Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Задача 7.17. Пусть гладкое отображение h: M × I → M , M – гладкое многообразие. Если отображение h рассматривать как се-

А. Пусть ht C(∞) (M , N ) , t I , – гладко зависящее от парамет-

ра t семейство отображений многообразия M в многообразие N. Проверьте, что для любой формы ω Ω(N ) справедлива следую-

щая формула гомотопии:

при t′ = t .

Б. Покажите, что если N – стягиваемое многообразие в точку, то для любого многообразия M и для любого k = 0, 1, 2, …

H k (N × M ) = H k (M ) .

Задача 7.19.

А. Непосредственно покажите, что если замкнутая 2-форма на сфере S2 такова, что ∫ ω= 0 , то форма ω – точная.

S2

Б. Покажите, что группа H 2 (S 2 ) изоморфна R.

С. Покажите, что H1(S 2 ) = 0 .

Задача 7.20.

А. Пусть ϕ: S2 → S2 – отображение, которое каждой точке x S2 ставит в соответствие диаметрально противоположную ей точку −x S2 (антипод).

Покажите, что между формами на проективной плоскости RP2 и формами на сфере S2 , инвариантными относительно отображения ϕ (т.е. ϕ*ω = ω), имеется взаимно однозначное соответствие.

131

тождественному отображению.

Задача 7.25. Любое векторное поле на сфере S2n обращается хотя бы в одной точке в нуль.

Задача 7.26. Докажите теорему Брауэра (о неподвижной точке).

Любое гладкое отображение f диска Dn в себя имеет неподвижную точку.

Размерность линейного пространства H k (M n , R) называется k-мерным числом Бетти многообразия M n.

Задача 7.27. Исходя из определения 7.5, найдите одномерное число Бетти тора T 2 = S1 ×S1 .

К гл. 5

Задача 7.28. Покажите, что π1 (Y; y0 ) является группой с естественной групповой операцией.

132

Задача 7.29. Покажите, что π1 (Y; y0 ) в некотором смысле не зависит от точки y0 для линейно связного пространства Y (т.е. группы π1 (Y ; y0 ) и π1 (Y; y1 ) изоморфны, хотя и этот изоморфизм не канонический – он определяется путем, соединяющим y0 и y1 ).

Задача 7.30. Покажите, что π1 (Y; y0 ) – топологический инвари-

ант пространства Y, т.е. при замене Y на гомеоморфное ему топологическое пространство фундаментальная группа заменяется на изоморфную.

Задача 7.31. Вычислите π1(Sn ) при n ≥ 2 .

Задача 7.32. Пусть Bn – n-мерный диск (шар) с границей Sn−1 .

Тогда Bn / Sn−1 гомеоморфно Sn ( Bn / Sn−1 – фактор-пространст- во).

Задача 7.33. Для каких A на множестве Π( A; X ) при любом X

есть естественная групповая структура?

(Частичный ответ: если A = ΣB , то Π( A; X ) – группа, а если

A = ΣΣC , то эта группа абелева.)

Задача 7.34. Докажите, что определенная в тексте композиция превращает πn ( X ) в группу.

Задача 7.35. Покажите, что гомотопия является соотношением эквивалентности в пространстве C( X ; Y ) – непрерывных отобра-

жений X →Y .

Задача 7.36. Пусть Y – выпуклое множество в Rn , т.е. такое множество, которое вместе с любыми своими точками содержит и отрезок прямой, соединяющий эти точки. Топология на Y индуци-

рована топологией Rn .

Покажите, что отображение любого топологического пространства X в Y гомотопно тождественному отображению.

Задача 7.37. Пусть f : S n → X , X – топологическое простран-

ство. Пусть Bn+1 – диск (шар), границей которого является сфера

S n ( S n = ∂Bn+1 ). Покажите, что f гомотопно тождественному отображению тогда и только тогда, когда оно может быть продолжено

внутрь шара Bn+1 , т.е. когда существует такое непрерывное отображение g : Bn+1 → X , что g / ∂Bn+1 = f .

133

лидово пространство с выколотой точкой гомотопически эквивалентны.

Задача 7.40. Приведите пример топологического пространства

К гл. 6

Задача 7.43. Докажите, что расслоение Хопфа нетривиально (т.е. не сводится к прямому произведению).

Задача 7.44. Ответьте на вопрос: верно ли, что любое расслое-

ние со слоем Dk тривиально?

Указание 7.45. Рассмотрите лист Мебиуса, при k >1 можно пользоваться расслоением произведения.

Задача 7.46. Пусть D – область в Rn ; f : D → Rn – отображе-

ние Cr (D) , якобиан которого отличен от нуля во всех точках облас-

ти D.

Верно ли, что отображениеf обратимо? Верно ли этопри n = 1?

Задача 7.47. Докажите, что следующие топологические про-

Задача 7.48. Какие из перечисленных в задаче 7.47 многообразий ориентируемы, а какие неориентируемы?

Задача 7.49. Докажите, что если на многообразии имеется ориентрирующий атлас, то любой эквивалентный ему атлас тоже будет ориентирующим.

134

Задача 7.50.

1.Докажите, что любое многообразие паракомпактно.

2.Докажите, что для n-мерного многообразия можно выбрать открытое покрытие, при котором каждую точку покрывают не более n +1 множеств.

135

138