Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Теорема 6.3. Гомоморфизм πi (E, F) → πi (B) является изомор-

физмом.

Следствие 6.1. Если p : E → B – накрытие, то πi (B) πi (E) при i ≥ 2 . Действительно, у дискретного пространства F гомотопические группы πi (F) при i ≥1 тривиальны.

121

считаются изоморфными, если существует такое отображение f : M → M класса C(k ) , которое имеет обратное отображение f −1 :

M → M того же класса гладкости C(k ) в атласах τ, τ . Покажите, что:

а) на R1 все структуры одинаковой гладкости изоморфны;

б) на окружности S1 (одномерной сфере) любые две C(∞) структуры изоморфны.

Замечание 7.1. Отметим, что только высказанное утверждение остается в силе и для сфер, размерность которых не превосходит 6,

а уже на S7 , как показал Милнор, существуют неизоморфные C(∞) структуры.

Задача 7.7. Покажите, что при гладком гомеоморфизме f : R1 →T 2 прямой R1 в тор T 2 образ f (R1) может быть всюду

плотным подмножеством T 2 и в этом случае не будет одномерным подмногообразием тора, хотя и будет абстрактным одномерным многообразием.

Задача 7.8.

1.Используя конструкции примеров 3.9 и 3.10 RP1 и RP2 , постройте n-мерное вещественное проективное пространство RPn .

2.Покажите, что RPn ориентируемо, если n нечетно, и неориентируемо, если n четно.

3.Проверьте, что многообразия SO(3, R) и RP3 гомеоморфны.

Определение 7.1. Система подмножеств топологического пространства называется локально конечной, если каждая точка пространства имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом множеств системы. В частности, можно говорить о локально конечном покрытии пространства.

Определение 7.2. Одна система множеств называется вписанной в другую, если любое множество первой системы содержится по крайней мере в одном из множеств второй системы. В частности, можно говорить о том, что одно покрытие некоторого множества вписано в другое такое покрытие.

А. Покажите, что в любое открытое покрытие Rn можно вписать открытое локально конечное покрытие Rn .

123

Б. Решите задачу А с заменой Rn произвольным многообразием

M.

С. Покажите, что на Rn существует разбиение единицы, подчиненное любому наперед заданному покрытию.

Д. Проверьте, что утверждение с остается в силе для произвольного многообразия.

Задача 7.9. Пусть B A . Отображение i : B → A , которое каждой точке x B ставит в соответствие ее же как точку множества A, называют каноническим вложением B в A.

Если ω-форма на многообразии M, а M ′ – подмногообразие M, то каноническое вложение i : M ′ → M порождает на M ′ форму

i * ω, которую называют сужением или ограничением формы ω на

M ′.

Покажите, что правильная запись формулы Стокса должна иметь вид

∫dω= ∫ i * ω,

M ∂M

где i : ∂M → M – каноническое вложение ∂M в M, а ориентация на ∂M берется согласованной с ориентацией M.

Задача 7.10.

А. Пусть M n – гладкое (C(∞) ) ориентируемое n-мерное многообразие, а Ωcn (M n ) – пространство гладких (C(∞) ) n-форм с ком-

пактным носителем на M n .

Покажите, что существует и притом единственное отображение

∫ : Ωcn (M n ) → R ,

M n

обладающее следующими свойствами: 1) отображение ∫ линейно;

M n

2) если A, h : A → I n (I n ) Rn – карта задающего ориентацию

M n атласа, supp ω A и в локальных координатах x1, ..., xn этой карты

124

ωn = a(x) dx1 ... dxn ,

то

где справа стоит интеграл Римана от функции a(x) по соответст-

вующему кубу I n (I n ) .

Б. Всегда ли указанное выше отображение можно продолжить до обладающего теми же свойствами отображения

∫ : Ωn (M n ) → R

M n

пространства Ωn (M n ) всех гладких n-форм на M n ?

Задача 7.11. Пусть M n – гладкое n-мерное многообразие и в каждой точке x M n фиксирован ξ(x) TxM n , т.е. на M n задано векторное поле X.

А. Покажите, что любой вектор X (x) = ξ(x) Tx M n можно интерпретировать как дифференцирование в соответствующей точке x, т.е. по любой функции f C(∞) (M n , R) можно построить функ-

Определение 7.3. Векторное поле X на M n называется гладким (класса C(∞) ), если для любой функции f C(∞) (M n , R) функция

Xf также принадлежит классу C(∞) (M n , R) .

Б. Пусть X и Y – два гладких векторных поля на гладком многообразии M n . Для функции f C(∞) (M n , R) построим функционал:

[ X , Y ] f = X (Yf ) −Y ( Xf ) .

Проверьте, что [ X , Y ] – тоже гладкое векторное поле на M n . Оно называется скобкой Пуассона векторных полей X и Y.

125

Задача 7.12.

А. Пусть X и ω – гладкое векторное поле и гладкая 1-форма на гладком многообразии M n . Пусть ωX означает применение ω к вектору поля X в соответствующих точках многообразия M n . По-

кажите, что ωX – гладкая функция на M n .

Б. Покажите, что имеет место следующее соотношение:

dω1( X , Y ) = X (ω1Y ) −Y (ω1 X ) −ω1([ X , Y ]) ,

где X, Y – гладкие векторные поля; dω1 – дифференциал 1-формы ω1 ; dω1( X , Y ) – применение dω1 к парам связанных с одной точкой x M n векторов полей X, Y.

С. Проверьте, что в общем случае формы ωm степени m справедливо соотношение:

Поскольку скобка Пуассона определена инвариантно, то полученное соотношение можно расценивать как довольно сложное, но инвариантное определение оператора d: Ω → Ω внешнего дифференцирования.

Д. Пусть ω – гладкая m-форма на гладком n-мерном многообра-

126

(λξ1, ..., λξm+1 )i . Π и λΠ – прообразы этих параллелепипедов при отображении hi−1 , т.е.

Π = hi−1(Πi ) Ai M n , λΠ = hi−1 (λΠi ) Ai M n .

Покажите, что

Задача 7.13.

А. Используя теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения

x = ν(x) ,

а также гладкую зависимость решения от начальных данных, покажите, что гладкое ограниченное векторное поле ν(x) в Rn мож-

но рассматривать как поле скоростей установившегося течения. Точнее, покажите, что существует такое гладко зависящее от

параметра (времени) t семейство диффеоморфизмов ϕt : Rn → Rn ,

Отображение ϕt : Rn → Rn характеризует перемещение частиц среды за время t.

Проверьте, что семейство отображений ϕt : Rn → Rn является однопараметрической группой диффеоморфизмов, т.е.

(ϕt )−1 = ϕ−t , ϕt2 Dϕt1 = ϕt2 +t1 .

Б. Пусть ν – векторное поле в Rn , а ϕt – однопараметрическая группа диффеоморфизмов Rn , порожденная полем ν. Проверьте,

127

что для любой гладкой функции f C(∞) (Rn , R) имеет место соотношение

С. Теперь естественно определяется и дифференцирование за-

данной в Rn гладкой формы ω любой степени вдоль поля ν. А именно, положим

(LX1 ω1 )(x) = (LX 2 ω2 )(x) .

2.LX Ωk (M n ) Ωk (M n ) .

3.LX : Ωk (M n ) → Ωk (M n ) – линейное отображение при любом

k = 1, 2, … .

4.LX (ω1 ω2 ) = (LX ω1) ω2 + ω1 (LX ω2 ) .

5.Пусть f Ω (M n ) . Тогда LX f = df ( X ) = Xf .

6. Пусть f Ω (M n ) . Тогда LX df = d( Xf ) .

128

Е. Проверьте, что указанные выше свойства 1–6 однозначно определяют операцию LX .

Задача 7.14. Пусть X – некоторое поле, а ω – форма степени k на гладком многообразии.

Определение 7.4. Внутренним произведением поля X и формы ω называется (k −1) -форма, обозначаемая iX ω или через X ω и определяемая следующим соотношением:

(iX ω)( X1, ...., Xk −1 ) = ω( X , X1, X2 , ..., Xk −1 ) ,

где X1 , X2 , ..., Xk −1 – векторные поля на M n .

Для о-форм, т.е. функций на M n , положим X f = 0 .

iX df = X i ∂∂xfi = X ( f ) = DX f .

С. Пусть X (M n ) – пространство векторных полей на многооб-

разии M n , а Ω(M n ) – кольцо кососимметрических форм на M n . Покажите, что существует только одно отображение

i : X (M n ) ×Ω(M n ) → Ω(M n ) ,

обладающее следующими свойствами:

129

1) i – локальная операция, т.е. если поля X1 , X2 и формы ω1 , ω2 соответственно совпадают в окрестности U точки x M n , то

(iX1 ωi )(x) = (iX 2 ω2 )(x) ;

2)iX (Ωk (M n )) Ωk−1(M n ) ;

3)iX : Ωk (M n ) → Ωk−1(M n ) – линейное отображение;

4)если ω1 Ωk1 (M n ) , ω2 Ωk2 (M n ) , то

iX (ω1 ω2 ) = iX ω1 ω2 + (−1)k1 ω1 iX ω2 ;

5) если ω Ω1(M n ) , то iX ω = ω( X ) , а если f Ω (M n ) , то iX f = 0 .

Задача 7.15. Докажите следующие утверждения.

А. Операторы d, iX , LX удовлетворяют тождеству гомотопии

LX = iX d + diX ,

где X – любое гладкое векторное поле на многообразии. Б. Производная Ли коммутирует с d и iX , т.е.

(основным в задаче является п. А). Его можно проверить, например, индукцией по степени формы, на которую действуют операторы).

Задача 7.16.

А. Докажите, что любая односвязная область в R2 стягиваема по себе в точку.

Б. Покажите, что в R3 предыдущее утверждение, вообще говоря, не имеет места.

130