Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Множеством всех предельных точек открытого шара B3 в R3 яв-

ляется замкнутый шар B3 ={x R3; x ≤1} .

Определение 3.2. Множество F топологического пространства X называется замкнутым, если дополнение CF к F в X открыто в X,

где CF = X \ F .

Теорема 3.1. Пусть X – топологическое пространство F X . Множество F замкнуто тогда и только тогда, когда F содержит все свои предельные точки.

Или, другими словами, F замкнуто тогда и только тогда, когда дополнение CF не пересекается с множеством F′ всех предельных точек F, т.е. CF ∩ F′ =.

Доказательство.

1. Необходимость. Пусть F замкнуто, следовательно, CF открыто и поэтому CF – окрестность любой точки x CF . Поскольку CF ∩F = , то x не является предельной точкой F CF ∩ F′ = .

2. Достаточность. Пусть CF ∩ F′ = , т.е. CF состоит из непредельных точек F x CF Vx окрестность точки x, такая,

что Vx ∩ F = Vx CF CF = Vx – открытое множество,

x CF

как объединение открытых множеств, следовательно, F – замкнутое множество.

Определение 3.3. Замыканием подмножества G в топологическом пространстве X называется наименьшее замкнутое подмножество в X, содержащее G.

Замыкание множества G обозначается символом G .

Теорема 3.2. Пусть X – топологическое пространство, G X .

Тогда G =G G′.

Доказательство.

1. Покажем, что G G G′.

По определению замыкания G множества G имеем G G . Ос-

талось доказать, что G G′. Используем простой факт: если

A B , то A′ B′.

Тогда из G G G′ G′ G G′ G′ G G G′ G .

51

жеств, содержащих G. Мы же нашли замкнутое множество G G′ , содержащее G. Следовательно, G G G′.

Итак, G G G′ и G G G′. Оба включения дают равенство

G =G G′.

Теорема 3.3. Пусть X – топологическое пространство, A X и

B X . Тогда A B = A B .

Доказательство.

Но так как A B – замкнутое множество, содержащее A B , а A B – наименьшее из замкнутых множеств, содержащих A B ,

то A B A B . Следовательно, A B = A B .

В § 6 гл. 2 было введено понятие бикомпактного топологического пространства (см. определение 2.18). В курсе математического анализа уже встречалось понятие компактности подмножества K в

Rn .

Определение 3.4. Подмножество K в Rn называется компактным, если оно замкнуто и ограничено.

Вспомним принцип Бореля–Лебега.

Лемма 3.1 (Бореля–Лебега). Пусть [a, b] R1 , a < b . Из любо-

го открытого покрытия {Uα} отрезка [a, b] можно выделить конечное подпокрытие.

52

Предположим, что отрезок [a, b] = I1 не допускает конечного покрытия. Тогда, поделив I1 пополам, получим, что по крайней мере одна из его половин, которую обозначим I2 , не допускает конечного покрытия. С отрезком I2 проделаем ту же процедуру деления пополам, получим I3 и т.д. Таким образом, возникает последовательность {In} вложенных отрезков, I1 I2 ... In ..., каждый элемент которой не допускает конечного покрытия интервалами из

Тогда по лемме о вложенных отрезках существует точка C, принадлежащая всем отрезкам последовательности {In} .

53

пологическое пространство с индуцированной топологией из R1 , [a, b] – бикомпакт. Но [a, b] – компакт, т.е. замкнутое ограничен-

ное множество в R1 . Следовательно, в R1 понятия компактности и бикомпактности совпадают.

Кроме того, справедлива теорема 3.4.

Теорема 3.4. Подмножество K в евклидовом пространстве Rn является бикомпактным тогда и только тогда, когда K ограничено и замкнуто, т.е. K компактно.

(Доказательство этой теоремы предоставляется читателю.)

В общем случае в современной литературе употребляется термин компактности, хотя топологи иногда и сейчас употребляют термин бикомпактность.

Теорема 3.5. Пусть X – компактное топологическое пространство и F – замкнутое подмножество в X. Тогда F – компактное пространство.

Доказательство. Пусть {Uα}α J – произвольное открытое по-

крытие пространства F, как топологического пространства с индуцированной топологией из X.

Построим открытое покрытие {CF, Uα}α J пространства X, так как F замкнуто, то CF = X \ F открыто. Так как X – компакт, то из покрытия {CF, Uα}α J можно выделить конечное подпокрытие

CF, Uα1 , Uα2 , ..., Uαn . А так как X = CF F , то Uα1 , Uα2 , ..., Uαn –

покрытие множества F, т.е. F – компактное топологическое пространство.

Рассмотрим подробнее понятие топологического произведения двух топологических пространств.

Пусть ( X1, τ1) и ( X2 , τ2 ) – топологические пространства X1 с

изведением топологических пространств ( X1, τ1) и ( X2 , τ2 ) .

54

Замечание 3.2. следует обратить внимание на то, что множества вида G1 ×G2 , где G1 τ1 , G2 τ2 , образуют лишь базу топологии, а не все открытые множества прямого или топологического произведения ( X1 × X 2 , τ1 ×τ2 ) .

Пример 3.6. Пусть R1 – одномерное координатное пространство с топологией, задаваемой открытыми интервалами

(a, b) ={x R1 : a < x < b} ,

R2 – координатная плоскость с топологией, описанной в § 5 гл. 2 при n = 2 .

Тогда R2 = R1 × R1 , ибо всякое открытое множество в R2 можно получить, как объединение прямоугольных окрестностей всех его точек. Прямоугольники же (со сторонами, параллельными координатным осям) являются прямыми произведениями интервалов –

открытых в R1 множеств.

B →V Rn , ψB – гомеоморфизм карты B на открытое множество

V Rn .

Тогда X ×Y можно рассматривать, как (m + n) -мерное тополо-

Пример 3.7. Двумерный тор T 2 = S1 ×S1 , T n = S1 ×...×S1 –

n раз

n-мерный тор являются топологическими произведениями двух и n окружностей S1 соответственно.

Определение 3.6. Пусть M n – n-мерное многообразие с атласом карт τ. Пусть A – карта атласа τ. Точка x A и пусть гомеоморфизм

ϕA : A → H n , где H n ={(x1, ..., xn ) Rn , x1 ≤ 0} Rxn1 , ..., xn .

55

Если ϕ(x) ∂H n ={(x1, ..., xn ) Rn : x1 = 0} , то x называется точкой края многообразия M n .

Определение 3.7. Совокупность всех точек многообразия M n

называется краем многообразия M n и обозначается символом ∂M n . В силу топологической инвариантности внутренних точек (теорема Брауэра) понятие точки края многообразия определено корректно, т.е. не зависит от используемых в определении 3.6 индиви-

дуальных локальных карт.

Теорема 3.6 (Брауэра). При гомеоморфизме ϕ: E →ϕ(E)

множества E Rn на множество ϕ(E) Rn внутренние точки множества E переходят во внутренние точки множества ϕ(E) .

Поскольку дальше будем рассматривать только гладкие многообразия, то инвариантность внутренних точек при диффеоморфизмах (гладких гомеоморфизмах) хорошо известна, как следствие теоремы об обратной функции, тогда оставляем теорему Брауэра без доказательства.

Определение 3.8. Многообразие M n , множество точек края которого непусто, называется многообразием с краем.

Под термином «многообразие» понимается обычно многообразие без края.

Теорема 3.7. Край ∂M n n-мерного многообразия M n с краем

ϕ−A1(ϕA ( A) ∩∂H n ) = ϕ−A1(ϕA ( A) ∩ Rn−1) ,

то ∂M n – (n −1) -мерное многообразие.

Определение 3.9. Топологическое пространство X называется связным, если в X нет таких подмножеств, отличных от X, , которые одновременно открыты и замкнуты. Множество G, лежащее в топологическом пространстве X, называется компонентой этого пространства, если G связно и не существует связного множества в

56

X, строго содержащего множество G. Иногда говорят о компонентах множества M X , имеются в виду при этом компоненты пространства M, как подпространства пространства X с индуцированной топологией.

Определение 3.10. Подмножество G X , X – топологическое пространство, называется всюду плотным в X, если G = X .

Определение 3.11. Многообразие M n называется компактным (связным), если оно является компактом (связно), как топологическое пространство.

Вернемся к примерам 3.1–3.3.

Конфигурационное пространство двойного плоского маятника является многообразием Mα2, β = Sα1 × Iβ1 размерности два. Mα2, β –

цилиндр, прямое (топологическое) произведение окружности Sα1 и отрезка Iβ1 . Оно компактно и связно, Mα2, β – многообразие с краем.

Край ∂Mα2, β является одномерным несвязным многообразием, со-

стоящим из двух компонент, т.е.

∂Mα2, β = Sα1 ×{− } Sα1 ×{ } ,

каждая компонента края – окружность.

В примере 3.2 конфигурационное пространство является пря-

В § 12 настоящей главы подробно рассмотрим многообразие RP2 – вещественную проектную плоскость.

§ 12. Ориентация гладкого многообразия

Для построения интеграла от дифференциальной формы нам понадобится понятие ориентации гладкого многообразия.

Пусть M n – гладкое многообразие размерности n. Будем предполагать, что M n связно. (Для того, чтобы ориентировать несвязное

57

многообразие, достаточно выбрать ориентацию каждой из его компонент (определение компоненты см. в § 11, определения 3.9 и 3.11).

функции перехода класса C∞ .

Якобиан системы функций перехода в точке x отличен от нуля:

Определение 3.12. Пусть x A ∩B . Если в точке x якобиан

J (x) системы функций перехода xi′ = f i (x1, ..., xn ) , i = 1, 2, …, n,

положителен, то говорят, что в точке x карты A и B имеют одинаковую ориентацию и противоположную в противном случае.

Определение 3.13. Говорят, что две карты A и B атласа гладкого многообразия M n согласованы, если либо A ∩B = , либо A ∩ B ≠ и в любой точке A ∩ B они имеют одинаковую ориентацию.

Определение 3.14. Гладкий атлас многообразия M n называется ориентированным, если все его карты попарно согласованы.

Такой атлас называется атласом, ориентирующим гладкое многообразие M n .

Определение 3.15. Гладкое многообразие M n называется ориентируемым, если оно обладает ориентирующим атласом. В противном случае оно называется неориентируемым.

Определение 3.16. Два ориентирующих атласа многообразия

M n будем считать эквивалентными (в смысле рассматриваемого сейчас вопроса об ориентации многообразия), если их объединение является ориентирующим атласом этого многообразия.

58

Нетрудно проверить, что введенное отношение является отношением эквивалентности.

Определение 3.17. Класс эквивалентности ориентирующих ат-

ласов многообразия M n по указанному отношению эквивалентности называется классом ориентации атласов многообразия или ориентацией многообразия.

Определение 3.18. Ориентированным многообразием называется гладкое многообразие с указанным классом ориентации его атласов, т.е. с фиксированной на многообразии ориентацией.

Значит, ориентировать гладкое многообразие – это указать на нем (тем или иным способом) определенный класс ориентации его атласов. Для этого, например, достаточно указать любой конкретный ориентирующий атлас данного класса ориентации.

Теорема 3.8. Связное гладкое многообразие либо неориентируемо, либо допускает две ориентации.

Доказательство. Пусть M n – гладкое многообразие размерности n и пусть τ1 ={A} и τ2 ={A} – два ориентирующих многообразие

M n атласа с диффеоморфными переходами от локальных координат карт одного из них к локальным координатам карт другого.

Предположим, что нашлась точка x0 M n и две карты A τ1 , Aτ2 , такие, что x0 A ∩ A и якобиан системы функций перехода

от локальных координат карты A к локальным координатам карты A в точке x0 положителен. Покажем, что тогда для любой точки

x M n и для любой пары карт B τ1 и B τ2 , пересечение которых содержит точку x, якобиан функций перехода от локальных коорди-

нат карты B к локальным координатам карты B в точке x является также положительным.

Сделаем, прежде всего, такое наблюдение, что если в точке

x M n якобиан функций перехода (будем говорить иногда якобиан преобразований координат) положителен (отрицателен) для ка- кой-то пары включающих точку x карт из атласов τ1 и τ2 , то он в

точке x положителен (отрицателен) для любой такой пары карт, поскольку в пределах одного атласа преобразования координат происходит с положительным якобианом (ведь атлас ориентирую-

59

щий многообразие), а якобиан композиции отображений равен произведению их якобианов.

Пусть теперь X – подмножество M n , состоящее из всех тех то-

чек x M n , в которых преобразование координат от карт одного атласа к картам другого атласа происходит с положительным якобианом.

Множество X ≠ , так как x0 X , X открыто в M n . В самом деле, x X Aτ1 , Aτ2 , такие, что x A ∩ A . Множества A и A открыты в M n (по определению карты атласа многообразия), следовательно, A ∩ A открыто в M n . На содержащей точку x связной компоненте множества A ∩ A , являющейся открытым множе-

ством в A ∩ A и в M n , якобиан преобразования координат не может менять знак, не обращаясь в нуль. Таким образом, в некоторой окрестности точки x X якобиан остается положительным, что и доказывает открытость множества X. Но множество X еще и замк-

нуто в M n . Это следует из непрерывности якобиана диффеоморфизмов и того обстоятельства, что якобиан диффеоморфизмов не обращается в нуль.

Итак, X – открытое замкнутое подмножество связного множест-

первую x1 на −x1 , получим ориентирующий атлас −τ1 , принадлежащий другому классу ориентаций. Поскольку якобиан преобразования координат из произвольной карты в карты атласов τ1 и −τ1

Определение 3.19. Пусть M n – гладкое ориентированное многообразие, τ – ориентирующий M n гладкий атлас.

60