Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

зависит от выбора карты. Он обозначается ei = ∂∂xi , i = 1, 2, …, n.

Определение 2.31. Пространство Tx*M n , сопряженное пространству Tx M n , касательному к многообразию M n в точке

x M n , называется кокасательным пространством к многообразию M n в точке x.

xn ) некоторой карты гладкого атласа многообразия M n отвечает взаимный с ним базис dx1 , …, dxn в кокасательном пространстве Tx*M n , сопряженном пространству Tx M n :

dxi (ξ) = ξi , i = 1, 2, …, n.

Поэтому dxi ∂∂x j = δij . Выражения этих взаимных базисов в дру-

гой карте могут оказаться не столь простыми, ибо

где рассмотрены две карты A и B с координатами ( x1 , …, xn ) и

(x1′, ..., xn′) соответственно, A ∩ B ≠ и x A ∩B .

§ 9. Дифференциальные формы на гладком многообразии

Определение 2.32. Говорят, что на гладком n-мерном многообразии M n задана дифференциальная форма степени k, если на каждом касательном к M пространстве Tx M n , x M n определена кососимметрическая форма

41

ций перехода x j′ = f j (x1, ..., xn ) , j = 1, 2, …, n.

Определение 2.33. Дифференциальная k-форма ωk на n-мерном многообразии M n принадлежит классу гладкости C(s) , если коэф-

ются функциями соответствующего класса C(s) .

Определение 2.34. Внешним дифференциалом называется ли-

нейный оператор d : Ωk → Ωk +1 , обладающий следующими свойствами:

42

1)d : Ω0 → Ω1 на любой функции f : M n → R , f Ω0 совпадает с обычным дифференциалом этой функции;

2)d (ωk ωl ) = dωk ωl + (−1)k ωk dωl , где ωk Ωk , ωl Ωl ;

3) d 2 = d d = 0 .

Последнее равенство означает, что для любой формы ω форма d (dω) – нулевая. Наличие условия 3 подразумевает, таким обра-

зом, что речь идет о формах гладкости, не ниже чем класса C(2) . Фактически это означает, что рассматривается C∞ -многообразие

M n и оператор d действует из Ωk → Ωk +1 .

Формула для вычисления оператора d в локальных координатах конкретной карты (а вместе с нею и единственность оператора d) вытекает из соотношения:

Существование оператора d вытекает теперь из того, что определенный в локальной системе координат только что написанным соотношением оператор удовлетворяет условиям 1-3 определения дифференциального оператора.

§ 10. Примеры и задачи

Пример 2.12. Пусть ω1 , ω2 , ω3 , ω4 – 1-формы. Упростить выражение:

(ω1 ω4 − 2ω1 ω3 ) (2ω2 − 4ω3 + 3ω4 ) = = 2ω1 ω4 ω2 − 4ω1 ω3 ω2 − 4ω1 ω4 ω3 +

43

Были раскрыты скобки с сохранением порядка сомножителей. Учитывая, что при перемене местами двух сомножителей внешнее произведение меняет знак, и, следовательно, внешнее произведение, включающее два одинаковых сомножителя, равно нулю, окончательно получаем, что выражение (10.1) примет вид

−2ω1 ω2 ω4 + 4ω1 ω2 ω3 + 4ω1 ω3 ω4 − −6ω1 ω3 ω4 = 4ω1 ω2 ω3 − 2ω1 ω2 ω4 − 2ω1 ω3 ω4 .

Пример 2.13. Пусть πi , i = 1, 2, …, n, – проектор пространства

Возьмем упорядоченный набор, состоящий из k векторов ξ1 , …,

ξk в Rn :

ξj = (ξ1j , ..., ξnj ).

Из определения следует, что

44

Решение. Так как

Тогда ω3 (ξ1, ξ2 , ξ3 ) = −104 −9 −37 − 45 = −195 .

Пример 2.14. Пусть [ξ1, ξ2 ] – векторное произведение векторов

ξ1 = (ξ11, ξ12 , ξ13 ) R3 и ξ2 = (ξ12 , ξ22 , ξ32 ) R3 .

Записать в координатном виде 2-формы

45

с другой стороны, по определению

следовательно,

π1([ξ1, ξ2 ]) = π2 π3 (ξ1, ξ2 ) .

Аналогично

π2 ([ξ1, ξ2 ]) = π3 π1(ξ1, ξ2 ) ; π3 ([ξ1, ξ2 ]) = π1 π2 (ξ1, ξ2 ) .

Пример 2.15. Пусть ωk – дифференциальная k-форма задана в области D Rn , если x D задана k-форма ωk (x) : Txk D → R .

Пусть в области D задано векторное поле A = ( Ax , Ay , Az ) . Такое поле порождает в D две часто употребляемые дифференциальные

чину объема жидкости, протекающей за единицу времени через параллелограмм, построенный на векторах h1 , h2 . Так как

46

( A, [h1, h2 ]) = Axπ1[h1, h2 ] + Ayπ2[h1, h2 ] + Az π3[h1, h2 ] ,

то используя координатную запись этой 2-формы на векторах h1 ,

Окончательно из равенства (10.2) получаем

Axdy dz + Ay dz dx + Az dx dy .

Дифференциальная 2-форма

ω2A = Axdy dz + Aydz dx + Az dx dy ,

заданная в D , часто называется формой потока векторного поля A. По аналогии с трехмерным случаем для векторного поля

A = ( A1, ..., An ) , определенного в области D Rn , формой работы и

формой потока часто называют, соответственно, дифференциальную 1-форму

Задача 2.1. Привести к координатному виду дифференциальную форму

ω= (x2dx1 dx2 + x3dx1 dx3 + x4dx1 dx4 +

47

+ x3dx2 dx3 + x1dx2 dx4 + x1dx3 dx4 )

(x2dx1 + x3dx2 + x4dx3 + x1dx4 ) .

Решение. По свойствам внешнего произведения имеем

ω= (x3 x2 − x3 x3 + x2 x4 )dx1 dx2 dx3 +

+(x2 x1 − x3 x4 + x2 x1)dx1 dx2 dx4 +

+(x1x2 − x4 x4 + x1x3 )dx1 dx3 dx4 +

+ (x1x3 − x4 x4 + x1x2 )dx2 dx3 dx4 .

Пример 2.16. Вычислить значение дифференциальной формы ω

ω(ξ1, ξ2 ) = (−1)(−8) − 2 12 + 2 1 + 0 4 = −14 .

48

делах которого может меняться угол β, характеризующий положение плеча b.

Замечание 3.1. На рассмотренном примере видно, что порой координаты на множестве X (в примере 3.1 это α, β) возникают естественным образом и они сами вводят на множестве X топологию.

Пример 3.2. Рассмотрим двухатомную молекулу, состоящую из различных атомов.

Положение такой молекулы описывается координатами центра инерции и сферическими углами, определяющими направление отрезка, соединяющего атомы. Это означает, что конфигурационное пространство топологически эквивалентно произведению

R3 × S 2 (считается, что молекула не меняет внутреннего состояния; ее можно рассматривать как твердый стержень).

Пример 3.3. Положение двухатомной молекулы, состоящей из одинаковых атомов, описывается координатами центра инерции и, при фиксированном центре инерции, прямой, проходящей через центр инерции. Благодаря тому, что атомы одинаковы, направление на этой прямой не задано.

Конфигурационное пространство такой молекулы топологиче-

ски эквивалентно произведению R3 × RP2 , где RP2 – вещественная проективная плоскость.

Чтобы разобраться в том, что только что описано в примерах, нам недостаточно введенных ранее понятий.

Пусть X – топологическое пространство (см. гл. 2 § 1) и пусть

A X , A ≠ .

Определение 3.1. Точка b X называется предельной точкой множества A в топологическом пространстве X, если для любой окрестности Vb точки b существует такая точка a Vb ∩ A , что

a ≠ b .

Множество всех предельных точек множества A обозначается

A′ .

Пример 3.4. Множество Z-целых чисел в R1 не имеет предельных точек, т.е. Z′ = .

50