Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Используя свойство определителя k-го порядка и косую симмет-

рию формы ωk , получаем представление кососимметрической формы в более простом виде

Суммирование происходит не по всем индексам, а только по тем, которые указаны под знаком суммы.

ских форм на линейном пространстве X над полем R относительно линейных операций сложения форм и умножения формы на число из R и внешнего произведения является градуированной алгеброй:

dim X

Ω = Ωk ,

k =0

при этом линейные операции на Ω выполняются в пределах каждо-

1 ≤ i1 < i2 <... < ik ≤ n , где k > n , то хотя бы два индекса обязательно

21

совпадут и в определителе два соответствующих им столбца окажутся равными.

§4. Линейные отображения линейных пространств

исопряженные отображения сопряженных пространств

Пусть X и Y – линейные пространства над полем R (или над любым иным, но одним и тем же для X и Y полем) и пусть l: X →Y – линейное отображение X в Y, т.е. x1, xk X

на X, т.е. l* (FY ) FX .

Утверждение 1.3. Пусть l : X →Y – линейное отображение линейного пространства X над полем R в линейное пространство Y над

полем R и пусть l* : FY →FX – сопряженное ему отображение.

ΩYk , ΩkX – множества всех кососимметрических k-форм на Y и X

22

l* (λFYk ) = λl*FYk .

Доказательство. Для доказательства возьмем произвольный набор элементов из X, т.е. (x1, ..., xp , xp+1, ..., xp+q ) X p+q , и рассмотрим

23

Формула (4.1) по определению тензорного произведения в FY имеет вид

FYp (lx1, ..., lxp )FYq (lxp+1, ..., lxp+q ) ,

по определению отображения l* :

(l*FYp )(x1... xp )(l*FYq )(xp+1, ..., xp+q ) ,

по определению тензорного произведения в FX :

(l*FYp l*FYq )(x1, ..., xp , xp+1, ..., xp+q ) ,

т.е.

l* (FYp FYq )= l*FYp l*FYq .

Утверждение 1.6. Пусть l* : FY p →FX p , p = 0,1, 2, …, A – аль-

тернирование. Тогда FYp FY p l* (AFYp )= A(l*FYp ).

Доказательство. Возьмем произвольный набор (x1, ..., xp ) X p , и FYp FY p получаем

l* (AFYp )(x1, ..., xp ) = AFYp (lx1, ..., lxp ) =

= p1! FYp (lxi1 , ..., lxip )δ1i1......pip = p1!(l*FYp )(xi1 , ..., xip )δ1i1......pip =

= A(l*FYp )(x1, ..., xp ) .

Откуда следует, что l* (AFYp )= A(l*FYp ).

Утверждение 1.7. Пусть l* : FY →FX , тогда p, q , p = 1, 2, …; q = 1, 2, …

l* (ωp ωq ) = (l*ωp ) (l*ωq ) .

Доказательство. Фиксируем произвольные p и q и рассмотрим

24

формула (4.2) по определению внешнего произведения в FY будет иметь вид

( p + q)! ( A(ωp ωq ))(lx1, ..., lxp+q ) , p! q!

по определению l* : FY →FX :

( p + q)! l* ( A(ωp ωq ))(x1, ..., xp+q ) , p! q!

согласно утверждению 1.6:

( p + q)! A(l* (ωp ωq ))(x1, ..., xp+q ) , p! q!

согласно утверждению 1.5:

( p + q)! A(l*ωp l*ωq )(x1, ..., xp+q ) , p! q!

по определению внешнего произведения в FX : (l*ωp l*ωq )(x1, ..., xp+q ) .

Откуда в силу произвольного выбора набора (x1, ..., xp+q ) X p+q и следует, что l* (ωp ωq ) = (l*ωp ) (l*ωq ) .

Подведем итог: сопряженное отображение l* : FY →FX линейному отображению l : X →Y обладает следующими свойствами.

1. l* линейно, т.е. F1kY , F2kY FY

l* (F1kY + F2kY )= l*F1kY + l*F2kY

и FYk FY и λ R

l* (λFYk )= λ(l*FYk ).

2. l* (ΩYk ) ΩkX кососимметрические формы на Y отображает в

кососимметрические формы на X. 3. l* (F p F q ) = (l*F p ) (l*F q ) .

25

4.l* ( AF p ) = A(l*F p ) .

5.l* (F p F q ) = (l*F p ) (l*F q ) .

Теорема 1.4. Пусть X – линейное пространство размерности m над полем R, Y – линейное пространство размерности n над полем

ведливо равенство:

26

Здесь было использовано утверждение 1.5 и дистрибутивность внешнего произведения.

Используя линейность отображения l* , получаем

27

множество всех подмножеств в X. Ясно, что получим на X топологию. Такая топология называется дискретной.

Пример 2.2. Пусть X – произвольное множество; B – произвольное семейство подмножеств в X. Составим из подмножеств семейства B конечные пересечения, а затем всевозможные объединения. В итоге получим семейство подмножеств, которое определяет топологию на X.

Пример 2.3. Арифметическое пространство Rn – важный частный случай топологического пространства. Оно состоит из всевоз-

можных наборов (x1, ..., xn ) , где xi R , i = 1, 2, …, n. Определим в Rn топологию. Пусть ai , bi R , i = 1, 2, …, n, ai < bi . Множество

{(x1, ..., xn ) ai < xi < bi , i =1, 2, ..., n}

называется открытым кубиком. Подмножество B Rn является

открытым в Rn тогда и только тогда, когда B – объединение открытых кубиков. Это определение эквивалентно следующему.

Множество B Rn открыто в Rn тогда и только тогда, когда любую точку из B можно окружить открытым кубиком, содержащимся в B.

Проверим выполнение аксиом топологического пространства.

K= K1 ∩... ∩ Kk . Множество K – открытый кубик и x K . Третья аксиома может быть выведена из первых двух.

29

Определение 2.2. Пусть на множестве X введены две топологии τ ={B} и τ′ ={B′} . Скажем, что топология τ′ сильнее топологии τ

(τ′ ≥ τ) , если {B′} {B} .

Замечание 2.1.

1.Топологии могут быть несравнимыми.

2.На каждом непустом множестве имеются две самые крайние топологии.

Самая сильная топология – дискретная топология (пример 2.1).

Вэтой топологии все точки – открытые множества. В самой слабой топологии все открытые множества – это само пространство и пустое множество.

Определение 2.3. Две топологии τ1 и τ2 множества X называются эквивалентными, если τ1 ≥ τ2 и τ2 ≥ τ1 .

Пример 2.4. В пространстве Rn можно определить евклидову топологию, заменив открытые кубики на открытые шары с центрами в произвольных точках и произвольных радиусов. Евклидова топология и топология арифметического пространства эквивалентны. Это следует из того, что в любой открытый шар можно вписать открытый кубик и, наоборот, в любой открытый кубик можно вписать открытый шар.

Определение 2.4. Пусть X – топологическое пространство с топологией τ ={Uα} и пусть x X и Uα – открытое множество, та-

кое, что x Uα и Uα τ . Тогда Uα называется окрестностью точки x X . Часто окрестность точки x обозначают Ux и Vx .

Определение 2.5. Говорят, что последовательность {xn}+∞n=1 точек топологического пространства X сходится к точке a X , если для каждой окрестности Vα существует номер N, такой, что n > N выполняется условие xn Vα . В случае арифметического пространства

Rn данное определение приводит к обычной покоординатной сходимости. А именно: xm → a , m → +∞, тогда и только тогда, когда

xmi → ai , i = 1, 2, …, n, где xm = (x1m , ..., xmn ), a = (a1, ..., an ) .

Определение 2.6. Пусть X – топологическое пространство. Пусть M – произвольное подмножество в X. Можно M превратить в

30