Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Получили, что преобразования координат в пределах пары карт имеют как области положительности, так и области отрицательности якобиана. А тогда, как видно из доказательства теоремы 3.9,

следует существование противоречий цепочки карт на RP2 , что влечет за собой неориентируемость вещественной проективной плоскости.

По тем же соображениям, что и в примере 3.9, где была рассмотрена вещественная проективная прямая RP1 , вещественная проективная плоскость RP2 может быть интерпретирована как двумерная полусфера S+2 ={(x1, x2 , x3 ) R3 : x1 ≥ 0} R3 , с отождествленными диаметрально противоположными точками граничной окружности S1 = ∂S+2 . Проектируя полусферу на плоскость окруж-

ности, получаем возможность интерпретировать RP2 как круг (двумерный диск) с отождествленными диаметрально противоположными точками его граничной окружности.

Пример 3.11. Совокупность всех прямых на плоскости R2 можно разбить на два множества: A – невертикальные прямые, B – негоризонтальные прямые. Каждая прямая из A имеет уравнение y = a1x + a2 и тем самым характеризуется координатами (a1, a2 ) , в

71

то время как любая прямая из B имеет уравнение x = b1 y + b2 и за-

соответственно, от локальных координат (a1, a2 ) к локальным координатам (b1, b2 ) и, наоборот, на A ∩ B .

Таким образом, множество A B всех прямых на R2 наделяется гладким атласом из двух карт.

Любая прямая на плоскости R2 имеет уравнение ax +by + c = 0 , где вектор (a, b) – ненулевой, и характеризуется тройкой чисел (a, b, c) , a2 + b2 > 0 , причем пропорциональные тройки задают одну и ту же прямую. Может поэтому показаться, что мы снова имеем дело с вещественной проективной плоскостью RP2 , рассмот-

ренной в примере 3.10. Однако если в RP2 допускались любые тройки чисел, не равные одновременно нулю, то теперь не допус-

каются тройки вида (0, 0, c), c ≠ 0 . Всем таким тройкам в RP2 отвечает одна и та же точка. Значит, полученное в настоящем примере многообразие гомеоморфно тому, что получается удалением из

RP2 одной точки. Если интерпретировать RP2 как круг с отождествленными диаметрально противоположными точками граничной окружности, то выколов центр круга, с точностью до гомеоморфизма получим кольцо, внешняя окружность которого склеивается по диаметрально противоположным точкам. Можно показать, что получилось не что иное, как лист Мебиуса, для этого надо провести простое разрезание.

72

Вычислим якобиан преобразований (12.4) или (12.4′):

ме 3.9 карты A и B не согласованы, а кроме того, нельзя подобрать ориентирующего атласа.

Следовательно, гладкое многообразие, а значит, и лист Мебиуса неориентируемы.

§13. Разбиение единицы

Вэтом параграфе излагается специальная конструкция, называемая в математике разбиением единицы. Эта конструкция часто бывает основным приемом сведения глобальных вопросов к локальным. В этом параграфе она будет использована для пояснения возможности реализации любого многообразия в виде некоторой по-

верхности в пространстве Rn достаточно большой размерности n. Пусть M n – n-мерное гладкое многообразие. A – карта атласа

этого многообразия с локальными координатами (x1, x2 , ..., xn ) и пусть в карте A задан кубик

K ={(x1, ..., xn ); ai < xi < bi , i =1, 2, ..., n} A .

Определение 3.22. Функцией кубика K называется любая функция ΨK (x) , определенная на карте A, K A , удовлетворяющая

следующим условиям.

1.x K ΨK (x) > 0 .

2.x A \ K ΨK (x) = 0 , где K = K \ K (т.е. вне кубика K и на его границе ΨK (x) = 0 ).

73

Лемма 3.2. Пусть M n – n-мерное гладкое многообразие, τ –

гладкий атлас многообразия M n . Тогда для любой карты A τ и для любого кубика K A существует функция кубика K.

Доказательство.

1. Пусть R1 – вещественная прямая, a – произвольная точка R1 . Рассмотрим функцию

0, x ≤ a;

Ψa (x) = − 1 на R1.

e x−a , x > a

Ψa (x) – гладкая функция на R1 , так как существует

Функция Ψa′(x) непрерывна на R1 .

Аналогично проверяется существование и непрерывность производной Ψ(am) (x) любого порядка m на R1 . Значит, Ψa (x) –

функция класса C∞ на R1 .

Построим таким же способом гладкую функцию Ψb (x) для произвольной точки b R1 :

и Ψb (x) приведены на рис. 4.

74

точек, для которых x1 < 0 в локальных координатах (x1, x2 , ..., xn )

ляющимся объединением открытых кубиков.

Согласно лемме 3.2 для каждого кубика существует гладкая функция кубика ΨKi , i = 1, 2, …, N (можно брать произвольные

функции кубика, а необязательно те, которые построены в опреде-

лении 3.23).

Тогда построенные функции ei удовлетворяют следующим ус-

ловиям.

1. x Ki ei (x) > 0 , i =1, 2, ..., N.

76

2. x Ki ei (x) = 0 , i =1, 2, ..., N.

Определение 3.24. Пусть M n – гладкое многообразие размерности n, X – подмножество M n . Говорят, что система E ={eα}α J

2) каждая точка x X имеет такую окрестность U (x) в M n ,

что только конечное число функций системы E отлично от тождественного нуля на U (x) ;

3) ∑ eα (x) ≡1 на X.

eα E

Замечание 3.5. В силу условия 2 при любом x X в последней сумме лишь конечное число слагаемых отлично от нуля.

Замечание 3.6. Построенная в примере 3.12. система функций e1 (x), ..., eN (x) является разбиением единицы на некоторой окрест-

ности множества D .

Определение 3.25. Пусть μ ={Vβ}β J – открытое покрытие мно-

жества X M n , говорят, что разбиение единицы E ={eα}α J на X

подчинено покрытию µ, если носитель любой функции из системы E содержится, по крайней мере, в одном из множеств системы µ.

Подведем итог всему сказанному в этом параграфе.

1. Пусть M n – гладкое n-мерное многообразие с гладким атласом карт, D – открытое множество в M n , замыкание D которого компактно и граница D = D \ D – гладкая. Тогда на некотором

множестве G, содержащем D , существует гладкое разбиение единицы на G.

2. Если M n – гладкое компактное многообразие размерности n с гладким атласом карт τ, то на M n существует конечное разбиение единицы, подчиненноепокрытиюмногообразия M n картамиатласаτ.

77

В самом деле, так как M n – компакт, то атлас τ можно считать

конечным. Рассматривая D = M n , получаем сформулированный результат.

§ 14. Интеграл от формы по гладкому многообразию

Определение 3.26. Пусть M n – n-мерное гладкое ориентированное многообразие, ориентирующий атлас τ которого состоит из

ωn , x D → M n .

Интегралом n-формы ωn по ориентированному многообразию M n называется

где слева стоит определяемый интеграл, а справа обычный кратный

интеграл по области Dx от функции a12...n (x) .

Проверим, что сформулированное определение 3.26 корректно, т.е. не зависит от выбора локальной системы координат.

Пусть D = M n , D τ.

h : D → Rxn1, ..., xn , h(D) =Ux1 , ..., xn ;

h′: D → Rxn1′, ..., xn′ , h′(D) =Ux′1′, ..., xn′ , h, h′ –

78

в силу формулы замены переменных в кратком интервале, так как

∂(x1, ..., xn ) = ∂(x1, ..., xn ) > 0 на D. ∂(x1′, ..., xn′) ∂(x1′, ..., xn′)

Определение 3.27. Носителем определенной на гладком многообразии M n формы ω называется замыкание множества тех точек x M n , где ω(x) ≠ 0 .

Носитель формы ω обозначается символом supp ω . Вне носите-

ля координатное представление формы ω в любой локальной системе координат является нулевой формой данной степени.

Определение 3.28. Заданная на многообразии M n форма ω называется финитной формой, если supp ω – компакт в M n .

Определение 3.29. Пусть ω – финитная форма степени n на n- мерном гладком многообразии, ориентированном гладким атласом

supp ω , e1, ..., em – разбиение единицы, подчиненное этому покрытию на supp ω . Можно считать, что supp ei Ai , i = 1, 2, …, m.

79

считать форму ωi переносом заданной на M n формы ω в область параметров карты Ai , то естественно считать, что ωi = (hi−1 )* ω и если координатное представление в области Ui = hi ( Ai ) : ωn = a(x)dx1 ... dxn . Тогда по определению

где (hi−1 )* (eiω) – координатное представление формы eiω/ Ai в области Ui изменения локальных координат карты Ai , i = 1, 2, …, m.

80