Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

так как dx j dxi = −dxi dx j . В случае n = 3 , т.е. в R3

dω1A = ω2rot A .

Следовательно, необходимым условием потенциальности получается хорошо известное в математическом анализе условие: A потенциально rot A = θ, что соответствует знакомому условию:

rot U = θ.

Пример 4.1 (продолжение). Возвращаемся к случаю: n = 2 . В

R2 \ {O}

покажем позднее, что это поле не является потенциальным, т.е. условие: dω1A = ω2rot A , являясь необходимым, вообще говоря, не явля-

ется достаточным для потенциальности поля.

Теорема 4.1 (критерий потенциальности векторного поля).

Непрерывное в области D Rn векторное поле A потенциально в D тогда и только тогда, когда его циркуляция (работа) на любом лежащем в D замкнутом пути γ равна нулю:

∫ A ds = 0 ,

γ

93

где γ: [a, b] → D (замкнутость пути γ означает, что γ(a) = γ(b) D ).

против часовой стрелки один раз, равна 2π ≠ 0 . Откуда следует на основании теоремы 4.1 из математического анализа, что поле A не является потенциальным в области R2 \ {O} .

ти R2 \ {O} , ибо в точках оси Oy она не существует.

94

Однако и теперь противоречия никакого нет, хотя сейчас уже ситуация более деликатная. Надо обратить внимание на то, что ϕ на самом деле не является непрерывной однозначной функцией точки

в R2 \ {O} . При обходе точки вокруг начала координат против ча-

совой стрелки ее полярный угол, непрерывно меняясь, увеличится на 2π , когда точка вернется в исходное положение, т.е. приходим в исходную точку не с тем же, а с новым значением функции. Следовательно, надо отказаться либо от условия непрерывности ϕ(x, y)

вобласти R2 \ {O} , либо от однозначности ϕ.

Вмалой окрестности (не содержащей начало координат) каждой

точки области R2 \ {O} можно выделить непрерывную однознач-

ную ветвь функции ϕ. Все такие ветви отличаются лишь на аддитивную постоянную, кратную 2π . Все они имеют одинаковый дифференциал и могут служить локальными потенциалами поля

A . Тем не менее поле A во всей области R2 \ {O} потенциала не

имеет.

Теорема 4.2. Если необходимое условие потенциальности поля

выполняется в некотором шаре B Rn , то в этом шаре поле имеет потенциал.

§ 18. Топологическая структура области и потенциал

Сопоставляя пример 4.1 и теорему 4.2, можно заключить, что при выполнении необходимого условия dω1A = 0 потенциальности

векторного поля A вопрос о том, всегда ли оно потенциально, связан с устройством (топологической структурой) области, в которой поле задано.

В силу теоремы 3.12 (Пуанкаре) любая замкнутая форма на многообразии локально является точной. Склеить эти локально первообразные в одну форму на всем многообразии удается далеко не всегда, как видно в примере 4.1, и это зависит от топологической структуры многообразия.

Определение 4.3. Говорят, что в области D Rn имеется гомотопия (или деформация) замкнутого пути

95

Γ(0, t2 ) = Γ(1, t2 ) . Таким образом, гомотопия и есть отображение

в любой момент времени t [0, 1] выполняются условия:

γt (0) = Γ(0, t) = Γ(1, 0) = γt (1) ,

означающие, что путь γt – замкнутый.

Определение 4.4. Два замкнутых пути называются гомотопными в области, если можно построить гомотопию в области, переводящую один из них в другой.

Замечание 4.1. Для областей, лежащих в Rn , можно проверить, что наличие непрерывной гомотопии (кусочно) гладких путей в них обеспечивает и наличие (кусочно) гладкой гомотопии этих же путей.

Теорема 4.3. Если 1-форма ω1A в области D такова, что dω1A = 0 , а замкнутые пути γ0 и γ1 гомотопны в D, то

∫ω1A = ∫ω1A .

96

перенесется в квадрат I 2 в виде некоторой 1-формы ω= Γ*ω1A . При

этом dω= dΓ*ω1A = Γ*dω1A = 0 , так как dω1A = 0 . Значит, по формуле Стокса

∫ ω= ∫dω= 0 .

Определение 4.5. Область в Rn называется односвязной, если любой замкнутый путь в ней гомотопен точке (т.е. постоянному пути).

Итак, именно в односвязной области любой замкнутый путь можно стянуть в точку.

Теорема 4.4. Пусть заданное в односвязной области D поле A

удовлетворяет необходимому условию потенциальности. Тогда A потенциально в D.

Доказательство. В силу замечания 4.1 достаточно проверить для любого гладкого пути γ в области D равенство: ∫ Ads = 0 .

γ

Пусть γ гомотопен постоянному пути, носитель которого состоит из одной точки. Интеграл по такому одноточечному пути равен нулю. Но в силу теоремы 4.3 при гомотопии интеграл не меняется, значит, и для пути γ справедливо равенство:

∫ Ads = 0 .

γ

97

§ 19. Когомологии многообразия

Замкнутые и точные вещественнозначные формы на многообразии M образуют бесконечномерные линейные пространства, обо-

ваются когомологичными или лежат в одном классе когомологий, если ω1 −ω2 Bk (M ) , т.е. если они отличаются на точную форму.

Класс когомологий формы ω k (M ) будем обозначать символом [ω] .

=k (M ) / Bk (M ) называется группой k-мерных когомологий (с

вещественными коэффициентами) многообразия M. Определение 4.8. Число bk = dim H k (M ) называется k-мерным

числом Бетти многообразия M.

H k (M ) = 0 .

2.Из теоремы Пуанкаре следует, что если M стягиваемо, то при k > 0 H k (M ) = 0 .

3.На любом связном многообразии M группа H 0 (M ) изоморф-

98

n

Определение 4.9. Прямую сумму H * (M n ) = H k (M n ) пре-

k =0

вратим в алгебру, задав умножение в пространстве H * (M n ) , каж-

значаемый h(k) h(l) и называемый произведением элементов h(k ) и h(l) по следующему закону:

h(k) h(l) = ωk ωl + Bk+1(M n ) ,

где h(k) = ωk + Bk (M ) , h(l) = ωl + Bl (M n ) – смежные классы,

ωk k (M n ) , ωl k (M n ) .

Это определение корректно, так как если β – точная форма, а ζ – замкнутая форма, то β ζ – точная форма.

Всамом деле, так как β точна, то существует такая форма α, что

β= dα . А тогда β ζ = dα ζ = d(α ζ) , ибо dζ = 0 .

На все пространство H * (M n ) умножение распространяется по линейности.

Умножение k h обладает всеми свойствами внешнего умножения и пространство H * (M n ) когомологий превращается в косокоммутативную алгебру, называемую алгеброй когомологий мно-

странства Rn . Точка O Dn – деформационный ретракт диска Dn .

99

Действительно, O – деформационный ретракт пространства Rn . Сопутствующая гомотопия задается формулой:

логично рассматривается случай диска Dn .

§ 20. Гомологии многообразия

Более наглядную геометрическую связь с многообразием имеют группы гомологий многообразий.

100