Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

топологическое пространство, считая открытыми подмножествами в M следы открытых подмножеств из X.

Более точно множество V M открыто в M, если V = M ∩U , где U – открытое множество в X.

Ясно, что все аксиомы определения топологического простран-

Пример 2.5. Рассмотрим важный частный случай X = Rn . Отображение f : Rm → Rn задается набором функций

f i (x1, ..., xm ) = yi , i = 1, 2, …, n; f непрерывно в топологическом

смысле тогда и только тогда, когда функции yi = f i (x1, ..., xm ) , i = 1, 2, …, n непрерывны в обычном смысле.

Определение 2.9. Пусть f : X1 → X 2 , g : X 2 → X3 . Суперпозицией отображений f и g называется последовательное отображе-

31

крытое множество в X1 . Следовательно, (g f )−1(U ) – открытое множество в X1 .

Определение 2.10. Отображение f : X1 → X 2 топологического пространства X1 в топологическое пространство X2 называется гомеоморфизмом, если f взаимно однозначное (в этом случае существует обратное отображение f −1 : X 2 → X1 ) и как f, так и f −1

непрерывны.

Определение 2.11. Два топологических пространства называются гомеоморфными, если между ними существует хотя бы один гомеоморфизм.

Утверждение 2.1. Отношение гомеоморфности есть отношение эквивалентности на множестве всех топологических пространств. (Утверждение следует из определений отношения эквивалентности и гомеоморфизма.)

Пример 2.6. Взаимно однозначное и непрерывное отображение не является гомеоморфизмом. Пусть X1 – множество всех нату-

ральных чисел с дискретной топологией; X2 – множество рациональных чисел отрезка [0, 1] с топологией, индуцированной вложением X2 R1 . Топология на X2 не дискретна, следовательно, не все множества в X2 открыты, и поэтому топологические пространства X1 и X2 не гомеоморфны. В то же время X1 и X2 – счетные множества и между ними существует взаимно однозначное соответствие f : X1 → X 2 . Отображение f непрерывно, так как X1 – дискретное пространство.

§ 6. Аксиомы счетности и аксиомы отделимости

Для того чтобы излучение топологических пространств было содержательной задачей, на топологию накладывают те или иные дополнительные ограничения.

Приведем условия, которые ограничивают топологию сверху, т.е. не рассматриваем топологии, связанные с очень большим числом открытых множеств.

32

6.1. Аксиомы счетности

Определение 2.12. Семейство A ={B} открытых множеств

B X в топологическом пространстве X называется базой открытых множеств, если каждое открытое множество U можно представить в виде

U = B .

B A

Определение 2.13. Пусть X – топологическое пространство, а a X . Говорят, что в точке a имеет место первая аксиома счетности, если у этой точки имеется счетное (или конечное) семейство открытых окрестностей V1 , V2 , …, составляющее базу открытых

окрестностей данной точки. Это означает следующее: для любой открытой окрестности V точки a найдется такая окрестность Vi , что

Vi V .

Определение 2.14. Говорят, что топологическое пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетности, если в любой точке этого пространства имеет место первая аксиома счетности.

Определение 2.15. Говорят, что топологическое пространство X удовлетворяет второй аксиоме счетности, если существует счетная (или конечная) база открытых множеств пространства X.

Пример 2.7. В примере 2.3 в пространстве Rn открытые множества определялись с помощью базы, но эта база была несчетной. Ее легко превратить в счетную базу, если рассматривать открытые множества

{x(x1, ..., xn ) : ai < xi < bi , ai , bi Q, i =1, 2, ..., n} ,

где Q – множество всех рациональных чисел в R1 . Итак, Rn – про-

странство со счетной базой, т.е. Rn удовлетворяет второй аксиоме счетности.

Смысл первой аксиомы счетности состоит в том, что если последовательность {xn}+∞n=1 сходится к a при n →+∞ в топологиче-

ском пространстве X, то определение предела в произвольном топологическом пространстве надо проверять для любой открытой окрестности точки a; если же в точке a выполняется первая аксио-

33

ма счетности, то определение предела надо проверить только для базисных окрестностей.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.2. В топологическом пространстве со второй аксиомой счетности справедлива первая аксиома счетности.

Доказательство этой теоремы предоставляем читателю. Определение 2.16. Задано открытое покрытие топологического

пространства X, если выделено такое семейство открытых подмножеств {Uα} , α I , что X = Uα . Значение покрытий заключает-

α I

ся в том, что топология всего пространства может быть устроена довольно сложно, а локально ее тем не менее легко изучить. Сделать это иногда позволяет соответствующее покрытие.

Определение 2.17. Говорят, что покрытие {Vi }, i I , является подпокрытием покрытия {U j } , j J , если для любого индекса

Смысл второй аксиомы счетности раскрывает следующая теорема.

Теорема 2.3. При наличии в топологическом пространстве X второй аксиомы счетности из любого открытого покрытия {Vi },

i I , где I – произвольное множество индексов, можно выделить счетное подпокрытие V1 , V2 , … .

Доказательство. Так как X со второй аксиомой счетности, то в X есть счетная база открытых множеств B1 , B2 , B3 , … . По определению счетной базы топологического пространства для любого

покрытие пространства X. Выделим теперь из A счетное подпокрытие: Bi1 содержится в некотором V1 A , Bi2 содержится в некото-

ром V2 A и т.д. В итоге получим набор V1 , V2 , … открытых под-

34

множеств из A. Поскольку {Bik } – счетное семейство, то и {Vk } –

счетное семейство. Но так как {Bik } – покрытие пространства X, то и {Vk } – покрытие пространства X, так как Bik Vk . Среди тополо-

гических пространств выделяется интересный класс бикомпактных топологических пространств.

Определение 2.18. Пространство X называется бикомпактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Подмножество в топологическом пространстве называется бикомпактным, если оно бикомпактно как топологическое пространство с индуцированной топологией.

Пример 2.8. Отрезок [a, b] , a < b , – бикомпактное топологиче-

ское пространство.

Пример 2.9. Полуинтервал (0, 1] не является бикомпактным то-

Но бикомпактное топологическое пространство со счетной базой открытых множеств все еще недостаточно хороший объект для геометрии. Например, в таких пространствах последовательность

35

Пространство X, построенное в примере 2.10, бикомпактно со счетной базой, но с топологией, состоящей в том, что точки a и b не имеют непересекающихся окрестностей.

6.2. Аксиомы отделимости

Приведем условия, дающие ограничения на топологию снизу, т.е. при выполнении этих ограничений число открытых множеств не может быть слишком маленьким.

Определение 2.18. Говорят, что топологическое пространство X удовлетворяет аксиоме Ti , i = 0, 1, 2, 3, 4, если выполнены сле-

дующие условия.

Аксиома Колмогорова T0 : для любых двух различных точек x, y X по крайней мере одна из них имеет окрестность, не содержащую другую точку.

Аксиома T1 : для любых двух различных точек x, y X суще-

ствует открытая окрестность точки x, не содержащая точку y, и существует открытая окрестность точки y, не содержащая точку x.

Аксиома T2 : для всякой пары различных точек из X существуют непересекающиеся их открытые окрестности. Топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме T2 , называется хаусдорфовым.

Аксиома T3 : для любой точки x X и всякого не содержащего ее замкнутого множества F существуют такие непересекающиеся открытые подмножества V1 и V2 , что x V1 X , F V2 X .

Аксиома T4 : для любой пары непересекающихся замкнутых множеств F1 , F2 , Fi X , i = 1, 2, существуют непересекающиеся открытые множества U1 , U2 в X, такие, что F1 U1 , F2 U2 .

Определение 2.19. Топологическое пространство называется регулярным, если оно одновременно удовлетворяет аксиомам T1 и T3 .

Определение 2.20. Топологическое пространство называется нормальным, еслионо одновременно удовлетворяетаксиомам T1 и T4 .

Лемма 2.1. В хаусдорфовом пространстве предел сходящейся последовательности единственен.

Доказательство. Пусть {xn} сходится и {xn } X , X – хаусдорфово пространство.

36

{xn} сходится a X : xn → a при n →+∞ .

Предположим, что b X , a ≠ b и xn → b при n →+∞ . Возьмем такие открытые окрестности U (a) и V (b) , a U (a) , b V (b)

и V (b) ∩U (a) = . Так как xn n→+∞→ a U (a) N n > N : xn U (a) . Значит, в V (b) может лежать лишь конечное число на-

чальных членов последовательности {xn} , что противоречит тому, что b – предел последовательности {xn} .

Лемма 2.2. В хаусдорфовом пространстве X любое одноточечное подмножество замкнуто. (Доказать самостоятельно.)

§ 7. Понятие гладкого многообразия

Определение 2.21. Говорят, что на топологическом пространстве X задана карта, если выделено открытое множество A, которое го-

меоморфно отображается на открытое множество пространства Rn . Определение 2.22. Число n называется размерностью карты A. Заметим, что не всякое топологическое пространство допускает карту. Задание карты накладывает сильные ограничения на тополо-

гию пространства.

Пример 2.11. В качестве примера топологического пространства, на котором нет карты, можно взять множество всех рациональных

(или иррациональных) чисел с топологией, индуцированной из R1 . Задание карты налагает ограничения на топологию только в одном месте – месте ее задания. Хотелось бы наложить ограничения

на топологию глобально.

Определение 2.23. Множество карт, покрывающих все топологическое пространство, называется атласом.

Определение 2.24. Топологическое пространство называется топологическим многообразием, если оно хаусдорфово, со второй аксиомой счетности, допускает атлас данной размерности n.

Пусть X – топологическое многообразие с атласом размерности n и пусть A и B – две карты атласа, A ∩ B ≠ (рис. 2).

h : A →U Rn (x1, ..., xn ) ,

k : B →V Rn ( y1, ..., yn ) – соответствующие гомеоморфизмы.

37

Тогда xi = f i ( y1, ..., yn ) , i = 1, 2, …, n и y j = g j (x1, ..., xn ) , j = 1, 2, …, n; где f i – координатная запись отображения

h k −1 : k( A ∩ B) → h( A ∩ B) , g j – координатная запись отображения

k h−1 : h( A ∩ B) → k( A ∩ B) .

Рис. 2

Определение 2.25. Отображения k h−1 , h k−1 называются функциями перехода от координат (x1, ..., xn ) к координатам

( y1, ..., yn ) .

Теперь определим на топологическом многообразии M новую структуру – структуру гладкого многообразия. Предположим, что на топологическом многообразии M удалось найти гладкий атлас, т.е. такой атлас, что в местах пересечения любых двух карт зависимость координат гладкая (гладкая зависимость понимается как

38

гладкость типа C∞ , т.е. у функций перехода имеются частные производные любого порядка n).

Замечание 2.2. Не из любого атласа можно выбрать гладкий атлас. Например, при n >10 существуют топологические многообразия, не допускающие гладких атласов. В произвольном топологическом многообразии гладкая зависимость между картами разрушается при замене координат.

Определение 2.26. Атлас топологического многообразия M назы-

ваетсягладким, есливсе функциипереходапринадлежатклассу C∞ . Определение 2.27. Два гладких атласа называются эквивалентными, если для любой карты A из первого гладкого атласа и для любой карты B из второго гладкого атласа, A ∩ B ≠ , связь между

ними гладкая. Если A ∩B =, то карты A и B гладко связаны по определению.

Определение 2.28. Говорят, что на топологическом многообразии M определена гладкая структура (в топологическое многообразие внесена гладкая структура), если задан гладкий атлас с точностью до замены эквивалентным гладким атласом (фиксированной размерности n).

Топологическое многообразие, в которое внесена гладкая структура, называется гладким.

Замечание 2.3. Для гладких многообразий требование хаусдорфовости в определении топологического многообразия не вытекает из остальных требований гладкости многообразия.

Связное хаусдорфово локально-евклидово топологическое пространство может не иметь счетной базы (пример Прюффера).

§ 8. Касательное пространство

Пусть M n – гладкое n-мерное многообразие и x M n – произвольная точка в M n . Выберем в окрестности точки x две системы координат (x1, ..., xn ) и (x1′, ..., xn′ ), т.е. рассмотрим две карты h :

39

Определение 2.29. Говорят, что в точке x на многообразии M n задан вектор, если в каждой карте (отвечающей гладкой структуре)

задан упорядоченный набор n чисел ξ1, ..., ξn (координаты вектора

в данной карте), которые при переходе от одной карты к другой преобразуются по закону

ξi′ = ∂xii′ ξi ,

∂x

∂xi′

где частные производные ∂xi вычисляются в точке x.

Замечание 2.4. Определение вектора непротиворечиво. Действительно, пусть есть координаты x1′′, ..., xn′′ . В этих координатах

∂xi′′

ξi′′ = ∂xi ξi .

∂xi′′

Верно ли, что ξi′′ = ∂xi′ ξi′ ? Имеем

Определение 2.30. Все векторы многообразия M n в точке x образуют векторное пространство, которое называется касательным пространством к M в точке x и обозначается Tx M .

Линейные операции в пространстве Tx M определяются следующим образом:

ξ(ξ1, ..., ξn ) + η(η1, ..., ηn ) = (ξ + η)(ξ1 + η1, ..., ξn + ηn ) ,

где ξ(ξ1, ..., ξn ) – вектор с координатами ξ1, ..., ξn и

λξ(ξ1, ..., ξn ) = ξ(λξ1, ..., λξn ) .

Эти операции выполняются в каждой точке. Данные определения корректны, т.е. λξi и ξi + ηi преобразуются по закону, определяющему вектор.

40