Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

2.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Докажем корректность этого определения. Пусть τ – другой атлас, задающий на M n ту же гладкую структуру и ориентацию, что и атлас τ и пусть A1 , ..., Am , e1, ..., em – соответствующее покрытие supp ω картами атласа τ и подчиненное ему разбиение единицы на supp ω .

Введем функцию fij = eiej , i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, m . Поло-

жим ωij = fijω. Заметим, что suppωij Bij = Ai ∩ Aj . Тогда из корректности определения интеграла по задаваемому одной картой

ориентированному многообразию M n			вытекает, что
∫(hi−1 )* ωij = ∫ (hi−1 )* ωij = ∫ (h−j 1 )* ωij = ∫ (h−j 1 )* ωij ;
Ui	hi (Bij )	hj (Bij )	U j

Bij = Ai ∩ Aj , i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, m .

Суммируя эти равенства по i от 1 до m и по j от 1 до m с учетом того, что

m	m	m
∑ fij =	∑eiej = ej ∑e1 = ej ;
i=1	i=1	i=1
m	m	m
∑ fij =	∑eiej = ei ∑ej = ei ;
j=1	j=1	j=1
m	m	m m
supp ω=		(Ai ∩ Aj )= Bij ;
i=1 j=1		i=1 j=1

Ui = hi ( Ai ) , U j = hj (Aj ) , Wij =U j ∩U j = hi (Bij ) = hj (Bij ) ,

i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, m получаем тождество

∫		m	∫		m	m	∫ (hi−1 )* (ωij ) =
∫		ω = ∑	∫	(hi−1)* (eiω) = ∑∑			∫ (hi−1 )* (ωij ) =
M	n	i=1 h	(B	)	i=1	j=1 h	(B )
M		i	ij			i	ij
		m m		(hi−1 )*	m	m	(h−j 1 )* (ωij ) =
		= ∑∑ ∫		(hi−1 )*	(ωij ) = ∑∑ ∫		(h−j 1 )* (ωij ) =
		i=1 j=1 W			j=1 i=1 W
			ij			ij

m m	∫ (h−j		m	∫			m		(h−j 1 )* (ejω) ,
= ∑∑	∫ (h−j		1 )* (ωij ) = ∑	∫	(h−j 1 )* (ejω) = ∑ ∫				(h−j 1 )* (ejω) ,
j=1 i=1 h	(B )		j=1 h	(B	)		j=1 U	j
j	ij		j	ij				j
т.е.
			m		m		−j 1 )* (ejω) ,
	∫ ω= ∑ ∫(hi−1 )* (eiω) = ∑ ∫ (h						−j 1 )* (ejω) ,
	M	n	i=1 U		j=1 U	j
	M		1			j
тогда корректность определения интеграла доказана.
			§ 15. Формула Стокса
Теорема 3.11			(многомерная		теорема Стокса).				Пусть M n –

гладкое n-мерное ориентированное многообразие, ω – гладкая финитная дифференциальная форма степени n −1 на M n .

Тогда ∫	ω= ∫ dω, где ориентация края ∂M n многообразия
∂M n	M n

M n берется согласованной с ориентацией многообразия M n . Если

∂M n = , то ∫ dω= 0 .

		M n
	Доказательство. Пусть M n ориентировано гладким атласом τ,
A , ..., A		– карты атласа τ, покрывающие supp dω, h :	A → Rn ,
1	m	i	i

hi ( Ai ) =Ui , i = 1, 2, …, m.

Без ограничения общности можно считать, что все Ui Rn являются либо открытыми кубами

I = (0, 1) ×...×(0, 1) ,

n раз

либо кубами

I= (0,1]×(0,1) ×...×(0,1)

содной (определенной!) присоединяемой к кубу I гранью.

Спомощью разбиения единицы достаточно доказать утвержде-

ние многомерной теоремы Стокса в случае, когда supp ω A , т.е. носитель формы ω лежит целиком в одной карте A атласа τ многообразия M n ,

	h : A → I n или h : A → I n .
В локальных координатах этой карты A форма ω имеет вид
	n
	ω = ∑ai (x)dx1 ... dxi ... dxn
	i=1
(символ	означает пропуск соответствующего множителя, т.е.

dx1 ... dxi ... dxn = dx1 ... dxi−1 dxi+1 ... dxn ).

В силу линейности интеграла утверждение теоремы достаточно доказать для одного слагаемого указанной суммы

ωi = ai (x)dx1 ... dxi ... dxn .

Дифференциалом такой формы является

i−1 ∂ai (x)

i−1

i+1

dω =

(−1)

... dx

∂xi

= (−1)

i−1

∂ai (x)

∂xi

dx ... dx

Для карты A вида h :

A → I n оба интеграла

∫ ω и ∫dω равны ну-

∂A

лю.

∫ω= 0

потому,

что supp (h−1) ωi

I n ,

∂A = . Второй инте-

∂A

грал

∫dω = 0 по той же причине,

если учесть теорему Фубини и

соотношение

1 ∂a (x)

dxi = a (1) − a (0)

= 0 .

∫

∂xi

Заодно этим исчерпывается случай, когда ∂M n = .

Проверим теперь равенство ∫ω= ∫dω для карты A, такой, что

∂A A

h : A → I n = (0, 1]×...×(0, 1) .

При i >1 оба указанных интеграла равны нулю, что следует из приведенных выше соображений.

При i =1

∂a (x)

∫ 1

∫

∫ ∫

∫

∂ω =

= ...

... dx

∂x

dx ...dx

∂x

1 1

=∫... ∫ a1(1, x2 , ..., xn ) dx2 ... dxn = ∫ ω1 .

0 0 ∂A

В каждом из доказанных случаях получили

∫ ω1 = ∫ω1 = ∫dω1 = ∫ dω1 .

∂M n ∂A A M n

Замечание 3.7. Случай n =1 совпадает с формулой Ньютона–

Лейбница, если принять, что концы ориентированного отрезка [α, β] отмечаются знаками α− и β+ , а интеграл от 0-формы g(x)

по такой ориентированной точке полагается равным −g(α) и +g(β) соответственно.

Замечание 3.8. В формулировке теоремы Стокса ничего не говорится о гладкости многообразия M n и формы ω. В таких случаях обычно подразумевают, что M n и ω имеют гладкость C∞ . Из дока-

зательства теоремы видно, однако, что формула ∫	ω= ∫ dω вер-
∂M n	M n
на и для форм класса C(2) на многообразии M n ,	допускающем
формы такой гладкости.

Замечание 3.9. Из доказательства теоремы видно, что если

supp ω – компакт,		лежащий	строго	внутри	M n , т.е.
supp ω∩∂M n = , то	∫ dω= 0 .
	M n
Замечание 3.10. Если		M n – компактное многообразие, то для
любой формы ω на	M n	ее носитель supp ω ,		как замкнутое под-
множество компакта	M n , является компактом. Следовательно, в
этом случае любая форма ω на M n			является финитной и имеет ме-
сто равенство ∫dω= ∫ ω. В частности, если M n –					компактное
M	∂M

гладкое многообразие без края, то для любой гладкой формы на M n имеет место равенство ∫ dω= 0 .

M n

Замечание 3.11. Для произвольных (не финитных) форм ω на многообразии, не являющемся само по себе компактом, формула

Стокса	∫ ω= ∫ dω, вообще говоря, не имеет места.
	∂M n	M n				xdy − ydx
Пример 3.13. Рассмотрим				форму	ω=	xdy − ydx	в круговом
Пример 3.13. Рассмотрим				форму	ω=	x2 + y2	в круговом
						x2 + y2
кольце	M 2 ={(x, y) R2 ;1 ≤ x2 + y2 ≤ 2} , наделенном стандартны-
ми декартовыми координатами.
M 2	– компактное гладкое двумерное ориентируемое многооб-
разие, край ∂M 2 которого состоит из двух окружностей
		C ={(x, y) R2 ; x2 + y2			= i} , i = 1, 2.
		i
Поскольку dω = 0 0 = ∫ dω = ∫ ω− ∫ω, где обе							окружности
		M 2		C2	C1
пробегаются против часовой стрелки. Мы знаем, что
		∫ω= ∫ ω = 2π ≠ 0 .
		C1	C2
Значит,	если	вместо кольца		M 2	рассмотреть многообразие
M 2 = M 2 \ C1 ,		то ∂M 2 = C2	и	∫ dω= 0 ≠		∫ ω= 2π	и формула
Стокса неверна.				M 2		∂M 2
Стокса неверна.
§ 16. Замкнутые и точные формы на многообразии
Пусть M n – гладкое многообразие,					dim M n = n .
Определение 3.30. Форма			ω Ωk (M n )			называется замкнутой,
если dω = 0 .
Определение 3.31. Форма ω Ωk (M n ) ,						k > 0 , называется точ-

ной, если существует такая форма α Ωk−1(M n ) , что ω = dα .

Множество всех k-форм на многообразии M n обозначим символом Z k (M n ) , множество всех точных k-форм – символом

Bk (M n ) .

Согласно п. 3 определения 2.34 (см. гл. 2 § 9) внешнего диффе-

ренциала формы, для любой формы ω Ω(M n )	имеет место соот-
ношение d(dω) = 0 . Следовательно, для	любого k ≥ 0

Bk (M n ) Z k (M n ) (это включение строгое).

Важный вопрос о разрешимости (относительно α) уравнения dα = ω при выполнении необходимого условия dω = 0 на форму ω оказывается тесно связан с топологической структурой многообразия M n .

Определение 3.32. Многообразие M называется стягиваемым (в точку x0 M ) или гомотонным точке, если существует такое глад-

кое отображение	F : M × I → M ,		где	I ={t R1; 0 ≤ t ≤1} , что
F(x, 1) = x и F(x, 0) = x0 .
Пример 3.14. Пространство		Rn	стягивается в точку посредст-
вом отображения F(x, t) = tx , x		= θ Rn .
	0
Теорема 3.12	(Пуанкаре).	Любая		замкнутая (k +1) -форма

(k ≥ 0) на стягиваемом в точку гладком многообразии M является

точной.

Доказательство. Рассмотрим цилиндр M × I – прямое произведение гладкого многообразия M на единичный отрезок I и два отображения

gi : M → M × I , i = 0, 1, заданных формулой;

gi (x) = (x, i) , x M ,

отождествляющие M с основаниями цилиндра M × I . Тогда, как это показано в § 8 гл. 2 учебного пособия, возникают

отображения:

gi* : Ωk (M × I ) → Ωk (M ) ,

которые сводятся к тому, что в форме из Ωk (M × I ) переменная t заменяется значением i (i = 0, 1) , при этом di = 0 .

Построим линейный оператор

		K :		Ωk +1(M × I ) → Ωk (M ) ,
который на мономах определяется следующим образом:
	(x, t) M × I ,					ωk +1 Ωk+1(M × I ) ,
где			∑			ai1...ik +1 (x, t) dxi1 ... dxik +1
ωk+1(x, t) =			∑			ai1...ik +1 (x, t) dxi1 ... dxik +1		+
		1≤t1 <...<tk +1≤n+1
		+ a	...i	(x, t) dt dxi1 ... dxik ;
		i	...i
		1	k
K (ai1...ii+1 (x, t) dxi1 ... dxik +1 )= 0							по определению;
		K (ai1...ik (x, t) dt dxi1 ... dxik )=
	1				i	i	по определению.
=	a	(x, t) dt dx 1				... dx k	по определению.
	∫ i1	...ik
	0
Основное нужное свойство оператора K состоит в том, что для лю-
бой формы ω Ωk+1(M × I )					имеет место соотношение:
		K (dω) + d(Kω) = gω− gω.						(16.1)
						1	0

Соотношение (16.1) достаточно проверить для мономов, поскольку

все операторы K, d, g* , g			*	линейны.
	1	0
Если ω= a(x, t) dxi1		... dxik +1 , то Kω = 0 , d (Kω) = 0 ,
dω=	∂a dt dxi1			... dxik +1				+[члены без dt] ,
	∂t
		1		∂a	dt		i	i
	K(dω) =		∫	∂t	dt	dx 1		... dx k +1 =
			∫	∂t
			0

=(a(x, 1) − a(x, 0)) dxi1 ... dxik +1 = g1*ω− g0*ω

исоотношение (16.1) справедливо.

Если ω= a(x, t) dt dxi1 ... dxik , то gω= gω= 0 , так как
1	0

di = 0 .

−∑

∂a

K (dω) = K

dx 0

... dx k

∂x 0

∑

∂a

∫

= −

∂x

dt dx 0

dx 1

... dx k ,

d(Kω) = d

∫

a(x, t) dt dx 1

... dx k

∑

∂

∫

∂x

a(x, t) dt dxi0

dxi1

... dxik

∑

∂a

∫

∂x

dt dx 0

dx 1

... dx k

(использовали теорему о дифференцировании определенного интеграла по параметру).

Таким образом, d(Kω) = K (dω) = 0 и соотношение (16.1) спра-

ведливо и в этом случае.
Пусть теперь M – стягиваемое в точку x0 M							многообразие,
F :	M × I → M ,		указанное в		определении 3.32		отображение,
ω−(k +1) -форма			на M.	Тогда	F	g1 : M → M –	тождественное
отображение, а F			g0 : M → x0		– отображение M в точку x0 , по-
этому (g*		F* )ω = ω и (g*		F* )ω= 0 .
	1		0
Значит, в этом случае из соотношения (16.1) следует, что
			K(d(Fω)) + d(K(Fω)) = 0 .				(16.2)
Если	к тому же		ω – замкнутая			форма на M,	то поскольку

d (F*ω) = F* (dω) = 0 , то из (16.2) получаем, что d(K (F*ω)) = ω . Таким образом, замкнутая форма ω является внешним диффе-

ренциалом формы α = K (F*ω) Ωk (M ) , т.е. ω является точной формой на M.

Пример 3.15. Пусть A(x, y, z) , B(x, y, z) , C(x, y, z) – гладкие

вещественные функции переменных x, y, z из R3 . Требуется решить относительно функций P, Q, R систему уравнений

∂R	−	∂Q	= A;
∂y		∂z

∂P		∂R
	−		= B;	(16.3)
∂z		∂x

∂Q	−	∂P	= C.
∂x		∂y

Для совместности системы (16.3) необходимо, чтобы функции A, B, С удовлетворяли соотношению:

∂∂Ax + ∂∂By + ∂∂Cz = 0 ,

которое равносильно замкнутости в R3 формы

ω = Ady dz + Bdz dx + Cdx dy .

Система (16.3) будет решена, если будет найдена такая форма

α = Pdx + Qdy + Rdz ,

что dα = ω. Используя отображение F(x, t) = xt примера 3.14 и

методику, изложенную в доказательстве теоремы Пуанкаре, получим

			1
			∫
		α = K(F*ω) =		A(tx, ty, tz) dt ( ydz − zdy) +
		0
	1				1
	∫				∫
+		B(tx, ty, tz) dt (zdx	− xdz) +			C(tx, ty, tz) dt (xdy − ydx) .
0				0

Можно непосредственно проверить, что dα = ω.

Замечание 3.12. Произвол в выборе формы α, удовлетворяющий условию dα = ω, обычно довольно большой. Вместе с формой

α любая форма вида α + dη, очевидно, тоже будет удовлетворять

условию:

d(α + dη) = dα + d(dη) = dα = ω .

Следствие 3.1. На стягиваемом многообразии M любые две формы α и β, удовлетворяющие условию dα = dβ = ω, отличаются

на точную форму.

Действительно, d(α −β) = 0 , т.е. форма (α −β) – замкнутая на M, а значит, по теореме Пуанкаре она точна.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20226.26 Mб16Савёлова Методы решения некорректных задач 2012.pdf
#
12.11.20229.75 Mб3Самосадный Автоматизированное проектирование устройств систем сбора-обработки Ч1 2015.pdf
#
12.11.20229.49 Mб5Самосадный Автоматизированное проектирование устройств систем сбора-обработки Ч2 2015.pdf
#
12.11.20221.07 Mб13Сандаков Методы решения задач по теме Интегралные уравнен 2012.pdf
#
12.11.20221.16 Mб15Сандаков Векторная алгебра Учебно-методическое пособие 2012.pdf
#
12.11.20222.12 Mб25Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014.pdf
#
12.11.20221.39 Mб2Сандракова Функтсии многикх переменныкх 2015.pdf
#
12.11.20225.08 Mб25Сапунов Прогнозирование ползучести и длителноы прочности 2015.pdf
#
12.11.20221.57 Mб12Сапунов Теория пластичности 2011 (1).pdf
#
12.11.20221.07 Mб5Сапунцов Тхе Интернатионал АМЛ ЦФТ фрамеwорк чалленгес фор 2013.pdf
#
12.11.20224.56 Mб2Сафоненко Практикум по интерфейсам последователной передачи 2012.pdf