстрируется эта теорема.

Рис. 2.4. Иллюстрация теоремы 2-М центрального сечения, устанавливающей эквивалентность между 1-М преобразованием Фурье проекции (F1(p(s, )) под уг-

лом и центрального сечения под тем же углом 2-М (F2(f(x,y)) преобразования Фурье объекта (адаптировано из [3])

Теорема центрального сечения указывает, что е сли известно P(vs , ) под всеми углами 0 , то можно определить все значения F(vx ,vy ) (здесь vx и vy обозначают

57

частоты, связанные с x и y, соответственно). Проводя обратное 2-М преобразование Фурье, получим f(x,y).

2.2. Обратное проецирование

Важнейший шаг в реконструкции изображений заключается в обратном проецировании, которое является сопряженным к процессу прямого проецирования, создающего проекции объекта. На рис. 2.5 демонстрируется обратное проецирование вдоль фиксиро-

ванного угла .

Рис. 2.5. Обратное проецирование b(x,y, ) в массив реконструируемого изображения всех величин p(s, ) для всех значений (адаптировано из [3])

Концептуально обратное проецирование можно описать, как помещение величины обратно в массив изображения вдоль соответствующей линии ответа. Однако ввиду отсутствия информации о расположении точек эмиссии на LOR (она была потеряна на шаге прямого проецирования), то приходится предположить постоянное распределение во всех элементах вдоль линии ответа. В таком случае было бы ошибочно считать, что прямое обратное проецирование всех собранных проекций создаст исходное изображение. Это

58

не так, потому что данный способ обратного проецирования приводит к преувеличенным значениям результатов ("избыточности") в центре преобразования Фурье и к уменьшенным значениям на краях. Например, если проводится обратное проецирование только

под двумя углами 1 и 2 , то после преобразования Фурье вклад в

центре будет двойным, в то время как на краях FOV одинарным. Другой пример возьмем с одиночным точечным источником. Если применить простое обратное проецирование проекций такого источника, то изображение окажется сильно размазанным, так как проекции добавляются обратно к полной LOR, вдоль которой они были сделаны. Для устранения эффекта перебора применяется взвешивание результатов или фильтрация, которые позволяют получить равные вклады по всей области обзора.

2.3. Реконструкция методом обратной проецирования с фильтрацией в Фурье пространстве

Задачей реконструкции является расчет из данных p(s, ) значе-

ний f(x,y). После обратного проецирования для корректировки избыточности данных в центре фурье-пространства требуется применения процедуры фильтрации, чтобы создать в этом пространстве равное распределение. По существу, преобразование Фурье обратной проекции изображения следует подвергнуть фильтрации с по-

мощью "конусного" фильтра ( v vx2 vy2 ). Этот фильтр повыша-

ет значения величин на края пространства Фурье и ослабляет в центре пространства. Такая операция записывается в виде

где B(vx,vy) – 2-М преобразование Фурье обратно проецированного изображения; F(vx,vy) – 2-М преобразование Фурье фильтрованной обратной проекции изображения. Заключительная операция состоит в инверсии фурье-преобразования F(vx,vy) для получения изображения f(x,y).

Такой способ обработки экспериментальных данных ПЭТ известен как метод реконструкции фильтрованной обратной проекции изображения. Таким образом, в этом методе сначала произво-

59

дится обратное проецирование данных по проекциям, затем они фильтруются в фурье-пространстве конусным фильтром и в заключении выполняется обратное фурье-преобразование. Альтернативно, фильтрацию можно провести в пространстве изображения, применяя свертку b(x,y) c F2-1{v}. Недостатком подобного подхода является то, что функция b(x,y) имеет более широкую область определения, чем f(x,y) из-за операции свертки с членом фильтрации, которая приводит в постепенному уменьшению значений за пределами области определения f(x,y). Таким образом, любая численная процедура должна рассчитывать b(x,y), используя существенно более широкую матрицу, чем это необходимо для конечного результата. Данный недостаток можно устранить, изменяя порядок шагов фильтрации и обратного проецирования.

2.4. Реконструкция методом фильтрованного обратного проецирования

Если изменить порядок шагов фильтрации и обратного проецирования в уравнении (2.2), то получим полезный метод реконструкции фильтрованного обратного проекций изображения:

где фильтрованная проекция определяется из уравнения:

которое можно рассматривать как предварительное корректирование на избыточность фурье-преобразования f(x,y). Одномерный пилообразный (англ. ramp) фильтр |vs| является сечением через симметричный относительно поворота 2-М конусный фильтр. Преимущество этого метода заключается в том, что пилообразный фильтр применяется к каждой измеренной проекции, которая имеет конечную область определения по s и необходимо выполнить обратное проецирование фильтрованных проекций только для |s|, меньшего чем радиус поля обзора. Это означает, что изображение в методе фильтрованной обратной проекции можно рассчитать, используя много меньшую по размеру матрицу реконструкции, чем в методе обратного проецирования с фильтрацией обратной проекции в фурье-пространстве.

60