Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Определение 4.11. Гладкое отображение c : I k → M n k- мерного куба в многообразие M n , I k Rn , называется сингулярным кубом на многообразии M n .

Это обобщение понятия гладкого пути γ0 : [0, 1] → M n , [0, 1]

отрезок на вещественной прямой R1 , на случай произвольной размерности k. В частности, сингулярный куб может состоять в пре-

образовании I k в одну точку.

Определение 4.12. Цепью (сингулярных кубов) размерности k на многообразии M n называется любая конечная формальная линейная комбинация ∑ αpcp сингулярных k-мерных кубов на M n

p

с вещественными коэффициентами αp .

Как и пути, сингулярные кубы, получающиеся друг из друга диффеоморфным изменением параметризации с положительным якобианом, считаются эквивалентными и отождествляются. Если же такая замена происходит с отрицательным якобианом, то соответствующие (противоположно ориентированные) сингулярные кубы с, c− считаются противоположными и полагают c− = −c .

Цепи размерности k на многообразии M n образуют линейное пространство относительно стандартных операций сложения и умножения на вещественное число. Это пространство обозначается

через Ck (M n ) .

Определение 4.13. Границей ∂I k k-мерного куба I k в Rk называется (k −1) -мерная цепь

индуцированное каноническим вложением соответствующей грани куба I k в Rk . Точнее, если

I k−1 ={x Rk−1; 0 ≤ xm ≤1, m =1, 2, ..., k −1} ,

101

то

cij (x) = (x1, ..., x j−1, i, x j , ..., xk −1 ) Rk .

Это формальное определение границы куба в точности совпадает с операцией взятия края стандартного ориентированного куба I k .

Определение 4.14. Граница ∂с сингулярного k-мерного куба есть (k −1) -мерная цепь

1 k

∂c = ∑ ∑ (−1)i+ j c cij . i=0 j=1

Определение 4.15. Граница k-мерной цепи ∑αpcp на много-

p

образии M n есть (k −1) -мерная цепь

∂ ∑p αpcp = ∑p αp∂cp .

Таким образом, на любом пространстве цепей Ck (M n ) определен линейный оператор

∂ = ∂k : Ck (M n ) → Ck−1(M n ) .

Для куба I k имеет место соотношение:

∂(∂I k ) = 0 .

Это следует из определения ∂I k , следовательно, вообще

∂ ∂ = ∂2 = 0 .

Определение 4.16. Циклом z размерности k или k-циклом на

многообразии M n называется такая цепь, для которой ∂z = 0 . Определение 4.17. Граничным циклом размерности k на много-

образии M n называется цепь, являющаяся границей некоторой (k +1) -мерной цепи.

102

мерных граничных циклов на многообразии M n соответственно.

называется k-мерный группой гомологий (с вещественными коэффициентами) многообразия M n.

Определение 4.20. Если c : I k → M n – сингулярный k-мерный

куб, а ωk – k-форма на многообразии M n , то интегралом от формы ωk по этому сингулярному кубу называется величина

∫ωk = ∫c*ωk .

c I k

Определение 4.21. Если ∑αpcp – цепь размерности k, а ωk –

p

k-форма на многообразии M n , то интеграл от формы по такой цепи

103

Из определений 4.11–4.14, 4.20, 4.21 следует, что для интеграла по сингулярному кубу справедлива формула Стокса ∫dω= ∫ω, где

c ∂c

c имеет размерность k, а форма ω имеет степень (k −1) .

Из определения 4.15 следует, что вообще формула Стокса остается в силе для интегралов по цепям.

Теорема 4.6.

1.Интеграл от точной формы по циклу равен нулю.

2.Интеграл от замкнутой формы по границе цепи равен нулю.

3.Интеграл от замкнутой формы по циклу зависит только от класса гомологий цикла.

4.Интеграл от замкнутой формы по циклу зависит только от класса когомологий формы.

2. ω замкнута dω = 0 , и, следовательно, по формуле Стокса

∫ω= ∫dω= 0 .

∂c c

3.Следует из 2.

4.Следует из 1.

5.Следует из 3 и 4.

Следствие 4.1. Билинейное отображение Ωk (M n ) ×Ck (M n ) → → R , задаваемое формулой: (ω, c) = ∫ω, индуцирует билинейное

c

отображение

k (M n ) × k (M n ) → R

и билинейное отображение

H k (M n ) × Hk (M n ) → R .

104

Последнее отображение задается формулой:

где ω k (M n ) и z k (M n ) .

Теорема 4.7 (де Рама). Задаваемое формулой (20.1) билинейное отображение

H k (M n ) × Hk (M n ) → R

невырождено. Доказательство этой теоремы не приводим, как и следующих двух теорем 4.8 и 4.9, тоже принадлежащих де Раму.

Вспомним, что билинейная форма L(x, y) называется невыро-

жденной, если при любом фиксированном отличном от нуля значении одной из переменных получается не равная нулю тождественно линейная форма по другой переменной.

Определение 4.22. Пусть ω – замкнутая k-форма, а z-цикл размерности k на многообразии M n , то величина per (z) = ∫ω называ-

z

ется периодом (или циклической постоянной) формы ω на цикле z. Если цикл z гомологичен нулю, то из п. 2 теоремы 4.6 следует,

что per (z) = 0 .

По этой причине между периодами имеется следующая связь:

т.е. если линейная комбинация циклов является граничным циклом, или, что то же самое, гомологична нулю, то соответствующая линейная комбинация периодов равна нулю.

Следующие две теоремы де Рама в совокупности равносильны его теореме 4.7.

Теорема 4.8 (первая теорема де Рама). Замкнутая форма точна тогда и только тогда, когда все ее периоды равны нулю.

Теорема 4.9 (вторая теорема де Рама). Если каждому k-циклу

форма ωk , что ∫ω = per (z) для любого цикла z k (M n ) .

z

105

§22. Гомотопические группы

игомотопическая эквивалентность

Определение 5.2. Пусть X и Y – два топологических пространства; f, g – непрерывные отображения

Эти отображения непрерывны и они непрерывно зависят от t. Иными словами, два непрерывных отображения f : X → Y и

g : X → Y гомотопны, если отображение f можно продеформиро-

вать в отображение g в классе непрерывных отображений, т.е. существует однопараметрическое семейство отображений с началом f и концом g.

Пусть Y и Y ′ – два топологических пространства. Мы хотим распознать: гомеоморфны они или нет? Для этого можно рассматривать отображение топологического пространства X в Y и в Y ′ с

точностью до гомотопии. Например, X = S1 – одномерная сфера – окружность. Получится дискретное множество классов эквивалентных отображений. Его можно изучить. Если такие множества окажутся разными, то Y заведомо не гомеоморфно Y ′.

Оказывается, что эти множества обладают структурой группы.

22.1. Фундаментальная группа топологического пространства

Пусть X = S1 , а в топологическом пространстве Y выбрана точка y0 . Выберем на окружности S1 точку *. Рассмотрим множество всех непрерывных отображений

f : S1 →Y ,

107

при которых точка * отображается в y0 . На этом множестве есть отношение гомотопности. При этом в процессе гомотопии отмеченная на окружности S′1 точка * все время должна переходить в y0 , т.е.

t [0, 1] : F (*, t) = y0 .

Определение 5.3. Множество классов эквивалентности по этому отношению называется фундаментальной группой и обозначается π1 (Y ; y0 ) .

Замечание 5.1. Как правило, фундаментальная группа рассматривается для линейно связного Y.

В определении фундаментальной группы π1 ( X , x0 ) вместо ото-

бражений S1 → X можно рассматривать отображения отрезка [0, 1] → X , при которых оба конца отрезка переходят в отмеченную

называется петлей. При этом f – непрерывное отображение (рис. 7).

Рис. 7

Определение 5.5. Пространством петель Ω( X , x0 ) называется множество непрерывных отображений

(S1; *) → ( X ; x0 ) .

Элементы фундаментальной группы π1 ( X ; x0 ) соответствуют компонентам линейной связности пространства Ω( X ; x0 ) .

108

Свойства фундаментальной группы.

1. Если топологическое пространство X гомеоморфно топологическому пространству X ′ , то множества π1 ( X ) и π1 ( X ′) находятся в естественном взаимно однозначном соответствии.

В самом деле, пусть h : X → X ′ – гомеоморфизм, x0 X , x0′ = h( x0 ) . Каждой петле ϕ: (S1; *) → ( X , x0 ) сопоставляем петлю

ψ= h Dϕ: (S1; *) → ( X ′; x0′ ) .

2.Групповая структура. Неформально композиция двух путей определяется следующим образом: сначала проходим первый путь,

апотом второй.

Пусть ϕ и ψ – два отображения отрезка [0, 1] → X , переводящие точки 0, 1 в x0 .

Определение 5.6. Композицией петель ϕ и ψ называется такая

Если петли ϕ′ и ψ′ гомотопны петлям ϕ и ψ соответственно, то петля χ′ = ϕ′ψ′ гомотопна петле χ = ϕψ .

Ассоциативность (с точностью до гомотопии) композиции петель очевидна.

Единичный элемент группы – это класс постоянного отображе-

ния S1 → x0 , x0 X .

Обратный элемент – петля, проходимая в обратном направлении. Гомотопность постоянному отображению петли, пройденной сначала в одном направлении, а затем в обратном, можно установить, потянув за точку 1/2 (в процессе гомотопии эта точка не обязана отображаться в отмеченную точку x0 ).

Существует ли топологическое пространство X, для которого группа π1 ( X ) не единичная?

Пример 5.1. π1(S1 ) = ] – множество целых чисел.

109

Доказательство. Пространство петель Ω(S1) гомеоморфно

резка [0, 1] → R1 . Для этого параметризуем окружность и использу-

ем локальную координату на окружности – аргумент (локально обратное отображение к отображению α → exp(2πiα) ). Мы полагаем,

что ϕ(0) = 0 , а ϕ(1) должно отличаться на целое число.

Пусть ϕ(1) = k . Тогда для любой гомотопной петли получим то

же самое число k . Это следует из того, что в процессе гомотопии число k должно изменяться непрерывно, и при этом все время оставаться целым, поэтому оно не изменяется.

Множество всех петель с одним и тем же индексом k линейно связно, т.е. все петли гомотопны.

Пусть ϕ и ϕ1 – функции с одним и тем же индексом k. Рассмотрим t [0, 1]: tϕ+ (1 −t)ϕ1 . Эта функция соответствует петле с индексом k. Семейство функций

t [0, 1]: tϕ+ (1 −t)ϕ1 = F (x, t)

представляет собой гомотопию, связывающую ϕ и ϕ1 :

F(x, 0) = ϕ(x) , F ( x, 1) = ϕ1 (x) .

22.2. Старшие гомотопические группы

Для распознания топологических пространств X и X ′ можно выбрать модельное множество A и рассмотреть множество классов непрерывных отображений [ A, X ] с точностью до гомотопии.

Пусть фиксированы точки a0 A и x0 X . Множество классов гомотопически эквивалентных отображений A → X , переводящих точку a0 в точку x0 , обозначается Π( A, X ) . Множество Π(S n ; X ) имеет специальное обозначение πn ( X ) .

Замечание 5.2. В зависимости от конкретной задачи иногда удобно бывает выбрать в A подмножество B и считать, что отображение B → X фиксировано.

110