Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Конечная совокупность карт {Ai}iS=1 атласа τ называется цепоч-

кой карт, если i , i = 1, 2, …, S −1 : Ai ∩ Ai+1 ≠ .

Определение 3.20. Цепочка карт называется противоречивой или дезориентирующей, если якобиан преобразования координат от любой карты цепочки к следующей ее карте положителен. Первая и последняя карты цепочки пересекаются, но преобразование координат от последней карты цепочки к первой карте имеет отрицательный якобиан.

Теорема 3.9. Гладкое многообразие M n ориентировано тогда и только тогда, когда на нем не существует противоречивой цепочки карт.

Доказательство. Поскольку любое многообразие распадается на связные компоненты, ориентация которых задается независимо,

достаточно доказать теорему для связного многообразия M n .

Необходимость. Пусть связное многообразие M n ориентировано гладким ориентирующим атласом τ. Согласно теореме 3.8 любая карта, гладко связанная с картами атласа τ, согласована со всеми картами атласа τ. Нужно утверждение теоремы 3.8 применить к взятой карте, рассматриваемой как связное ориентированное одной картой многообразие, а карты атласа τ ограничить на это множество, т.е. взять их следы на этом множестве.

Отсюда следует, что противоречивый цепочки карт на многооб-

разии M n не существует.

Достаточность. Из определения многообразия следует, что на M n существует атлас, состоящий из конечного или счетного числа

61

Якобиан не может иметь значения разных знаков, поскольку иначе в множестве A1 Ai можно было бы указать связные подмножества

отрицательности и положительности якобиана A− , A+ и цепочка карт A1 , A+ , Ai , A− оказалась бы противоречивой, что невозможно

по условию теоремы.

Итак, меняя, если потребуется, знак одной из координат в карте Ai , можно получить карту, согласованную с картой A1 . После опи-

ными: иначе построили бы противоречивую цепочку из трех карт. Таким образом, все карты атласа τ, пересекающиеся с картой A1,

уже можно считать согласованными между собой. Принимая теперь каждую из этих карт за эталон, можно согласовать с нею новые, не охваченные на первом этапе карты атласа τ. Противоречивых ситуаций при этом не возникает, поскольку противоречивых цепочек карт

на многообразии M n не существует по условию теоремы. Продолжая этот процесс и учитывая связность многообразия,

построим на нем атлас, состоящий из попарно согласованных карт, что и доказывает ориентируемость данного многообразия.

Теорема 3.10. Край ∂M n ориентируемого гладкого n-мерного многообразия M n является ориентируемым (n −1) -мерным многообразием, допускающим структуру той же гладкости, что и исход-

Рассмотрим те карты атласа τ, которые гомеоморфны полупространству H n , т.е. являются окрестностями точек края ∂M n многообразия M n .

62

Пусть Ai и Aj – две такие карты атласа τ и они имеют непустое пересечение. Пусть x0 ∂M n и x0 Ai ∩ Aj . Локальными коорди-

натами карты Ai являются (x1, ..., xn ) , а локальными координатами карты Aj – (x1′, ..., xn′) и xk′ = f k (x1, ..., xn ) , k = 1, 2, …, n функции перехода от локальных координат (x1, ..., xn ) к локальным коорди-

натам (x1′, ..., xn′) . Так как карты Ai и Aj согласованы, то якобиан системы функций перехода во всех точках пересечения Ai ∩ Aj ,

т.е. x Ai ∩ Aj :

доказательства теоремы осталось проверить, что все карты атласа τ∂M n попарно согласованы, это и будет означать, что атлас τ∂M n –

ориентирующий атлас многообразия ∂M n размерности n −1 .

63

Докажем согласованность карт ∂Ai и ∂Aj , где Ai и Aj содержат

n, являются функциями перехода от одних локальных координат к другим локальным координатам и, следовательно, задают диффео-

64

карты ∂Ai и ∂Aj атласа τ∂M n края ∂M n многообразия M n согла-

сованы.

Карты Ai , Aj были выбраны произвольно, они пересекались и

содержали точку края ∂M n .

Если карты Ak и As атласа τ многообразия M n содержат точки

края ∂M n и не пересекаются и гомеоморфны H n , то соответствующие им карты ∂Ak и ∂As из атласа τ∂M n по определению явля-

ются согласованными.

Следовательно, атлас τ∂M n является ориентирующим атласом

ориентации гиперплоскости Γ, согласованные с ориентациями H+n и H−n , противоположны.

Замечание 3.4. Пусть Rn – евклидово n-мерное пространство и

Определение 3.21. Пусть M n – гладкое n-мерное многообразие с краем ∂M n , τM n ={Ai ; ϕi : Ai → Rn} {Ak ; ϕk : Ak → H n} – ориентирующий гладкий атлас многообразия M n , где Ai , Ak – карты

атласа, ϕi , ϕk – соответствующие гомеоморфизмы на Rn и H n . Совокупность карт {∂Ak = ϕ−k1 / ∂H n = Rn−1} – ориентирующий

атлас края ∂M n многообразия M n , обозначаемый τ∂M n .

65

Задаваемая атласом τ∂M n ориентация края ∂M n многообразия

M n называется согласованной с ориентацией многообразия M n или индуцированной ориентацией края.

Рассмотрим несколько примеров ориентируемых и неориентируемых многообразий.

Пример 3.8. Евклидово n-мерное пространство Rn является связным некомпактным многообразием размерности n без края.

Полупространство H n ={(x1, ..., xn ) Rn : x1 ≤ 0} является связным некомпактным многообразием с краем

∂H n ={(x1, ..., xn ) Rn : x1 = 0} ,

Rn и H n ориентируемы. Ориентирующий атлас в том и другом случае можно взять состоящим из одной карты, а в качестве гомеоморфизма – тождественное отображение.

Пример 3.9. Вещественная проективная прямая RP1. Рас-

смотрим множество всех прямых плоскости R2 , проходящих через начало координат с естественным отношением близости прямых (измеряемой, например, величиной меньшего угла между прямы-

ми). Введенная близость между прямыми, элементами RP1 задает топологию на RP1 .

Каждая прямая рассматриваемого пучка прямых плоскости R2 однозначно определяется направляющим вектором, т.е. ненулевым

вектором (x1, x2 ) , коллинеарным прямой, причем два таких векто-

ра задают одну и ту же прямую пучка тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Значит, RP1 можно рассматривать как совокупность классов эквивалентных упорядоченных пар (x1, x2 ) вещественных чисел.

При этом, по крайней мере, одно из чисел пары должно быть отлично от нуля и две пары считаются эквивалентными (отождеств-

ляются), если они пропорциональны. Упорядоченные пары (x1, x2 )

обычно называют однородными координатами на RP1 .

Построим атлас из двух карт, используя однородные координаты. Пусть A – множество всех тех прямых (всех тех классов пар

(x1, x2 ) ) из RP1 , для которых x1 ≠ 0 , а B – множество всех тех

66

прямых (всех тех классов пар (x1, x2 ) ) из RP1 , для которых x2 ≠ 0 .

однозначное соответствие. Следовательно, на RP1 введен атлас, состоящий из двух карт A и B. Карта A с локальной координатой y и карта B с локальной координатой y′ , A ∩ B ≠ .

Найдем функцию перехода от координаты y к y′ . Пусть точка p A ∩ B . В карте A точка p имеет координату y, а в карте B p имеет координату y′ .

прямых, проходящих через начало координат в плоскости R2 , оп-

67

ределяется однозначно точкой пересечения с единичной окруж-

ностью на R2 с центром в начале координат. Таких точек ровно две, причем они являются диаметрально противоположными точ-

ками окружности. Близость прямых, задающая топологию на RP1 , равносильна близости соответствующих пар точек окружности.

Значит, RP1 можно интерпретировать как окружность с отождествленными диаметрально противоположными точками. Если взять полуокружность, то на ней окажется лишь одна пара отождествляемых точек – концы полуокружности. Склеив их, получим

снова топологическую окружность. Таким образом, RP1 как топологическое пространство гомеоморфно окружности.

Применим критерий ориентируемости многообразия для дока-

зательства ориентируемости RP1 . Для этого из построенного атласа, состоящего из двух карт A и B, A с локальной координатой y и B с локальной координатой y′ , получим ориентирующий атлас. Из-

меним знак локальной координаты одной из двух карт.

Откуда следует по определению согласованности карт A и B и тот факт, что атлас, состоящий из карт A и B с локальными координатами y и y соответственно, является ориентирующим, следова-

тельно, RP1 – гладкое одномерное связное ориентируемое многообразие без края.

Заметим, что ориентируемость многообразия RP1 следует из его гомеоморфности окружности.

Пример 3.10. Вещественная проективная плоскость RP2.

Пусть RP2 – множество всех прямых (пучок прямых), проходящих

через начало координат евклидова пространства R3 с естественным отношением близости прямых (измеряемой, например, мень-

68

шим плоским углом, образованным этими прямыми). Близость порождает топологию в RP2 .

Поскольку каждая прямая из RP2 однозначно определяется своим направляющим вектором, т.е. любым ненулевым вектором

(x1, x2 , x3 ) , коллинеарным прямой, то RP2 можно рассматривать

как совокупность классов пропорциональных троек вещественных чисел, не обращающихся в нуль одновременно. Рассмотрим атлас,

состоящий из трех карт A, B, C топологического пространства RP2 . A – множество всех классов упорядоченных пропорциональных

троек (x1, x2 , x3 ) с условием: x1 ≠ 0 , аналогично B – с условием x2 ≠ 0 , C – с условием x3 ≠ 0 . Тогда в A локальная система коор-

динат 1, x2 , x3 ( y1, y2 ) :

x1 x1

Так как A ∩ B ≠ , из (12.1) возникают функции перехода от локальных координат ( y1, y2 ) к локальным координатам ( y1′, y2′) :

69

Так как B ∩C ≠ , то из (12.2) возникают функции перехода от

т.е. получим формулу (12.3′).

Так функции f i , f i′, f i′′ , i = 1, 2 являются функциями класса C∞ от своих аргументов, следовательно, атлас, состоящий из трех

карт A, B, С задает на RP2 гладкую структуру, т.е. RP2 – гладкое двумерное многообразие.

Вычислим теперь якобиан преобразования координат

70