Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

нейные формы, отображающие ( X * )k → R . Элементы пространства X будем называть векторами.

Определение 1.9. Элементы пространства F 0 = R будем называть о-формами; элементы пространства F 1 = X * будем называть 1-формами или формой степени 1 и обозначать F1 .

Элементы пространства F k =FXk = X * ... X * будем назы-

произвольных степеней k и l называется форма F k+l степени k + l , определенная следующим образом:

(x1, ..., xk , xk +1, ..., xk +l ) X k+l

F k +l (x1, ..., xk , xk +1, ..., xk+l ) = F k (x1, ..., xk ) × Fl (xk+1, ..., xk+l )

и обозначаемая как F k F l = F k +l .

Свойства тензорного умножения форм.

= F k (Fl F n ) .

Теорема 1.2. Пусть X – линейное пространство над полем R размерности n.

Тогда k , k = 1, 2, …, F k = FXk – линейное пространство размерности nk .

Доказательство. Пусть в X выбран базис e1, ..., en , а e1, ..., en – двойственный ему базис в X * .

11

Тогда, согласно теореме 1.1, любую k-форму F k : X k → R можно записать в виде

F k (x1, ..., xk ) = ai1...ik x1i1 ... xkik = ai1...ik ei1 (x1)... eik (xk ) = = ai1...ik (ei1 ... eik )(x1, ..., xk ) .

При этом данное представление единственно. Следовательно,

А тогда совокупность k-форм {ei1 ... eik }, 1 ≤ ij ≤ n , j = 1, 2, …, k

составляет базис в F k . Указанная совокупность состоит из nk

форм, следовательно, dimF k = nk .

Замечание 1.1.

1.Равенство двух форм F1k F2k F k понимается как тождественное совпадение отображений F1k : X k → R и F2k : X k → R .

2.Равенство Fk нулю означает, что F k : X k → 0 .

Замечание 1.2. Множество F ={F k }+∞k =0 форм на линейном пространстве X относительно введенных операций является гра-

дуированной алгеброй F = F k , в которой линейные операции выполняются в пределах каждого входящего в прямую сумму пространства F k и если F k F k , Fl F l , то F k F l F k +l .

§ 3. Кососимметрические формы

Пусть F k – линейное пространствоk-формнаX, введенноев§ 2.

Определение 1.11. k-Форма ω F k называется кососимметрической, если для любых двух различных i и j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n имеет место равенство:

ω(x1, ..., xi , ..., x j , ..., xk ) = −ω(x1, ..., xj , ..., xi , ..., xk ) .

Множество Ωk всех кососимметрических k-форм на X образуют линейное подпространство линейного пространства F k .

12

Это следует из косой симметрии форм ω1 + ω2 и λω , если

ωi Ωk , ω Ωk , λ R .

Из любой k-формы можно получить кососимметрическую k- форму. Для этого используется операция альтернирования форм.

Определение 1.12. Отображение A: F k → Ωk , определенное соотношением:

называется операцией альтернирования форм.

Свойства, операции альтернирования.

1.ωk Ωk Aωk = ωk .

2.F k F k A( AF k ) = AF k .

3.A : F k → Ωk – отображение «на».

4.F1k , F2k F k A(F1k + F2k )= AF1k + AF2k .

Читателю предоставляется доказать самостоятельно свойство альтернации.

Найдем A(ei1 ... eik ). С учетом того, что x X ei (x) = xi , i = 1, 2, …, n (см. § 2)

A(e j1 ... e jk )(x1, ..., xk ) = A(e j1 (x1)...e jk (xk ))=

13

Операция тензорного умножения, введенная в F не является замкнутой на кососимметрических формах, т.е. тензорное произведение двух кососимметрических форм, вообще говоря, не является кососимметрической формой. Поэтому на множестве всех кососимметрических форм вводится операция их внешнего произведения.

Определение 1.13. Пусть ωk Ωk , ωl Ωl , ωk – кососимметрическая k-форма, ωl – кососимметрическая l-форма.

Внешним произведением формы ωk на форму ωl называется кососимметрическая (k +l) -форма, обозначаемая ωk ωl и определяемая соотношением:

ωk ωl = (k +l)! A(ωk ωl ) . k!l!

Из определения альтернатора A и из его свойства 2 следует, что ωk ωl Ωk +l . В самом деле, x1, ..., xk +l X

A(ωk ωl )(x1, ..., xk +l ) =

=A(ωk ωl )(x1, ..., xk , xk +1, ..., xk +l ) =

=(k +1 l)!(ωk ωl )(xi1 , ..., xik , xik +1 , ..., xik +l )×

14

аэто форма (k +l) -й степени.

Атак как эта форма является альтернацией формы ωk ωl , то она кососимметрическая.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.1. X – линейное n-мерное пространство над полем R,

15

Аналогичная выкладка показывает, что

ei1 (ei2 ei3 )= (ei1 ei2 ) ei3 ,

т.е. ассоциативность умножения для таких форм.

Пример 1.3. Используя разложение определителя по столбцу и на основании принципа математической индукции, получаем, что

Эта формула справедлива для любых 1-форм ei1 , ..., eik (не обязательно базисных форм линейного пространства X * ).

i

(ω1k + ωk2 ) ωl = (ω1k ωl )+ (ωk2 ωl ); (λωk ) ωl = ωk (λωl ) = λ(ωk ωl ) .

16

Доказательство.

1. Ассоциативность. Так как ωk Ωk

ωk = ai1...ik ei1 ... eik ;

ωk = Aωk ,

что следует из косой симметрии формы ωk :

ωk = Aωk = ai1...ik A(ei1 ... eik )= k1!ai1...ik ei1 ... eik .

В примере 1.2 провели выкладку, аналогичная которой дает возможность доказать ассоциативность умножения для 3-формы

ei1 (ei2 ei3 )= (ei1 ei2 ) ei3 = ei1 ei2 ei3 .

Применяя метод математической индукции, получаем ассоциативность для форм ei1 ... eik :

17

В определителе поменялись первый и второй столбцы, следовательно, знак определителя изменится на противоположный, откуда следует, что

eis e jm = −(e jm eis ).

Теперь рассмотрим

ωk ωl = k1! l1! ai1...ik bj1... jl ei1 ... eik e j1 ... e jl ; ωl ωk = l1! k1! bj1... jl ai1...ik e j1 ... e jl ei1 ... eik .

1-форма e j1 в первом равенстве занимала (k +1) -е место, а во втором равенстве 1-е место. Следовательно, чтобы выйти на первое место она меняется с k множителями ei1 , ..., eik и каждый раз происходит смена знака, т.е. возникает множитель (−1)k . Аналогично

происходит и с другими формами e j2 , ..., e jl . Поэтому

18

Мы воспользовались определением внешнего произведения и линейными свойствами тензорного произведения и операции альтернирования.

Аналогично проверяется свойство:

(λωk ) ωl = λ(ωk ωl ) .

Не раз мы использовали координатное представление формы

вым индексам, при этом 1 ≤ ij ≤ n , j = 1, 2, …, k).

т.е. суммирование ведется не по всем наборам индексов i1, ..., ik , а только по строго возрастающим наборам i1, ..., ik , где

1 ≤ i1 < i2 <... < ik ≤ n .

Теорема 1.3. Для любой кососимметрической k-формы ωk Ωk справедливо следующее координатное представление:

ωk = ∑ ai1...ik ei1 ... eik .

1≤i1<...<ik ≤n

19

Доказательство. Докажем справедливость этого представления

для 2-формы ω2 Ω2 и для X размерности 3, т.е. для k = 2 и n = 3 , чтобы почувствовать в чем тут дело:

X * . Тогда

ω2 (x1, x2 ) = ω2 (ei1 , ei2 ) x1i1 x2i2 = ω2 (e1, e1)x11x12 +

+ω2 (e1, e2 )x11x22 + ω2 (e1, e3 )x11x23 + ω2 (e2 , e1)x12 x12 +

+ω2 (e2 , e2 )x12 x22 + ω2 (e2 , e3 )x12 x23 + ω2 (e3 , e1)x13 x12 +

Но так как ω2 – кососимметрическая форма, то:

1)ω2 (ei , ei ) = 0 , i = 1, 2, 3;

2)ω2 (ei , ej ) = −ω2 (ej , ei ) , i, j =1, 2, 3;

ипоэтому формула (3.2) имеет вид

ω2 (e1, e2 )(x11x22 − x12 x12 )+ω2 (e1, e3 )(x11x23 − x13 x12 )+

= ∑ ai1i2 ei1 ei2 (x1, x2 ) .

1≤i1<i2 ≤3

Мы воспользовались примером 1.1.

20